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Theorem 4sqlem10 14315
Description: Lemma for 4sq 14332. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
4sqlem5.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4sqlem5.4  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
4sqlem10.5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
Assertion
Ref Expression
4sqlem10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem 4sqlem10
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  ZZ )
3 4sqlem5.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  NN )
54nnred 10542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR )
65rehalfcld 10776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  RR )
76recnd 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  CC )
87negnegd 9912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  =  ( M  /  2 ) )
9 4sqlem5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  =  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )
101, 3, 94sqlem5 14310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  -  B )  /  M
)  e.  ZZ ) )
1211simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  ZZ )
1312zred 10957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  RR )
141, 3, 94sqlem6 14311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -u ( M  /  2 )  <_  B  /\  B  <  ( M  /  2 ) ) )
1615simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  <  ( M  /  2 ) )
1713, 16ltned 9711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =/=  ( M  /  2 ) )
1817neneqd 2664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  B  =  ( M  /  2 ) )
19 2cnd 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  e.  CC )
2019sqvald 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 ) )
2120oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
224nncnd 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  CC )
23 2ne0 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  2  =/=  0 )
2522, 19, 24sqdivd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
2622sqcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  CC )
2726, 19, 19, 24, 24divdiv1d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( M ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2821, 25, 273eqtr4d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  /  2 ) )
2926halfcld 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M ^
2 )  /  2
)  e.  CC )
3029halfcld 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  e.  CC )
3112zcnd 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  e.  CC )
3231sqcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
33 4sqlem10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
3430, 32, 33subeq0d 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( B ^ 2 ) )
3528, 34eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( ( M  /  2 ) ^ 2 ) )
36 sqeqor 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( B ^ 2 )  =  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 )  <->  ( B  =  ( M  /  2
)  \/  B  = 
-u ( M  / 
2 ) ) ) )
3731, 7, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( B ^
2 )  =  ( ( M  /  2
) ^ 2 )  <-> 
( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) ) )
3835, 37mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( B  =  ( M  /  2 )  \/  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
3938ord 377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( -.  B  =  ( M  /  2
)  ->  B  =  -u ( M  /  2
) ) )
4018, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  B  =  -u ( M  /  2 ) )
4140, 12eqeltrrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
4241znegcld 10959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
-u -u ( M  / 
2 )  e.  ZZ )
438, 42eqeltrrd 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  /  2
)  e.  ZZ )
442, 43zaddcld 10961 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )
4544zred 10957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  RR )
464nnrpd 11246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  RR+ )
4745, 46modcld 11960 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  RR )
4847recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  e.  CC )
49 0cnd 9580 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  0  e.  CC )
50 df-neg 9799 . . . . . . 7  |-  -u ( M  /  2 )  =  ( 0  -  ( M  /  2 ) )
5140, 9, 503eqtr3g 2526 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  mod 
M )  -  ( M  /  2 ) )  =  ( 0  -  ( M  /  2
) ) )
5248, 49, 7, 51subcan2d 9963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 )
53 dvdsval3 13842 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
544, 44, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( ( A  +  ( M  /  2
) )  mod  M
)  =  0 ) )
5552, 54mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )
564nnzd 10956 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  e.  ZZ )
57 dvdssq 14048 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
5856, 44, 57syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  ||  ( A  +  ( M  /  2 ) )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) ) )
5955, 58mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 ) )
6022sqvald 12264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( M  x.  M ) )
614nnne0d 10571 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  M  =/=  0 )
62 dvdsmulcr 13865 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6356, 44, 56, 61, 62syl112anc 1227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  x.  M )  ||  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M )  <-> 
M  ||  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ) )
6455, 63mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M  x.  M
)  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
6560, 64eqbrtrd 4462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )
66 zsqcl 12195 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
6756, 66syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  e.  ZZ )
68 zsqcl 12195 . . . . 5  |-  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  (
( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
6944, 68syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
7044, 56zmulcld 10963 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )
71 dvds2sub 13868 . . . 4  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M ^ 2 ) 
||  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7267, 69, 70, 71syl3anc 1223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  /\  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  M
) )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) ) ) )
7359, 65, 72mp2and 679 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) ) ^ 2 )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7444zcnd 10958 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( A  +  ( M  /  2 ) )  e.  CC )
7574sqvald 12264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  /  2
) ) ) )
7675oveq1d 6292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
7774, 74, 22subdid 10003 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  +  ( M  / 
2 ) ) )  -  ( ( A  +  ( M  / 
2 ) )  x.  M ) ) )
78222halvesd 10775 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( M  / 
2 )  +  ( M  /  2 ) )  =  M )
7978oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )
802zcnd 10958 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  CC )
8180, 7, 7pnpcan2d 9959 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  (
( M  /  2
)  +  ( M  /  2 ) ) )  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8279, 81eqtr3d 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  -  M
)  =  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) )
8382oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
84 subsq 12232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( M  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  / 
2 ) ) ) )
8580, 7, 84syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  ( A  -  ( M  /  2
) ) ) )
8628oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A ^
2 )  -  (
( M  /  2
) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8783, 85, 863eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  ( M  /  2
) )  x.  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  -  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8876, 77, 873eqtr2d 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  ( M  / 
2 ) ) ^
2 )  -  (
( A  +  ( M  /  2 ) )  x.  M ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
8973, 88breqtrd 4466 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( ( M ^ 2 )  /  2 )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483    + caddc 9486    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   ZZcz 10855    mod cmo 11954   ^cexp 12124    || cdivides 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-dvds 13839  df-gcd 13995
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