Theorem 4sqlem14 14871

Description: Lemma for 4sq 14877. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem14	|- ( ph -> R e. NN0 )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2		4sq.6	. . . . . . . . . 10 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
3		ssrab2 3552	. . . . . . . . . 10 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
4	2, 3	eqsstri 3500	. . . . . . . . 9 |- T C_ NN
5		4sq.7	. . . . . . . . . 10 |- M = inf ( T , RR , < )
6		nnuz 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	4, 6	sseqtri 3502	. . . . . . . . . . 11 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
8		4sq.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
9		4sq.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
10		4sq.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
11		4sq.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. Prime )
12		4sq.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
13	8, 9, 10, 11, 12, 2, 5	4sqlem13 14870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
14	13	simpld 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T =/= (/) )
15		infssuzcl 11245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
16	7, 14, 15	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
17	5, 16	syl5eqel 2521	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. T )
18	4, 17	sseldi 3468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
19	18	nnzd 11039	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
20		prmz 14597	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
21	11, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
22		dvdsmul1 14302	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> M || ( M x. P ) )
23	19, 21, 22	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ph -> M || ( M x. P ) )
24		4sq.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
25		4sq.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
26	24, 18, 25	4sqlem8 14852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
27		4sq.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ZZ )
28		4sq.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
29	27, 18, 28	4sqlem8 14852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
30		zsqcl 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
32	24, 18, 25	4sqlem5 14849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
33	32	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. ZZ )
34		zsqcl2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
36	35	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
37	31, 36	zsubcld 11045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ )
38		zsqcl 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
39	27, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
40	27, 18, 28	4sqlem5 14849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
41	40	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. ZZ )
42		zsqcl2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
44	43	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
45	39, 44	zsubcld 11045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
46		dvds2add 14312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) /\ M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) )
47	19, 37, 45, 46	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) /\ M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) )
48	26, 29, 47	mp2and 683	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
49	24	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
50	49	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
51	27	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
52	51	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
53	33	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
54	53	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
55	41	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. CC )
56	55	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
57	50, 52, 54, 56	addsub4d 10032	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
58	48, 57	breqtrrd 4452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
59		4sq.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
60		4sq.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
61	59, 18, 60	4sqlem8 14852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
62		4sq.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ZZ )
63		4sq.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
64	62, 18, 63	4sqlem8 14852	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
65		zsqcl 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
66	59, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
67	59, 18, 60	4sqlem5 14849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
68	67	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ZZ )
69		zsqcl2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
71	70	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
72	66, 71	zsubcld 11045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ )
73		zsqcl 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
74	62, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
75	62, 18, 63	4sqlem5 14849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
76	75	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H e. ZZ )
77		zsqcl2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
79	78	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
80	74, 79	zsubcld 11045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
81		dvds2add 14312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) /\ M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) )
82	19, 72, 80, 81	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) /\ M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) )
83	61, 64, 82	mp2and 683	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
84	59	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
85	84	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
86	62	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
87	86	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
88	68	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. CC )
89	88	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
90	76	zcnd 11041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. CC )
91	90	sqcld 12411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
92	85, 87, 89, 91	addsub4d 10032	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
93	83, 92	breqtrrd 4452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
94	31, 39	zaddcld 11044	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
95	35, 43	nn0addcld 10929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
96	95	nn0zd 11038	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
97	94, 96	zsubcld 11045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
98	66, 74	zaddcld 11044	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
99	70, 78	nn0addcld 10929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
100	99	nn0zd 11038	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
101	98, 100	zsubcld 11045	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
102		dvds2add 14312	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
103	19, 97, 101, 102	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
104	58, 93, 103	mp2and 683	. . . . . . 7 |- ( ph -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
105		4sq.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
106	105	oveq1d 6320	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
107	50, 52	addcld 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
108	85, 87	addcld 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
109	54, 56	addcld 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
110	89, 91	addcld 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
111	107, 108, 109, 110	addsub4d 10032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
112	106, 111	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113	104, 112	breqtrrd 4452	. . . . . 6 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
114	19, 21	zmulcld 11046	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M x. P ) e. ZZ )
115	96, 100	zaddcld 11044	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
116	114, 115	zsubcld 11045	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ )
117		dvds2sub 14313	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M x. P ) e. ZZ /\ ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( M x. P ) /\ M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
118	19, 114, 116, 117	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M || ( M x. P ) /\ M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
119	23, 113, 118	mp2and 683	. . . . 5 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
120	18	nncnd 10625	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
121		prmnn 14596	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
122	11, 121	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. NN )
123	122	nncnd 10625	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
124	120, 123	mulcld 9662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. CC )
125	109, 110	addcld 9661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
126	124, 125	nncand 9990	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
127	119, 126	breqtrd 4450	. . . 4 |- ( ph -> M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
128	18	nnne0d 10654	. . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
129	95, 99	nn0addcld 10929	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
130	129	nn0zd 11038	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
131		dvdsval2 14286	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
132	19, 128, 130, 131	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
133	127, 132	mpbid 213	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ )
134	129	nn0red 10926	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
135	129	nn0ge0d 10928	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
136	18	nnred 10624	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
137	18	nngt0d 10653	. . . 4 |- ( ph -> 0 < M )
138		divge0 10473	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
139	134, 135, 136, 137, 138	syl22anc 1265	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
140		elnn0z 10950	. . 3 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 <-> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) ) )
141	133, 139, 140	sylanbrc 668	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 )
142	1, 141	syl5eqel 2521	1 |- ( ph -> R e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   {cab 2414   =/= wne 2625   E.wrex 2783   {crab 2786   C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305  infcinf 7961   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   x. cmul 9543   < clt 9674   <_ cle 9675   - cmin 9859   / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   mod cmo 12093   ^cexp 12269   || cdvds 14283   Primecprime 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-gz 14837

This theorem is referenced by:  4sqlem17  14874