Proof of Theorem 4sqlem14
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 4sq.r |
. 2
                         |
2 | | 4sq.6 |
. . . . . . . . . 10
     |
3 | | ssrab2 3500 |
. . . . . . . . . 10
     |
4 | 2, 3 | eqsstri 3448 |
. . . . . . . . 9
 |
5 | | 4sq.7 |
. . . . . . . . . 10
inf    |
6 | | nnuz 11218 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
7 | 4, 6 | sseqtri 3450 |
. . . . . . . . . . 11
     |
8 | | 4sq.1 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
                           |
9 | | 4sq.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
   |
10 | | 4sq.3 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
11 | | 4sq.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
   |
12 | | 4sq.5 |
. . . . . . . . . . . . 13
      
  |
13 | 8, 9, 10, 11, 12, 2, 5 | 4sqlem13 14986 |
. . . . . . . . . . . 12
     |
14 | 13 | simpld 466 |
. . . . . . . . . . 11
   |
15 | | infssuzcl 11268 |
. . . . . . . . . . 11
 
     inf     |
16 | 7, 14, 15 | sylancr 676 |
. . . . . . . . . 10
 inf     |
17 | 5, 16 | syl5eqel 2553 |
. . . . . . . . 9
   |
18 | 4, 17 | sseldi 3416 |
. . . . . . . 8
   |
19 | 18 | nnzd 11062 |
. . . . . . 7
   |
20 | | prmz 14705 |
. . . . . . . 8

  |
21 | 11, 20 | syl 17 |
. . . . . . 7
   |
22 | | dvdsmul1 14401 |
. . . . . . 7
 
     |
23 | 19, 21, 22 | syl2anc 673 |
. . . . . 6
     |
24 | | 4sq.a |
. . . . . . . . . . 11
   |
25 | | 4sq.e |
. . . . . . . . . . 11
           |
26 | 24, 18, 25 | 4sqlem8 14968 |
. . . . . . . . . 10
             |
27 | | 4sq.b |
. . . . . . . . . . 11
   |
28 | | 4sq.f |
. . . . . . . . . . 11
           |
29 | 27, 18, 28 | 4sqlem8 14968 |
. . . . . . . . . 10
             |
30 | | zsqcl 12383 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
31 | 24, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
32 | 24, 18, 25 | 4sqlem5 14965 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
         |
33 | 32 | simpld 466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
34 | | zsqcl2 12390 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
36 | 35 | nn0zd 11061 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
37 | 31, 36 | zsubcld 11068 |
. . . . . . . . . . 11
             |
38 | | zsqcl 12383 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
39 | 27, 38 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
40 | 27, 18, 28 | 4sqlem5 14965 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
         |
41 | 40 | simpld 466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
42 | | zsqcl2 12390 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
43 | 41, 42 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
44 | 43 | nn0zd 11061 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
45 | 39, 44 | zsubcld 11068 |
. . . . . . . . . . 11
             |
46 | | dvds2add 14411 |
. . . . . . . . . . 11
                                             
                         |
47 | 19, 37, 45, 46 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . . 10
                       
                         |
48 | 26, 29, 47 | mp2and 693 |
. . . . . . . . 9
                         |
49 | 24 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
50 | 49 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
51 | 27 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
52 | 51 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
53 | 33 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
54 | 53 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
55 | 41 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
56 | 55 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
57 | 50, 52, 54, 56 | addsub4d 10052 |
. . . . . . . . 9
                                               |
58 | 48, 57 | breqtrrd 4422 |
. . . . . . . 8
                         |
59 | | 4sq.c |
. . . . . . . . . . 11
   |
60 | | 4sq.g |
. . . . . . . . . . 11
           |
61 | 59, 18, 60 | 4sqlem8 14968 |
. . . . . . . . . 10
             |
62 | | 4sq.d |
. . . . . . . . . . 11
   |
63 | | 4sq.h |
. . . . . . . . . . 11
           |
64 | 62, 18, 63 | 4sqlem8 14968 |
. . . . . . . . . 10
             |
65 | | zsqcl 12383 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
66 | 59, 65 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
67 | 59, 18, 60 | 4sqlem5 14965 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
         |
68 | 67 | simpld 466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
69 | | zsqcl2 12390 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
70 | 68, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
71 | 70 | nn0zd 11061 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
72 | 66, 71 | zsubcld 11068 |
. . . . . . . . . . 11
             |
73 | | zsqcl 12383 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
74 | 62, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
75 | 62, 18, 63 | 4sqlem5 14965 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
         |
76 | 75 | simpld 466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
77 | | zsqcl2 12390 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
78 | 76, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
       |
79 | 78 | nn0zd 11061 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
80 | 74, 79 | zsubcld 11068 |
. . . . . . . . . . 11
             |
81 | | dvds2add 14411 |
. . . . . . . . . . 11
                                             
