Theorem 4sqlem14 14987

Description: Lemma for 4sq 14993. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem14	|- ( ph -> R e. NN0 )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2		4sq.6	. . . . . . . . . 10 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
3		ssrab2 3500	. . . . . . . . . 10 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
4	2, 3	eqsstri 3448	. . . . . . . . 9 |- T C_ NN
5		4sq.7	. . . . . . . . . 10 |- M = inf ( T , RR , < )
6		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	4, 6	sseqtri 3450	. . . . . . . . . . 11 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
8		4sq.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
9		4sq.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
10		4sq.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
11		4sq.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. Prime )
12		4sq.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
13	8, 9, 10, 11, 12, 2, 5	4sqlem13 14986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
14	13	simpld 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T =/= (/) )
15		infssuzcl 11268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
16	7, 14, 15	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
17	5, 16	syl5eqel 2553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. T )
18	4, 17	sseldi 3416	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
19	18	nnzd 11062	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
20		prmz 14705	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
21	11, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
22		dvdsmul1 14401	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> M || ( M x. P ) )
23	19, 21, 22	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> M || ( M x. P ) )
24		4sq.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
25		4sq.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
26	24, 18, 25	4sqlem8 14968	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
27		4sq.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ZZ )
28		4sq.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
29	27, 18, 28	4sqlem8 14968	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
30		zsqcl 12383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
32	24, 18, 25	4sqlem5 14965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
33	32	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. ZZ )
34		zsqcl2 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
36	35	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
37	31, 36	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ )
38		zsqcl 12383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
39	27, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
40	27, 18, 28	4sqlem5 14965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
41	40	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. ZZ )
42		zsqcl2 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
44	43	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
45	39, 44	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
46		dvds2add 14411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) /\ M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) )
47	19, 37, 45, 46	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) /\ M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) )
48	26, 29, 47	mp2and 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
49	24	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
50	49	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
51	27	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
52	51	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
53	33	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
54	53	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
55	41	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. CC )
56	55	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
57	50, 52, 54, 56	addsub4d 10052	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
58	48, 57	breqtrrd 4422	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
59		4sq.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
60		4sq.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
61	59, 18, 60	4sqlem8 14968	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
62		4sq.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ZZ )
63		4sq.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
64	62, 18, 63	4sqlem8 14968	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
65		zsqcl 12383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
66	59, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
67	59, 18, 60	4sqlem5 14965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
68	67	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ZZ )
69		zsqcl2 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
71	70	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
72	66, 71	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ )
73		zsqcl 12383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
74	62, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
75	62, 18, 63	4sqlem5 14965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
76	75	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H e. ZZ )
77		zsqcl2 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
79	78	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
80	74, 79	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
81		dvds2add 14411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) /\ M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) )
82	19, 72, 80, 81	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) /\ M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) )
83	61, 64, 82	mp2and 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
84	59	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
85	84	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
86	62	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
87	86	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
88	68	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. CC )
89	88	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
90	76	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. CC )
91	90	sqcld 12452	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
92	85, 87, 89, 91	addsub4d 10052	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
93	83, 92	breqtrrd 4422	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
94	31, 39	zaddcld 11067	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
95	35, 43	nn0addcld 10953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
96	95	nn0zd 11061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
97	94, 96	zsubcld 11068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
98	66, 74	zaddcld 11067	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
99	70, 78	nn0addcld 10953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
100	99	nn0zd 11061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
101	98, 100	zsubcld 11068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
102		dvds2add 14411	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
103	19, 97, 101, 102	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
104	58, 93, 103	mp2and 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
105		4sq.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
106	105	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
107	50, 52	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
108	85, 87	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
109	54, 56	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
110	89, 91	addcld 9680	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
111	107, 108, 109, 110	addsub4d 10052	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
112	106, 111	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113	104, 112	breqtrrd 4422	. . . . . 6 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
114	19, 21	zmulcld 11069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M x. P ) e. ZZ )
115	96, 100	zaddcld 11067	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
116	114, 115	zsubcld 11068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ )
117		dvds2sub 14412	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M x. P ) e. ZZ /\ ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( M x. P ) /\ M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
118	19, 114, 116, 117	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M || ( M x. P ) /\ M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
119	23, 113, 118	mp2and 693	. . . . 5 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
120	18	nncnd 10647	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
121		prmnn 14704	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
122	11, 121	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. NN )
123	122	nncnd 10647	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
124	120, 123	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. CC )
125	109, 110	addcld 9680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
126	124, 125	nncand 10010	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
127	119, 126	breqtrd 4420	. . . 4 |- ( ph -> M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
128	18	nnne0d 10676	. . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
129	95, 99	nn0addcld 10953	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
130	129	nn0zd 11061	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
131		dvdsval2 14385	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
132	19, 128, 130, 131	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
133	127, 132	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ )
134	129	nn0red 10950	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
135	129	nn0ge0d 10952	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
136	18	nnred 10646	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
137	18	nngt0d 10675	. . . 4 |- ( ph -> 0 < M )
138		divge0 10496	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
139	134, 135, 136, 137, 138	syl22anc 1293	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
140		elnn0z 10974	. . 3 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 <-> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) ) )
141	133, 139, 140	sylanbrc 677	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 )
142	1, 141	syl5eqel 2553	1 |- ( ph -> R e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   mod cmo 12129   ^cexp 12310   || cdvds 14382   Primecprime 14701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-gz 14953

This theorem is referenced by:  4sqlem17  14990