Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4rexfrabdioph Structured version   Unicode version

Theorem 4rexfrabdioph 30659
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    u, t,
v, w, x, y, J    t, K, u, v, w, x, y   
t, L, u, v, w, x, y    t, M, u, v, w, x, y    t, N, u, v, w, x, y    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, w, v, u)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sbcrex 30646 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph )
2 2sbcrex 30646 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph  <->  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
32rexbii 2969 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
41, 3bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
54sbcbii 3396 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
6 sbcrex 3421 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
7 sbcrex 3421 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
87rexbii 2969 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
96, 8bitri 249 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
105, 9bitri 249 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph ) )
1211rabbiia 3107 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }
13 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7  |-  L  =  ( M  +  1 )
14 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( N  +  1 )
15 nn0p1nn 10847 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1614, 15syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
1716peano2nnd 10565 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
1813, 17syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  NN )
1918nnnn0d 10864 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e. 
NN0 )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  L  e.  NN0 )
21 sbcrot3 30652 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
22 sbcrot3 30652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
2322sbcbii 3396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
24 sbcrot3 30652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
2625sbcbii 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
2721, 26bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
2827sbcbii 3396 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
29 reseq1 5273 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
3029sbccomieg 30654 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
31 fzssp1 11738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3214oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3331, 32sseqtr4i 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
34 fzssp1 11738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
3513oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... L )  =  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
3634, 35sseqtr4i 3542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... L
)
3733, 36sstri 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... L
)
38 resabs1 5308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
39 dfsbcq 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
41 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
) )
4241sbccomieg 30654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
43 elfz1end 11727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4416, 43sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4536, 44sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... L
) )
46 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
47 dfsbcq 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
4845, 46, 473syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
49 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  t  e. 
_V
5049resex 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  e.  _V
51 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  L )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
) )
5251sbcco3g 3848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... L ) )  e.  _V  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph )
54 elfz1end 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN  <->  L  e.  ( 1 ... L
) )
5518, 54sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  ( 1 ... L
) )
56 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
) )
57 dfsbcq 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph ) )
5855, 56, 573syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph ) )
5953, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6059sbcbidv 3395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6148, 60bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6242, 61syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6362sbcbidv 3395 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
6440, 63syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
6530, 64syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
6628, 65syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
6766rabbidv 3110 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph } )
6867eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) ) )
6968biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )
70 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
71 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
7270, 712rexfrabdioph 30657 . . . 4  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L )
)
7320, 69, 72syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L )
)
7412, 73syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  L )
)
7514, 132rexfrabdioph 30657 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  L )
)  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
7674, 75syldan 470 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336    C_ wss 3481    |` cres 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   1c1 9505    + caddc 9507   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ...cfz 11684  Diophcdioph 30616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386  df-mzpcl 30583  df-mzp 30584  df-dioph 30617
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  30660
  Copyright terms: Public domain W3C validator