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Theorem 4fvwrd4 11044
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Distinct variable groups:    P, a,
b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    L( a, b, c, d)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 10161 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
3 elnn0uz 10448 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  <->  0  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
42, 3mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
5 3nn0 10164 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
6 elnn0uz 10448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  NN0  <->  3  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
75, 6mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
8 uzss 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
109sseli 3280 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 eluzfz 10979 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
124, 10, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  0  e.  ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelrnd 5803 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
0 )  e.  V
)
15 risset 2689 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  a  =  ( P `  0 ) )
16 eqcom 2382 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  a )
1716rexbii 2667 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  V  a  =  ( P ` 
0 )  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1815, 17bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1914, 18sylib 189 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
20 1nn0 10162 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
21 elnn0uz 10448 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN0  <->  1  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
2220, 21mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
23 1z 10236 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
245nn0zi 10231 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
25 1re 9016 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
26 3re 9996 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR
27 1lt3 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  3
2825, 26, 27ltleii 9120 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  3
29 eluz2 10419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  1  <_ 
3 ) )
3023, 24, 28, 29mpbir3an 1136 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
31 uzss 10431 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
3332sseli 3280 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
34 eluzfz 10979 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3522, 33, 34sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3635adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  1  e.  ( 0 ... L ) )
371, 36ffvelrnd 5803 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
1 )  e.  V
)
38 risset 2689 . . . . . 6  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  b  =  ( P `  1 ) )
39 eqcom 2382 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  b )
4039rexbii 2667 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  b  =  ( P ` 
1 )  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
4138, 40bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
4237, 41sylib 189 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
4319, 42jca 519 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
44 2nn0 10163 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
45 elnn0uz 10448 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN0  <->  2  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
4644, 45mpbi 200 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
47 2z 10237 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
48 2re 9994 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
49 2lt3 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  3
5048, 26, 49ltleii 9120 . . . . . . . . . 10  |-  2  <_  3
51 eluz2 10419 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
5247, 24, 50, 51mpbir3an 1136 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
53 uzss 10431 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 ) )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  2 )
5554sseli 3280 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
56 eluzfz 10979 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
5746, 55, 56sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
5857adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  2  e.  ( 0 ... L ) )
591, 58ffvelrnd 5803 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
2 )  e.  V
)
60 risset 2689 . . . . 5  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  c  =  ( P `  2 ) )
61 eqcom 2382 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  c )
6261rexbii 2667 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  c  =  ( P ` 
2 )  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
6360, 62bitri 241 . . . 4  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
6459, 63sylib 189 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
65 eluzfz 10979 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
667, 65mpan 652 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
6766adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  3  e.  ( 0 ... L ) )
681, 67ffvelrnd 5803 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
3 )  e.  V
)
69 risset 2689 . . . . 5  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  d  =  ( P `  3 ) )
70 eqcom 2382 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  <->  ( P `  3 )  =  d )
7170rexbii 2667 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  d  =  ( P ` 
3 )  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
7269, 71bitri 241 . . . 4  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
7368, 72sylib 189 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
7443, 64, 73jca32 522 . 2  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
75 r19.42v 2798 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
76 r19.42v 2798 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
7776anbi2i 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7875, 77bitri 241 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7978rexbii 2667 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
80792rexbii 2669 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
81 r19.42v 2798 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
82 r19.41v 2797 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
8382anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8481, 83bitri 241 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
85842rexbii 2669 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
86 r19.41v 2797 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. b  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
87 r19.42v 2798 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
8887anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( E. b  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8986, 88bitri 241 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
9089rexbii 2667 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
91 r19.41v 2797 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. a  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
92 r19.41v 2797 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
9392anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( E. a  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
9490, 91, 933bitri 263 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
9580, 85, 943bitri 263 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
9674, 95sylibr 204 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643    C_ wss 3256   class class class wbr 4146   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   0cc0 8916   1c1 8917    <_ cle 9047   2c2 9974   3c3 9975   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl1  21472  4cycl4v4e  21494  4cycl4dv4e  21496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969
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