                         |
82 | 19, 72, 80, 81 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . . 10
                       
                         |
83 | 61, 64, 82 | mp2and 693 |
. . . . . . . . 9
                         |
84 | 59 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
85 | 84 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
86 | 62 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
87 | 86 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
88 | 68 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
89 | 88 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
90 | 76 | zcnd 11064 |
. . . . . . . . . . 11
   |
91 | 90 | sqcld 12452 |
. . . . . . . . . 10
       |
92 | 85, 87, 89, 91 | addsub4d 10052 |
. . . . . . . . 9
                                               |
93 | 83, 92 | breqtrrd 4422 |
. . . . . . . 8
                         |
94 | 31, 39 | zaddcld 11067 |
. . . . . . . . . 10
             |
95 | 35, 43 | nn0addcld 10953 |
. . . . . . . . . . 11
             |
96 | 95 | nn0zd 11061 |
. . . . . . . . . 10
             |
97 | 94, 96 | zsubcld 11068 |
. . . . . . . . 9
                         |
98 | 66, 74 | zaddcld 11067 |
. . . . . . . . . 10
             |
99 | 70, 78 | nn0addcld 10953 |
. . . . . . . . . . 11
             |
100 | 99 | nn0zd 11061 |
. . . . . . . . . 10
             |
101 | 98, 100 | zsubcld 11068 |
. . . . . . . . 9
                         |
102 | | dvds2add 14411 |
. . . . . . . . 9
                                                                                                                                               |
103 | 19, 97, 101, 102 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . 8
                                                                                                 |
104 | 58, 93, 103 | mp2and 693 |
. . . . . . 7
                                                 |
105 | | 4sq.p |
. . . . . . . . 9
                           |
106 | 105 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . 8
                                                                           |
107 | 50, 52 | addcld 9680 |
. . . . . . . . 9
             |
108 | 85, 87 | addcld 9680 |
. . . . . . . . 9
             |
109 | 54, 56 | addcld 9680 |
. . . . . . . . 9
             |
110 | 89, 91 | addcld 9680 |
. . . . . . . . 9
             |
111 | 107, 108,
109, 110 | addsub4d 10052 |
. . . . . . . 8
                                                                                               |
112 | 106, 111 | eqtrd 2505 |
. . . . . . 7
                                                                           |
113 | 104, 112 | breqtrrd 4422 |
. . . . . 6
                             |
114 | 19, 21 | zmulcld 11069 |
. . . . . . 7
     |
115 | 96, 100 | zaddcld 11067 |
. . . . . . . 8
                         |
116 | 114, 115 | zsubcld 11068 |
. . . . . . 7
                             |
117 | | dvds2sub 14412 |
. . . . . . 7
  
                                                                                            |
118 | 19, 114, 116, 117 | syl3anc 1292 |
. . . . . 6
   

                          
                                 |
119 | 23, 113, 118 | mp2and 693 |
. . . . 5
                                 |
120 | 18 | nncnd 10647 |
. . . . . . 7
   |
121 | | prmnn 14704 |
. . . . . . . . 9

  |
122 | 11, 121 | syl 17 |
. . . . . . . 8
   |
123 | 122 | nncnd 10647 |
. . . . . . 7
   |
124 | 120, 123 | mulcld 9681 |
. . . . . 6
     |
125 | 109, 110 | addcld 9680 |
. . . . . 6
                         |
126 | 124, 125 | nncand 10010 |
. . . . 5
                                                       |
127 | 119, 126 | breqtrd 4420 |
. . . 4
                         |
128 | 18 | nnne0d 10676 |
. . . . 5
   |
129 | 95, 99 | nn0addcld 10953 |
. . . . . 6
                         |
130 | 129 | nn0zd 11061 |
. . . . 5
                         |
131 | | dvdsval2 14385 |
. . . . 5
                                                                           |
132 | 19, 128, 130, 131 | syl3anc 1292 |
. . . 4
                                                   |
133 | 127, 132 | mpbid 215 |
. . 3
                           |
134 | 129 | nn0red 10950 |
. . . 4
                         |
135 | 129 | nn0ge0d 10952 |
. . . 4

                        |
136 | 18 | nnred 10646 |
. . . 4
   |
137 | 18 | nngt0d 10675 |
. . . 4
   |
138 | | divge0 10496 |
. . . 4
                        
                         
                          |
139 | 134, 135,
136, 137, 138 | syl22anc 1293 |
. . 3

                          |
140 | | elnn0z 10974 |
. . 3
                        
                                                    |
141 | 133, 139,
140 | sylanbrc 677 |
. 2
                           |
142 | 1, 141 | syl5eqel 2553 |
1
   |