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Theorem 4sqlem10 14672
Description: Lemma for 4sq 14689. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem10.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
54nnred 10590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR )
65rehalfcld 10825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
76recnd 9651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
87negnegd 9957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  =  ( M  /  2 ) )
9 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
101, 3, 94sqlem5 14667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1211simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  ZZ )
1312zred 11007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  RR )
141, 3, 94sqlem6 14668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1615simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
1713, 16ltned 9752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =/=  ( M  /  2 ) )
1817neneqd 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  B  =  ( M  /  2 ) )
19 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  e.  CC )
2019sqvald 12349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
2120oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
224nncnd 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  CC )
23 2ne0 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  =/=  0 )
2522, 19, 24sqdivd 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
2622sqcld 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2821, 25, 273eqtr4d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
2926halfcld 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
3029halfcld 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
3112zcnd 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  CC )
3231sqcld 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
33 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
3430, 32, 33subeq0d 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( B ^ 2 ) )
3528, 34eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( M  /  2 ) ^ 2 ) )
36 sqeqor 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( B ^ 2 )  =  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( B  =  ( M  /  2
)  \/  B  = 
-u ( M  / 
2 ) ) ) )
3731, 7, 36syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( B ^
2 )  =  ( ( M  /  2
) ^ 2 )  <-> 
( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
3938ord 375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -.  B  =  ( M  /  2
)  ->  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
4018, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  -u ( M  /  2 ) )
4140, 12eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
4241znegcld 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
438, 42eqeltrrd 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  ZZ )
442, 43zaddcld 11011 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )
4544zred 11007 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
464nnrpd 11301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR+ )
4745, 46modcld 12038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
4847recnd 9651 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  CC )
49 0cnd 9618 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  CC )
50 df-neg 9843 . . . . . . 7  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
5140, 9, 503eqtr3g 2466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  =  ( 0  -  ( M  /  2
) ) )
5248, 49, 7, 51subcan2d 10008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 )
53 dvdsval3 14197 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
544, 44, 53syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
5552, 54mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )
564nnzd 11006 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
57 dvdssq 14405 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
5856, 44, 57syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
5955, 58mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )
6022sqvald 12349 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
614nnne0d 10620 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  =/=  0 )
62 dvdsmulcr 14220 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6356, 44, 56, 61, 62syl112anc 1234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6455, 63mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  x.  M
)  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
6560, 64eqbrtrd 4414 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
66 zsqcl 12281 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6756, 66syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
68 zsqcl 12281 . . . . 5  |-  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
6944, 68syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7044, 56zmulcld 11013 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )
71 dvds2sub 14223 . . . 4  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7267, 69, 70, 71syl3anc 1230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7359, 65, 72mp2and 677 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7444zcnd 11008 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  CC )
7574sqvald 12349 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  /  2
) ) ) )
7675oveq1d 6292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7774, 74, 22subdid 10052 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
78222halvesd 10824 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
7978oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )
802zcnd 11008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
8180, 7, 7pnpcan2d 10004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8279, 81eqtr3d 2445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  M
)  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8382oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
84 subsq 12318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) ) )
8580, 7, 84syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
8628oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8783, 85, 863eqtr2d 2449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8876, 77, 873eqtr2d 2449 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8973, 88breqtrd 4418 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521    + caddc 9524    x. cmul 9526    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841    / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   ZZcz 10904    mod cmo 12032   ^cexp 12208    || cdvds 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-dvds 14194  df-gcd 14352
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