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Theorem 4fvwrd4 11525
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Distinct variable groups:    P, a,
b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    L( a, b, c, d)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 10586 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
3 elnn0uz 10890 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  <->  0  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
42, 3mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
5 3nn0 10589 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
6 elnn0uz 10890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  NN0  <->  3  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
75, 6mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
8 uzss 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
109sseli 3347 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 eluzfz 11440 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
124, 10, 11sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  0  e.  ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelrnd 5839 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
0 )  e.  V
)
15 risset 2758 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  a  =  ( P `  0 ) )
16 eqcom 2440 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  a )
1716rexbii 2735 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  V  a  =  ( P ` 
0 )  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1815, 17bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1914, 18sylib 196 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
20 1nn0 10587 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
21 elnn0uz 10890 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN0  <->  1  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
2220, 21mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
23 1z 10668 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
24 3z 10671 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
25 1le3 10530 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  3
26 eluz2 10859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  1  <_ 
3 ) )
2723, 24, 25, 26mpbir3an 1170 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
28 uzss 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
3029sseli 3347 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31 eluzfz 11440 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3222, 30, 31sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  1  e.  ( 0 ... L ) )
341, 33ffvelrnd 5839 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
1 )  e.  V
)
35 risset 2758 . . . . . 6  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  b  =  ( P `  1 ) )
36 eqcom 2440 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  b )
3736rexbii 2735 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  b  =  ( P ` 
1 )  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3835, 37bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3934, 38sylib 196 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
4019, 39jca 532 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
41 2nn0 10588 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
42 elnn0uz 10890 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN0  <->  2  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4341, 42mpbi 208 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
44 2z 10670 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
45 2re 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
46 3re 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
47 2lt3 10481 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  3
4845, 46, 47ltleii 9489 . . . . . . . . . 10  |-  2  <_  3
49 eluz2 10859 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
5044, 24, 48, 49mpbir3an 1170 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
51 uzss 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 )
5352sseli 3347 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
54 eluzfz 11440 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
5543, 53, 54sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
5655adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  2  e.  ( 0 ... L ) )
571, 56ffvelrnd 5839 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
2 )  e.  V
)
58 risset 2758 . . . . 5  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  c  =  ( P `  2 ) )
59 eqcom 2440 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  c )
6059rexbii 2735 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  c  =  ( P ` 
2 )  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
6158, 60bitri 249 . . . 4  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
6257, 61sylib 196 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
63 eluzfz 11440 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
647, 63mpan 670 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
6564adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  3  e.  ( 0 ... L ) )
661, 65ffvelrnd 5839 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
3 )  e.  V
)
67 risset 2758 . . . . 5  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  d  =  ( P `  3 ) )
68 eqcom 2440 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  <->  ( P `  3 )  =  d )
6968rexbii 2735 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  d  =  ( P ` 
3 )  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
7067, 69bitri 249 . . . 4  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
7166, 70sylib 196 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
7240, 62, 71jca32 535 . 2  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
73 r19.42v 2870 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
74 r19.42v 2870 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
7574anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7673, 75bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7776rexbii 2735 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
78772rexbii 2737 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
79 r19.42v 2870 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
80 r19.41v 2868 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
8180anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8279, 81bitri 249 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
83822rexbii 2737 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
84 r19.41v 2868 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. b  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
85 r19.42v 2870 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
8685anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( E. b  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8784, 86bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8887rexbii 2735 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
89 r19.41v 2868 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. a  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
90 r19.41v 2868 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
9190anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( E. a  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
9288, 89, 913bitri 271 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
9378, 83, 923bitri 271 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
9472, 93sylibr 212 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275    <_ cle 9411   2c2 10363   3c3 10364   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl1  23481  4cycl4v4e  23503  4cycl4dv4e  23505
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