MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4fvwrd4 Structured version   Unicode version

Theorem 4fvwrd4 11797
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Distinct variable groups:    P, a,
b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    L( a, b, c, d)

Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 10806 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
3 elnn0uz 11119 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  NN0  <->  0  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
42, 3mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
5 3nn0 10809 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN0
6 elnn0uz 11119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  NN0  <->  3  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
75, 6mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
8 uzss 11102 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  0 )
109sseli 3485 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 eluzfz 11686 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
124, 10, 11sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
1312adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  0  e.  ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
0 )  e.  V
)
15 risset 2979 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  a  =  ( P `  0 ) )
16 eqcom 2463 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  a )
1716rexbii 2956 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  V  a  =  ( P ` 
0 )  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1815, 17bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( P `  0 )  e.  V  <->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
1914, 18sylib 196 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a )
20 1eluzge0 11125 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
21 1z 10890 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
22 3z 10893 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
23 1le3 10748 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <_  3
24 eluz2 11088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  1  <_ 
3 ) )
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1176 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
26 uzss 11102 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
2827sseli 3485 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
29 eluzfz 11686 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3020, 28, 29sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  ( 0 ... L
) )
3130adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  1  e.  ( 0 ... L ) )
321, 31ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
1 )  e.  V
)
33 risset 2979 . . . . . 6  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  b  =  ( P `  1 ) )
34 eqcom 2463 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  b )
3534rexbii 2956 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  b  =  ( P ` 
1 )  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3633, 35bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( P `  1 )  e.  V  <->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3732, 36sylib 196 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )
3819, 37jca 530 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
39 2eluzge0 11126 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
40 uzuzle23 11122 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
41 eluzfz 11686 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
4239, 40, 41sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  e.  ( 0 ... L
) )
4342adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  2  e.  ( 0 ... L ) )
441, 43ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
2 )  e.  V
)
45 risset 2979 . . . . 5  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  c  =  ( P `  2 ) )
46 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  c )
4746rexbii 2956 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  c  =  ( P ` 
2 )  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
4845, 47bitri 249 . . . 4  |-  ( ( P `  2 )  e.  V  <->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
4944, 48sylib 196 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c )
50 eluzfz 11686 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  L  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
517, 50mpan 668 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  ( 0 ... L
) )
5251adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  3  e.  ( 0 ... L ) )
531, 52ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( P ` 
3 )  e.  V
)
54 risset 2979 . . . . 5  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  d  =  ( P `  3 ) )
55 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( P ` 
3 )  <->  ( P `  3 )  =  d )
5655rexbii 2956 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  d  =  ( P ` 
3 )  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
5754, 56bitri 249 . . . 4  |-  ( ( P `  3 )  e.  V  <->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
5853, 57sylib 196 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )
5938, 49, 58jca32 533 . 2  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  ( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
60 r19.42v 3009 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
61 r19.42v 3009 . . . . . . 7  |-  ( E. d  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
6261anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. d  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
6360, 62bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
6463rexbii 2956 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
65642rexbii 2957 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
66 r19.42v 3009 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  (
( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
67 r19.41v 3006 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  V  ( ( P `  2
)  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d )  <->  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )
6867anbi2i 692 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  E. c  e.  V  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
6966, 68bitri 249 . . . 4  |-  ( E. c  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
70692rexbii 2957 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
71 r19.41v 3006 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. b  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
72 r19.42v 3009 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
7372anbi1i 693 . . . . . 6  |-  ( ( E. b  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7471, 73bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7574rexbii 2956 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
76 r19.41v 3006 . . . 4  |-  ( E. a  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( E. a  e.  V  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
77 r19.41v 3006 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  V  ( ( P `  0
)  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  <->  ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b ) )
7877anbi1i 693 . . . 4  |-  ( ( E. a  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7975, 76, 783bitri 271 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8065, 70, 793bitri 271 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  <-> 
( ( E. a  e.  V  ( P `  0 )  =  a  /\  E. b  e.  V  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( E. c  e.  V  ( P `  2 )  =  c  /\  E. d  e.  V  ( P `  3 )  =  d ) ) )
8159, 80sylibr 212 1  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... L ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    <_ cle 9618   2c2 10581   3c3 10582   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl1  24846  4cycl4v4e  24868  4cycl4dv4e  24870
  Copyright terms: Public domain W3C validator