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Theorem 4sqlem14 14024
Description: Lemma for 4sq 14030. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
4sq.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4sq.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
4sq.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4sq.5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
4sq.6  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
4sq.7  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
4sq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
4sq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sq.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
4sq.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4sq.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4sq.e  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.f  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.g  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.h  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sq.r  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
4sq.p  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    B, n   
n, E    n, G    n, H    A, n    C, n    D, n    n, F    i, n, M    n, N    P, i, n    ph, n    S, i, n    R, i
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, i)    A( x, y, z, w, i)    B( x, y, z, w, i)    C( x, y, z, w, i)    D( x, y, z, w, i)    P( x, y, z, w)    R( x, y, z, w, n)    S( x, y, z, w)    T( x, y, z, w, i, n)    E( x, y, z, w, i)    F( x, y, z, w, i)    G( x, y, z, w, i)    H( x, y, z, w, i)    M( x, y, z, w)    N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2  |-  R  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)
2 4sq.6 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }
3 ssrab2 3442 . . . . . . . . . 10  |-  { i  e.  NN  |  ( i  x.  P )  e.  S }  C_  NN
42, 3eqsstri 3391 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  NN
5 4sq.7 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )
6 nnuz 10901 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
74, 6sseqtri 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  T  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 4sq.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
9 4sq.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 4sq.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
11 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
12 4sq.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
2  x.  N ) )  C_  S )
138, 9, 10, 11, 12, 2, 54sqlem13 14023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  (/)  /\  M  <  P ) )
1413simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
15 infmssuzcl 10943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
167, 14, 15sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
175, 16syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  T )
184, 17sseldi 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1918nnzd 10751 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
20 prmz 13772 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2111, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
22 dvdsmul1 13559 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
2319, 21, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( M  x.  P ) )
24 4sq.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
25 4sq.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2624, 18, 254sqlem8 14011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^
2 ) ) )
27 4sq.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
28 4sq.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( ( ( B  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
2927, 18, 284sqlem8 14011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^
2 ) ) )
30 zsqcl 11941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3224, 18, 254sqlem5 14008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  E )  /  M
)  e.  ZZ ) )
3332simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
34 zsqcl2 11948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E  e.  ZZ  ->  ( E ^ 2 )  e. 
NN0 )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  NN0 )
3635nn0zd 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  ZZ )
3731, 36zsubcld 10757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ )
38 zsqcl 11941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
3927, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
4027, 18, 284sqlem5 14008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ZZ  /\  ( ( B  -  F )  /  M
)  e.  ZZ ) )
4140simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
42 zsqcl2 11948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F ^ 2 )  e. 
NN0 )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
4539, 44zsubcld 10757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
46 dvds2add 13569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4719, 37, 45, 46syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( A ^
2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4826, 29, 47mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
4924zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5049sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
5127zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5251sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
5333zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
5453sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
5541zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
5655sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
5750, 52, 54, 56addsub4d 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( E ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  -  ( F ^ 2 ) ) ) )
5848, 57breqtrrd 4323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) ) )
59 4sq.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
60 4sq.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( ( ( C  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6159, 18, 604sqlem8 14011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^
2 ) ) )
62 4sq.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
63 4sq.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( ( ( D  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
6462, 18, 634sqlem8 14011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^
2 ) ) )
65 zsqcl 11941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6659, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
6759, 18, 604sqlem5 14008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ZZ  /\  ( ( C  -  G )  /  M
)  e.  ZZ ) )
6867simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
69 zsqcl2 11948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G ^ 2 )  e. 
NN0 )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  NN0 )
7170nn0zd 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  ZZ )
7266, 71zsubcld 10757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ )
73 zsqcl 11941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7462, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  ZZ )
7562, 18, 634sqlem5 14008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( H  e.  ZZ  /\  ( ( D  -  H )  /  M
)  e.  ZZ ) )
7675simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
77 zsqcl2 11948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  e.  ZZ  ->  ( H ^ 2 )  e. 
NN0 )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  NN0 )
7978nn0zd 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  ZZ )
8074, 79zsubcld 10757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
81 dvds2add 13569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8219, 72, 80, 81syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  /\  M  ||  (
( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) )  ->  M  ||  (
( ( C ^
2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8361, 64, 82mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
8459zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
8584sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
8662zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8786sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  e.  CC )
8868zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
8988sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  e.  CC )
9076zcnd 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  CC )
9190sqcld 12011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H ^ 2 )  e.  CC )
9285, 87, 89, 91addsub4d 9771 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( G ^ 2 ) )  +  ( ( D ^ 2 )  -  ( H ^ 2 ) ) ) )
9383, 92breqtrrd 4323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
9431, 39zaddcld 10756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9535, 43nn0addcld 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  NN0 )
9695nn0zd 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9794, 96zsubcld 10757 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
9866, 74zaddcld 10756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9970, 78nn0addcld 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  NN0 )
10099nn0zd 10750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  ZZ )
10198, 100zsubcld 10757 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
102 dvds2add 13569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10319, 97, 101, 102syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  /\  M  ||  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  -  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) ) )
10458, 93, 103mp2and 679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
105 4sq.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) ) )
106105oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
10750, 52addcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
10885, 87addcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  e.  CC )
10954, 56addcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
11089, 91addcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) )  e.  CC )
111107, 108, 109, 110addsub4d 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  +  ( ( C ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
112106, 111eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) ) )  +  ( ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  -  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113104, 112breqtrrd 4323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11419, 21zmulcld 10758 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  ZZ )
11596, 100zaddcld 10756 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
116114, 115zsubcld 10757 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )
117 dvds2sub 13570 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( M  x.  P
)  e.  ZZ  /\  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( M 
||  ( M  x.  P )  /\  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11819, 114, 116, 117syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  ||  ( M  x.  P
)  /\  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  ->  M  ||  (
( M  x.  P
)  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11923, 113, 118mp2and 679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( M  x.  P )  -  ( ( M  x.  P )  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12018nncnd 10343 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
121 prmnn 13771 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12211, 121syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
123122nncnd 10343 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
124120, 123mulcld 9411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  x.  P
)  e.  CC )
125109, 110addcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  CC )
126124, 125nncand 9729 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  x.  P )  -  (
( M  x.  P
)  -  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
127119, 126breqtrd 4321 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  ||  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
12818nnne0d 10371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
12995, 99nn0addcld 10645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
130129nn0zd 10750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  ZZ )
131 dvdsval2 13543 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
13219, 128, 130, 131syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ||  (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  <-> 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ ) )
133127, 132mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  ZZ )
134129nn0red 10642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR )
135129nn0ge0d 10644 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )
13618nnred 10342 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
13718nngt0d 10370 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  M )
138 divge0 10203 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) ) )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  < 
M ) )  -> 
0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
139134, 135, 136, 137, 138syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M ) )
140 elnn0z 10664 . . 3  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M )  e.  NN0  <->  ( ( ( ( ( E ^
2 )  +  ( F ^ 2 ) )  +  ( ( G ^ 2 )  +  ( H ^
2 ) ) )  /  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
) ) )
141133, 139, 140sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  +  ( F ^
2 ) )  +  ( ( G ^
2 )  +  ( H ^ 2 ) ) )  /  M
)  e.  NN0 )
1421, 141syl5eqel 2527 1  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2611   E.wrex 2721   {crab 2724    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297   `'ccnv 4844   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   supcsup 7695   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442    mod cmo 11713   ^cexp 11870    || cdivides 13540   Primecprime 13768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-gz 13996
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