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Theorem 4cycl4v4e 23703
Description: If there is a cycle of length 4 in a graph, there are four (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4cycl4v4e  |-  ( ( Fun  E  /\  F
( V Cycles  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c, d    P, a, b, c, d    V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    F( a, b, c, d)

Proof of Theorem 4cycl4v4e
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 23669 . . . . 5  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
2 wlkbprop 23584 . . . . 5  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
4 iscycl 23662 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P 
<->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
5 ispth 23618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
6 istrl 23587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7 fzo0to42pr 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0..^ 4 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } )
87raleqi 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
9 ralunb 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  ( {
0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  <->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )
10 0z 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  ZZ
11 1z 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
12 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
1312fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
14 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
15 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
16 0p1e1 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1715, 16syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
1817fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
1914, 18preq12d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
2013, 19eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
21 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
2221fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
23 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
24 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
25 1p1e2 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
2624, 25syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
2726fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
2823, 27preq12d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
2922, 28eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
3020, 29ralprg 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
3110, 11, 30mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
32 2z 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
33 3z 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  3  e.  ZZ
34 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  2  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
2 ) )
3534fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  2  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  2 )
) )
36 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
2 ) )
37 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
38 2p1e3 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3937, 38syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  3 )
4039fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
3 ) )
4136, 40preq12d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  2  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) } )
4235, 41eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  2  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  2
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) } ) )
43 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  3  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
3 ) )
4443fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  3  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  3 )
) )
45 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  3  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
3 ) )
46 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  3  ->  (
k  +  1 )  =  ( 3  +  1 ) )
47 3p1e4 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 3  +  1 )  =  4
4846, 47syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  3  ->  (
k  +  1 )  =  4 )
4948fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  3  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
4 ) )
5045, 49preq12d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  3  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  4 ) } )
5144, 50eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  3  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  3
) )  =  {
( P `  3
) ,  ( P `
 4 ) } ) )
5242, 51ralprg 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e. 
{ 2 ,  3 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  /\  ( E `  ( F `  3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } ) ) )
5332, 33, 52mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
2 ) )  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
3 ) )  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  4 ) } ) )
5431, 53anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } ) ) )
558, 9, 543bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } ) ) )
56 preq2 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P `  4 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
4 ) }  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  0 ) } )
5756eqcoms 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
4 ) }  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  0 ) } )
5857eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  (
( E `  ( F `  3 )
)  =  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
4 ) }  <->  ( E `  ( F `  3
) )  =  {
( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) } ) )
5958anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  (
( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  /\  ( E `  ( F `  3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) ) )
6059anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  (
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  /\  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } ) )  <-> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  /\  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) ) ) )
61 4pos 10527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  0  <  4
62 breq2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
0  <  ( # `  F
)  <->  0  <  4
) )
6361, 62mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  0  <  ( # `  F
) )
64 0nn0 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  e.  NN0
6563, 64jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
0  e.  NN0  /\  0  <  ( # `  F
) ) )
66 nvnencycllem 23680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  0  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  ran  E ) )
6765, 66sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E ) )
68 1lt4 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  1  <  4
69 breq2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
1  <  ( # `  F
)  <->  1  <  4
) )
7068, 69mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  1  <  ( # `  F
) )
71 1nn0 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  e.  NN0
7270, 71jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
1  e.  NN0  /\  1  <  ( # `  F
) ) )
73 nvnencycllem 23680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 1  e. 
NN0  /\  1  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  ran  E ) )
7472, 73sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  ->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E ) )
7567, 74anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E ) ) )
76 2lt4 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  2  <  4
77 breq2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
2  <  ( # `  F
)  <->  2  <  4
) )
7876, 77mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  2  <  ( # `  F
) )
79 2nn0 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  2  e.  NN0
8078, 79jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
2  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  F
) ) )
81 nvnencycllem 23680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 2  e. 
NN0  /\  2  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  ->  { ( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E ) )
8280, 81sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
2 ) )  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  e.  ran  E ) )
83 3lt4 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  3  <  4
84 breq2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
3  <  ( # `  F
)  <->  3  <  4
) )
8583, 84mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  3  <  ( # `  F
) )
86 3nn0 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  3  e.  NN0
8785, 86jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
3  e.  NN0  /\  3  <  ( # `  F
) ) )
88 nvnencycllem 23680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 3  e. 
