Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem12 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 4sqlem12 14979
 Description: Lemma for 4sq 14993. For any odd prime , there is a such that is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sqlem11.5
4sqlem11.6
Assertion
Ref Expression
4sqlem12
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem 4sqlem12
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . . 4
2 4sq.2 . . . 4
3 4sq.3 . . . 4
4 4sq.4 . . . 4
5 4sqlem11.5 . . . 4
6 4sqlem11.6 . . . 4
71, 2, 3, 4, 5, 64sqlem11 14978 . . 3
8 n0 3732 . . 3
97, 8sylib 201 . 2
10 vex 3034 . . . . . . 7
11 eqeq1 2475 . . . . . . . 8
1211rexbidv 2892 . . . . . . 7
1310, 12, 5elab2 3176 . . . . . 6
14 abid 2459 . . . . . . . . 9
155rexeqi 2978 . . . . . . . . 9
16 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
1716oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
1817eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12
1918cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . 11
20 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12
2120rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11
2219, 21syl5bb 265 . . . . . . . . . 10
2322rexab 3189 . . . . . . . . 9
2414, 15, 233bitri 279 . . . . . . . 8
256rnmpt 5086 . . . . . . . . 9
2625eleq2i 2541 . . . . . . . 8
27 rexcom4 3053 . . . . . . . . 9
28 r19.41v 2928 . . . . . . . . . 10
2928exbii 1726 . . . . . . . . 9
3027, 29bitri 257 . . . . . . . 8
3124, 26, 303bitr4i 285 . . . . . . 7
32 ovex 6336 . . . . . . . . 9
33 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
3433eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9
3532, 34ceqsexv 3070 . . . . . . . 8
3635rexbii 2881 . . . . . . 7
3731, 36bitri 257 . . . . . 6
3813, 37anbi12i 711 . . . . 5
39 elin 3608 . . . . 5
40 reeanv 2944 . . . . 5
4138, 39, 403bitr4i 285 . . . 4
42 eqtr2 2491 . . . . . 6
4343ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4945nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5047nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5145nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5251ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 modid 12154 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5448, 49, 50, 52, 53syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
56 simp2r 1057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
59 zsqcl2 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62 modlt 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6361, 49, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
64 zsqcl 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6558, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6665, 45zmodcld 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6766nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6943, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70 zltlem1 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7167, 69, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7263, 71mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372, 54breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 modsubdir 12192 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7548, 61, 49, 74syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
7673, 75mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
77 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14
7855, 76, 773eqtr4rd 2516 . . . . . . . . . . . . 13
79 simp2l 1056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 zsqcl 12383 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
8447nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584, 65zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . 14
86 moddvds 14389 . . . . . . . . . . . . . 14
8745, 83, 85, 86syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
8878, 87mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
89 zsqcl2 12390 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9081, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . 14
9247nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . 14
9360nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . 14
9491, 92, 93subsub3d 10035 . . . . . . . . . . . . 13
9590, 60nn0addcld 10953 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . 14
9745nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14
98 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14
9996, 97, 98subsub3d 10035 . . . . . . . . . . . . 13
10094, 99eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
10188, 100breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11
102 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . . 14
10395, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
104103nnzd 11062 . . . . . . . . . . . 12
105 dvdssubr 14423 . . . . . . . . . . . 12
10669, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
107101, 106mpbird 240 . . . . . . . . . 10
10845nnne0d 10676 . . . . . . . . . . 11
109 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . 11
11069, 108, 104, 109syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
111107, 110mpbid 215 . . . . . . . . 9
112 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . 14
113 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . 14
114 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . . . . . 14
115112, 113, 114syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13
116103, 45, 115syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
117116rpgt0d 11367 . . . . . . . . . . 11
118 elnnz 10971 . . . . . . . . . . 11
119111, 117, 118sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10
120119nnge1d 10674 . . . . . . . . 9
12195nn0red 10950 . . . . . . . . . . . 12
122 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12323ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125122, 123, 124sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15
126125nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14
127126resqcld 12480 . . . . . . . . . . . . 13
128 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15
129122, 125, 128sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14
130129nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13
131127, 130readdcld 9688 . . . . . . . . . . . 12
132 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12
133123nnsqcld 12474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135122, 133, 134sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14
13790nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138133nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13981zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14179, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142123nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14479, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145 le2sq2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146139, 141, 142, 144, 145syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14758zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14956, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15156, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152 le2sq2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153147, 149, 142, 151, 152syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154137, 61, 138, 138, 146, 153le2addd 10253 . . . . . . . . . . . . . . 15
155133nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1561552timesd 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15
157154, 156breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . 14
158 2lt4 10803 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
163133nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164 ltmul1 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165160, 162, 138, 163, 164syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166158, 165mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . . 15
167 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
168123nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169 sqmul 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170167, 168, 169sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171 sq2 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
172171oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16
173170, 172syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15
174166, 173breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . 14
175121, 136, 127, 157, 174lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . 13
176129nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . 14
177127, 176ltaddrpd 11394 . . . . . . . . . . . . 13
178121, 127, 131, 175, 177lttrd 9813 . . . . . . . . . . . 12
179121, 131, 132, 178ltadd1dd 10245 . . . . . . . . . . 11
18033ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13
181180oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
18297sqvald 12451 . . . . . . . . . . . 12
183125nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
184 binom21 12428 . . . . . . . . . . . . 13
185183, 184syl 17 . . . . . . . . . . . 12
186181, 182, 1853eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11
187179, 186breqtrrd 4422 . . . . . . . . . 10
188103nnred 10646 . . . . . . . . . . 11
18945nngt0d 10675 . . . . . . . . . . 11
190 ltdivmul 10502 . . . . . . . . . . 11
191188, 51, 51, 189, 190syl112anc 1296 . . . . . . . . . 10
192187, 191mpbird 240 . . . . . . . . 9
193 1z 10991 . . . . . . . . . 10
194 elfzm11 11891 . . . . . . . . . 10
195193, 69, 194sylancr 676 . . . . . . . . 9
196111, 120, 192, 195mpbir3and 1213 . . . . . . . 8
197 gzreim 14962 . . . . . . . . 9
19881, 58, 197syl2anc 673 . . . . . . . 8
199 gzcn 14955 . . . . . . . . . . . . 13
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . 12
201200absvalsq2d 13582 . . . . . . . . . . 11
202139, 147crred 13371 . . . . . . . . . . . . 13
203202oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
204139, 147crimd 13372 . . . . . . . . . . . . 13
205204oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
206203, 205oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11
207201, 206eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
208207oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
209103nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
210209, 97, 108divcan1d 10406 . . . . . . . . 9
211208, 210eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
212 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
213212eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9
214 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
215214oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
216215oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
217216eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9
218213, 217rspc2ev 3149 . . . . . . . 8
219196, 198, 211, 218syl3anc 1292 . . . . . . 7
2202193expia 1233 . . . . . 6
22142, 220syl5 32 . . . . 5
222221rexlimdvva 2878 . . . 4
22341, 222syl5bi 225 . . 3
224223exlimdv 1787 . 2
2259, 224mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wrex 2757   cin 3389  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558  ci 9559   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  c4 10683  cn0 10893  cz 10961  crp 11325  cfz 11810   cmo 12129  cexp 12310  cre 13237  cim 13238  cabs 13374   cdvds 14382  cprime 14701  cgz 14952 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-gz 14953 This theorem is referenced by:  4sqlem13OLD  14980  4sqlem13  14986
 Copyright terms: Public domain W3C validator