MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4nn Structured version   Unicode version

Theorem 4nn 10686
Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
4nn  |-  4  e.  NN

Proof of Theorem 4nn
StepHypRef Expression
1 df-4 10587 . 2  |-  4  =  ( 3  +  1 )
2 3nn 10685 . . 3  |-  3  e.  NN
3 peano2nn 10539 . . 3  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
3  +  1 )  e.  NN )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( 3  +  1 )  e.  NN
51, 4eqeltri 2546 1  |-  4  e.  NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762  (class class class)co 6277   1c1 9484    + caddc 9486   NNcn 10527   3c3 10577   4c4 10578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-1cn 9541
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587
This theorem is referenced by:  5nn  10687  4nn0  10805  iexpcyc  12229  ef01bndlem  13771  sin01bnd  13772  cos01bnd  13773  2expltfac  14426  8nprm  14446  37prm  14455  43prm  14456  83prm  14457  139prm  14458  631prm  14461  1259lem3  14464  1259prm  14467  2503lem2  14469  starvndx  14597  starvid  14598  ressstarv  14600  srngfn  14601  homndx  14661  homid  14662  resshom  14665  prdsvalstr  14699  oppchomfval  14961  oppcbas  14965  rescco  15053  catstr  15175  lt6abl  16683  pcoass  21254  minveclem3  21574  iblitg  21905  dveflem  22110  tan4thpi  22635  atan1  22982  log2tlbnd  22999  log2ub  23003  ppiub  23202  bclbnd  23278  bpos1  23281  bposlem6  23287  bposlem7  23288  bposlem8  23289  bposlem9  23290  lgsdir2lem2  23322  m1lgs  23360  chebbnd1lem1  23377  chebbnd1lem2  23378  chebbnd1lem3  23379  pntibndlem1  23497  pntibndlem2  23499  pntibndlem3  23500  pntlema  23504  pntlemb  23505  pntlemg  23506  pntlemf  23513  usgraexvlem  24059  4cycl4dv  24331  fib5  27972  4bc2eq6  28575  fsumcube  29387  rmydioph  30551  rmxdioph  30553  expdiophlem2  30559  zlmodzxzequa  32055  zlmodzxznm  32056  zlmodzxzequap  32058  zlmodzxzldeplem3  32061  zlmodzxzldep  32063  ldepsnlinclem1  32064  ldepsnlinc  32067
  Copyright terms: Public domain W3C validator