NN0  /\  3  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  3 )
)  =  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  ->  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
8987, 88sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
3 ) )  =  { ( P ` 
3 ) ,  ( P `  0 ) }  ->  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )
9082, 89anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  /\  ( E `  ( F `  3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
9175, 90anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  ( ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  ran  E )  /\  ( { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
9291adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F ) )  /\  ( # `  F )  =  4 )  ->  ( (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  ran  E )  /\  ( { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
9392imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
) )  /\  ( # `
 F )  =  4 )  /\  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) ) )  ->  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
94 4nn0 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  4  e.  NN0
9594nn0zi 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  4  e.  ZZ
96 3re 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  3  e.  RR
97 4re 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  4  e.  RR
9896, 97, 83ltleii 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  3  <_  4
99 eluz2 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
10033, 95, 98, 99mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
101 4fvwrd4 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 4  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
102100, 101mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P : ( 0 ... 4 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
103 preq12 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =  { a ,  b } )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =  {
a ,  b } )
105104eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
106 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( P ` 
1 )  =  b )
107 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( P ` 
2 )  =  c )
108106, 107preq12d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  =  {
b ,  c } )
109108eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E  <->  { b ,  c }  e.  ran  E
) )
110105, 109anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  ran  E )  <-> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E ) ) )
111 preq12 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d )  ->  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) }  =  { c ,  d } )
112111adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) }  =  {
c ,  d } )
113112eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  e.  ran  E  <->  { c ,  d }  e.  ran  E
) )
114 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( P ` 
3 )  =  d )
115 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( P ` 
0 )  =  a )
116114, 115preq12d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) }  =  {
d ,  a } )
117116eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( { ( P `  3 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { d ,  a }  e.  ran  E
) )
118113, 117anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( { ( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E )  <-> 
( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) )
119110, 118anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E
)  /\  ( {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
120119biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E )  /\  ( { ( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
121120reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E )  /\  ( { ( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
122121reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E )  /\  ( { ( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
123122reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E )  /\  ( { ( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
124123reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E )  /\  ( { ( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  3
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
12593, 102, 124syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
) )  /\  ( # `
 F )  =  4 )  /\  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... 4 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
126125exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
E  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( # `  F )  =  4  ->  (
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  /\  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( P :
( 0 ... 4
) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
127126com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( # `  F )  =  4  ->  ( Fun  E  ->  ( P : ( 0 ... 4 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
128127com35 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 4 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
12960, 128syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  (
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  /\  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 4 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) )
130129com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  4
)  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 4 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) )
131130com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  /\  ( ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  /\  ( E `  ( F `
 3 ) )  =  { ( P `
 3 ) ,  ( P `  4
) } ) )  ->  ( P :
( 0 ... 4
) --> V  ->  (
( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
4 )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `
 F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) ) )
13255, 131sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( P : ( 0 ... 4 ) --> V  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 4 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) )
133132com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P :
( 0 ... 4
) --> V  ->  ( A. k  e.  (
0..^ 4 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 4 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) )
1341333imp 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 4 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
135134com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 4 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
136 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  4 ) )
137136eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  4
) ) )
138 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 4 ) )
139138feq2d 5654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 4
) --> V ) )
140 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 4 ) )
141140raleqdv 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) )
142139, 1413anbi23d 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
143142imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( (
( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... 4
) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
144143imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <->  ( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 4 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 4 ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
145135, 137, 1443imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  4  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( Fun  E  ->  ( (
( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
146145com14 88 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
147146a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( ( P
" { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
148147a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  ->  (
( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) )
1496, 148syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( P
" { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) ) )
1501493impd 1202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
1515, 150sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
152151impd 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Paths  E
) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `
 F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E
)  /\  ( {
c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
1534, 152sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
1541533adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
1553, 154mpcom 36 . . 3  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
156155com12 31 . 2  |-  ( Fun 
E  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( ( # `  F )  =  4  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
1571563imp 1182 1  |-  ( ( Fun  E  /\  F
( V Cycles  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  4 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E )  /\  ( { c ,  d }  e.  ran  E  /\  { d ,  a }  e.  ran  E
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    u. cun 3433    i^i cin 3434   (/)c0 3744   {cpr 3986   class class class wbr 4399   `'ccnv 4946   dom cdm 4947   ran crn 4948    |` cres 4949   "cima 4950   Fun wfun 5519   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    < clt 9528    <_ cle 9529   2c2 10481   3c3 10482   4c4 10483   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   ...cfz 11553  ..^cfzo 11664   #chash 12219  Word cword 12338   Walks cwalk 23556   Trails ctrail 23557   Paths cpath 23558   Cycles ccycl 23565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-hash 12220  df-word 12346  df-wlk 23566  df-trail 23567  df-pth 23568  df-cycl 23571
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