MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem1 Structured version   Unicode version

Theorem 4sqlem1 14325
Description: Lemma for 4sq 14341. The set  S is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that  S  =  NN0; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
4sqlem1  |-  S  C_  NN0
Distinct variable groups:    w, n, x, y, z    S, n
Allowed substitution hints:    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem1
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . 2  |-  S  =  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }
2 zsqcl2 12213 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x ^ 2 )  e.  NN0 )
3 zsqcl2 12213 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y ^ 2 )  e.  NN0 )
4 nn0addcl 10831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( y ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
52, 3, 4syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0 )
6 zsqcl2 12213 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  NN0 )
7 zsqcl2 12213 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
w ^ 2 )  e.  NN0 )
8 nn0addcl 10831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z ^ 2 )  e.  NN0  /\  ( w ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )
10 nn0addcl 10831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  e.  NN0  /\  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
115, 9, 10syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  e.  NN0 )
12 eleq1a 2550 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  e.  NN0  ->  ( n  =  ( ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  +  ( ( z ^
2 )  +  ( w ^ 2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ ) )  -> 
( n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1413rexlimdvva 2962 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 ) )
1514rexlimivv 2960 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
1615abssi 3575 . 2  |-  { n  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  n  =  ( ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) )  +  ( ( z ^ 2 )  +  ( w ^
2 ) ) ) }  C_  NN0
171, 16eqsstri 3534 1  |-  S  C_  NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815    C_ wss 3476  (class class class)co 6284    + caddc 9495   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by:  4sqlem19  14340
  Copyright terms: Public domain W3C validator