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Theorem 4sqlem10 13270
Description: Lemma for 4sq 13287. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem10.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
54nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR )
65rehalfcld 10170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
76recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
87negnegd 9358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  =  ( M  /  2 ) )
9 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
101, 3, 94sqlem5 13265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1110adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1211simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  ZZ )
1312zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  RR )
141, 3, 94sqlem6 13266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1615simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
1713, 16ltned 9165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =/=  ( M  /  2 ) )
1817neneqd 2583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  B  =  ( M  /  2 ) )
19 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  e.  CC )
2120sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
2221oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
234nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  CC )
24 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  =/=  0 )
2623, 20, 25sqdivd 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
2723sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
2827, 20, 20, 25, 25divdiv1d 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2922, 26, 283eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
3027halfcld 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
3130halfcld 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
3212zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  CC )
3332sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
34 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
3531, 33, 34subeq0d 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( B ^ 2 ) )
3629, 35eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( M  /  2 ) ^ 2 ) )
37 sqeqor 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( B ^ 2 )  =  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( B  =  ( M  /  2
)  \/  B  = 
-u ( M  / 
2 ) ) ) )
3832, 7, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( B ^
2 )  =  ( ( M  /  2
) ^ 2 )  <-> 
( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) ) )
3936, 38mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
4039ord 367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -.  B  =  ( M  /  2
)  ->  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
4118, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  -u ( M  /  2 ) )
4241, 12eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
4342znegcld 10333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
448, 43eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  ZZ )
452, 44zaddcld 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )
4645zred 10331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
474nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR+ )
4846, 47modcld 11209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
4948recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  CC )
50 0cn 9040 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  CC )
52 df-neg 9250 . . . . . . 7  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
5341, 9, 523eqtr3g 2459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  =  ( 0  -  ( M  /  2
) ) )
5449, 51, 7, 53subcan2d 9409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 )
55 dvdsval3 12811 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
564, 45, 55syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
5754, 56mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )
584nnzd 10330 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
59 dvdssq 13015 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6058, 45, 59syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
6157, 60mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )
6223sqvald 11475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
634nnne0d 10000 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  =/=  0 )
64 dvdsmulcr 12834 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6558, 45, 58, 63, 64syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6657, 65mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  x.  M
)  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
6762, 66eqbrtrd 4192 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
68 zsqcl 11407 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6958, 68syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
70 zsqcl 11407 . . . . 5  |-  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7145, 70syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7245, 58zmulcld 10337 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )
73 dvds2sub 12837 . . . 4  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7469, 71, 72, 73syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7561, 67, 74mp2and 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7645zcnd 10332 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  CC )
7776sqvald 11475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  /  2
) ) ) )
7877oveq1d 6055 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7976, 76, 23subdid 9445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
80232halvesd 10169 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
8180oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )
822zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
8382, 7, 7pnpcan2d 9405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8481, 83eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  M
)  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8584oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
86 subsq 11443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) ) )
8782, 7, 86syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
8829oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8985, 87, 883eqtr2d 2442 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
9078, 79, 893eqtr2d 2442 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
9175, 90breqtrd 4196 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238    mod cmo 11205   ^cexp 11337    || cdivides 12807
This theorem is referenced by:  4sqlem16  13283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962
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