Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem3 Structured version   Unicode version

Theorem 4atlem3 33131
Description: Lemma for 4at 33148. Break inequality into 4 cases. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
) ) )

Proof of Theorem 4atlem3
StepHypRef Expression
1 simpl11 1080 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl1 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
3 simpl21 1083 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
4 simpl22 1084 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
5 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
6 4at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 4at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 4at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( LVols `  K )  =  (
LVols `  K )
106, 7, 8, 9lvoli2 33116 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  ( LVols `  K )
)
112, 3, 4, 5, 10syl121anc 1269 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  ( LVols `  K )
)
12 simpl23 1085 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  T  e.  A )
13 simpl3l 1060 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  U  e.  A )
14 simpl3r 1061 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
156, 7, 8, 9lvolnle3at 33117 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  ( LVols `  K
) )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  V  e.  A )
)  ->  -.  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )
161, 11, 12, 13, 14, 15syl23anc 1271 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )
17 hllat 32899 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
181, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
19 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2019, 7, 8hlatjcl 32902 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
212, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
2219, 7, 8hlatjcl 32902 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
231, 3, 4, 22syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
2419, 7, 8hlatjcl 32902 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
251, 12, 13, 24syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
2619, 8atbase 32825 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2714, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2819, 7latjcl 16297 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  V  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  e.  ( Base `  K ) )
2918, 25, 27, 28syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3019, 6, 7latjle12 16308 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
3118, 21, 23, 29, 30syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  ( R 
.\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
32 simpl12 1081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
3319, 8atbase 32825 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3432, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
35 simpl13 1082 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
3619, 8atbase 32825 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3735, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3819, 6, 7latjle12 16308 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  <-> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) ) )
3918, 34, 37, 29, 38syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )
4019, 8atbase 32825 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
413, 40syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
4219, 8atbase 32825 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
434, 42syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
4419, 6, 7latjle12 16308 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  <-> 
( R  .\/  S
)  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) ) )
4518, 41, 43, 29, 44syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )
4639, 45anbi12d 715 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) ) )
4719, 7latjass 16341 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
)  /\  S  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
4818, 21, 41, 43, 47syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
4948breq1d 4433 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
5031, 46, 493bitr4d 288 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
5116, 50mtbird 302 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) ) )
52 ianor 490 . . 3  |-  ( -.  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( -.  ( P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
)  \/  -.  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
) ) )
53 ianor 490 . . . 4  |-  ( -.  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( -.  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
54 ianor 490 . . . 4  |-  ( -.  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V ) )  <->  ( -.  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) )
5553, 54orbi12i 523 . . 3  |-  ( ( -.  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  \/  -.  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) ) )
5652, 55bitri 252 . 2  |-  ( -.  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) ) )  <->  ( ( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V ) ) ) )
5751, 56sylib 199 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )  \/  -.  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  V ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  V )  \/  -.  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  V )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   Basecbs 15121   lecple 15197   joincjn 16189   Latclat 16291   Atomscatm 32799   HLchlt 32886   LVolsclvol 33028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-lat 16292  df-clat 16354  df-oposet 32712  df-ol 32714  df-oml 32715  df-covers 32802  df-ats 32803  df-atl 32834  df-cvlat 32858  df-hlat 32887  df-llines 33033  df-lplanes 33034  df-lvols 33035
This theorem is referenced by:  4atlem3a  33132  4atlem12  33147
  Copyright terms: Public domain W3C validator