Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem3 Structured version   Unicode version

Theorem 4atlem3 33237
Description: Lemma for 4at 33254. Break inequality into 4 cases. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
) ) )

Proof of Theorem 4atlem3
StepHypRef Expression
1 simpl11 1063 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
3 simpl21 1066 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
4 simpl22 1067 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
5 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
6 4at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 4at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 4at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( LVols `  K )  =  (
LVols `  K )
106, 7, 8, 9lvoli2 33222 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  ( LVols `  K )
)
112, 3, 4, 5, 10syl121anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  ( LVols `  K )
)
12 simpl23 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  T  e.  A )
13 simpl3l 1043 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  U  e.  A )
14 simpl3r 1044 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
156, 7, 8, 9lvolnle3at 33223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  ( LVols `  K
) )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  V  e.  A )
)  ->  -.  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )
161, 11, 12, 13, 14, 15syl23anc 1225 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )
17 hllat 33005 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
181, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
19 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2019, 7, 8hlatjcl 33008 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
212, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
2219, 7, 8hlatjcl 33008 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
231, 3, 4, 22syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
2419, 7, 8hlatjcl 33008 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
251, 12, 13, 24syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
2619, 8atbase 32931 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2714, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2819, 7latjcl 15219 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  V  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  e.  ( Base `  K ) )
2918, 25, 27, 28syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3019, 6, 7latjle12 15230 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
3118, 21, 23, 29, 30syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  ( R 
.\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
32 simpl12 1064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
3319, 8atbase 32931 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
35 simpl13 1065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
3619, 8atbase 32931 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3819, 6, 7latjle12 15230 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  <-> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) ) )
3918, 34, 37, 29, 38syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )
4019, 8atbase 32931 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
413, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
4219, 8atbase 32931 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
434, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4419, 6, 7latjle12 15230 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  <-> 
( R  .\/  S
)  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) ) )
4518, 41, 43, 29, 44syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )
4639, 45anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) ) )
4719, 7latjass 15263 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
)  /\  S  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
4818, 21, 41, 43, 47syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
4948breq1d 4300 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
5031, 46, 493bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
5116, 50mtbird 301 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) ) )
52 ianor 488 . . 3  |-  ( -.  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( -.  ( P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
)  \/  -.  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
) ) )
53 ianor 488 . . . 4  |-  ( -.  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( -.  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
54 ianor 488 . . . 4  |-  ( -.  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( -.  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
5553, 54orbi12i 521 . . 3  |-  ( ( -.  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  \/  -.  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) ) )
5652, 55bitri 249 . 2  |-  ( -.  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) ) )
5751, 56sylib 196 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   lecple 14243   joincjn 15112   Latclat 15213   Atomscatm 32905   HLchlt 32992   LVolsclvol 33134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-lat 15214  df-clat 15276  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141
This theorem is referenced by:  4atlem3a  33238  4atlem12  33253
  Copyright terms: Public domain W3C validator