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Theorem 4rexfrabdioph 26748
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, four variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
Assertion
Ref Expression
4rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    u, t,
v, w, x, y, J    t, K, u, v, w, x, y   
t, L, u, v, w, x, y    t, M, u, v, w, x, y    t, N, u, v, w, x, y    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, w, v, u)

Proof of Theorem 4rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( a `
 M )  e. 
_V
2 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( a `
 L )  e. 
_V
31, 22sbcrex 26733 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph )
41, 22sbcrex 26733 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph  <->  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
54rexbii 2691 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
63, 5bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
76sbcbii 3176 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
8 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
98resex 5145 . . . . . . . 8  |-  ( a  |`  ( 1 ... N
) )  e.  _V
10 sbcrexg 3196 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
)
119, 10ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph )
12 sbcrexg 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  |`  ( 1 ... N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph ) )
139, 12ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
1413rexbii 2691 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
1511, 14bitri 241 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
167, 15bitri 241 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph )
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph  <->  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph ) )
1817rabbiia 2906 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }
19 rexfrabdioph.2 . . . . . . 7  |-  L  =  ( M  +  1 )
20 rexfrabdioph.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( N  +  1 )
21 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2220, 21syl5eqel 2488 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
2322peano2nnd 9973 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
2419, 23syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  NN )
2524nnnn0d 10230 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e. 
NN0 )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  L  e.  NN0 )
27 sbcrot3 26737 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph )
28 sbcrot3 26737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
2928sbcbii 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
30 sbcrot3 26737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
3129, 30bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. ph  <->  [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( a `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph )
3231sbcbii 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
3327, 32bitr3i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
3433sbcbii 3176 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
35 reseq1 5099 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
3635sbccomieg 26739 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
37 fzssp1 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3820oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3937, 38sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
40 fzssp1 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
4119oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... L )  =  ( 1 ... ( M  +  1 ) )
4240, 41sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  C_  ( 1 ... L
)
4339, 42sstri 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... L
)
44 resabs1 5134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
45 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... L ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
4643, 44, 45mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
47 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
) )
4847sbccomieg 26739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph )
49 elfz1end 11037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
5022, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
5142, 50sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... L
) )
52 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
53 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
5451, 52, 533syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( a `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
55 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  t  e. 
_V
5655resex 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  e.  _V
572ax-gen 1552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. a
( a `  L
)  e.  _V
58 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... L
) )  ->  (
a `  L )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
) )
5958sbcco3gOLD 3266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) )  e.  _V  /\  A. a ( a `  L )  e.  _V )  ->  ( [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6056, 57, 59mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... L ) ) `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph )
61 elfz1end 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN  <->  L  e.  ( 1 ... L
) )
6224, 61sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  L  e.  ( 1 ... L
) )
63 fvres 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( 1 ... L )  ->  (
( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
) )
64 dfsbcq 3123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... L ) ) `
 L )  =  ( t `  L
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph ) )
6562, 63, 643syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. ph ) )
6660, 65syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6766sbcbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6854, 67bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
6948, 68syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph ) )
7069sbcbidv 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
7146, 70syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... L
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... L ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
7236, 71syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
7334, 72syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph ) )
7473rabbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... L ) )  /  a ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( a `
 L )  /  w ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph } )
7574eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) ) )
7675biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... J ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )
77 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
78 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
7977, 782rexfrabdioph 26746 . . . 4  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... L
) )  /  a ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L )
)
8026, 76, 79syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
a `  L )  /  w ]. ph }  e.  (Dioph `  L )
)
8118, 80syl5eqel 2488 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... L ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  L )
)
8220, 192rexfrabdioph 26746 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... L ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( a `  L )  /  w ]. E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  L )
)  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
8381, 82syldan 457 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... J ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. ph }  e.  (Dioph `  J ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121    C_ wss 3280    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   1c1 8947    + caddc 8949   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ...cfz 10999  Diophcdioph 26703
This theorem is referenced by:  6rexfrabdioph  26749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574  df-mzpcl 26670  df-mzp 26671  df-dioph 26704
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