Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem12 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 4atlem12 33222
Description: Lemma for 4at 33223. Combine all four possible cases. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )

Proof of Theorem 4atlem12
StepHypRef Expression
1 simpl11 1089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 32974 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl12 1090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 4at.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 32900 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
9 simpl13 1091 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
105, 6atbase 32900 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
12 simpl23 1094 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  T  e.  A )
13 simpl31 1095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  U  e.  A )
14 4at.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatjcl 32977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
161, 12, 13, 15syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
17 simpl32 1096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
18 simpl33 1097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  W  e.  A )
195, 14, 6hlatjcl 32977 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
201, 17, 18, 19syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
215, 14latjcl 16346 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( T  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
223, 16, 20, 21syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
23 4at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
245, 23, 14latjle12 16357 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
253, 8, 11, 22, 24syl13anc 1278 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
26 simpl21 1092 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
275, 6atbase 32900 . . . . . 6  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
29 simpl22 1093 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
305, 6atbase 32900 . . . . . 6  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
325, 23, 14latjle12 16357 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
333, 28, 31, 22, 32syl13anc 1278 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3425, 33anbi12d 722 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
35 simpl1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
365, 14, 6hlatjcl 32977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3735, 36syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
385, 14, 6hlatjcl 32977 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
391, 26, 29, 38syl3anc 1276 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
405, 23, 14latjle12 16357 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
413, 37, 39, 22, 40syl13anc 1278 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R 
.\/  S )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
4234, 41bitrd 261 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
43 simp1l 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
44 simp1r 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
45 simp2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
46 simp3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
4723, 14, 64atlem12b 33221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1281 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
49483exp 1214 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
505, 14latj4rot 16397 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
513, 11, 28, 31, 8, 50syl122anc 1285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
52513ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
531, 9, 263jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )
5429, 4, 123jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )
)
55 simpl3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
5653, 54, 553jca 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
57563ad2ant1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
58 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
5923, 14, 64noncolr3 33063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
6035, 26, 29, 58, 59syl121anc 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
61603ad2ant1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( Q  =/= 
R  /\  -.  S  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) ) )
62 simp2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
63 simprlr 778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
64 simprrl 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
6563, 64jca 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
66 simprrr 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
67 simprll 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
6865, 66, 67jca32 542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
69683adant2 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
7023, 14, 64atlem12b 33221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  P  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( Q  =/=  R  /\  -.  S  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  S ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
7157, 61, 62, 69, 70syl121anc 1281 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  ( S  .\/  P ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
7252, 71eqtr3d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
73723exp 1214 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
7449, 73jaod 386 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
755, 14latjcom 16354 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R  .\/  S )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) )
763, 37, 39, 75syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S )  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
77763ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) )
781, 26, 293jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A ) )
794, 9, 123jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )
)
8078, 79, 553jca 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
81803ad2ant1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
8223, 14, 64noncolr2 33064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
8335, 26, 29, 58, 82syl121anc 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
84833ad2ant1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( R  =/= 
S  /\  -.  P  .<_  ( R  .\/  S
)  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S )  .\/  P ) ) )
85 simp2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
86 simprr 771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
87 simprl 769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
8886, 87jca 539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
89883adant2 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
9023, 14, 64atlem12b 33221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( R  =/=  S  /\  -.  P  .<_  ( R 
.\/  S )  /\  -.  Q  .<_  ( ( R  .\/  S ) 
.\/  P ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.\/  S )  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
9181, 84, 85, 89, 90syl121anc 1281 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( R 
.\/  S )  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
9277, 91eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
93923exp 1214 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
945, 14latj4rot 16397 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
953, 8, 11, 28, 31, 94syl122anc 1285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
96953ad2ant1 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
971, 29, 43jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A ) )
989, 26, 123jca 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )
)
9997, 98, 553jca 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
100993ad2ant1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) ) )
10123, 14, 64noncolr1 33065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
10235, 26, 29, 58, 101syl121anc 1281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
1031023ad2ant1 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( S  =/= 
P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P
)  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
104 simp2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)
10566, 67jca 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
106105, 63, 64jca32 542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  (
( P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
1071063adant2 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
10823, 14, 64atlem12b 33221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S 
.\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  Q ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( ( S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  P )  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
109100, 103, 104, 107, 108syl121anc 1281 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  P )  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
11096, 109eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( U 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
1111103exp 1214 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( ( P 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
11293, 111jaod 386 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
11326, 29, 133jca 1194 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A )
)
11417, 18jca 539 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
11523, 14, 64atlem3 33206 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  U  e.  A )  /\  ( V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V )  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
) ) )
11635, 113, 114, 58, 115syl31anc 1279 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  P  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  Q  .<_  ( ( U  .\/  V ) 
.\/  W ) )  \/  ( -.  R  .<_  ( ( U  .\/  V )  .\/  W )  \/  -.  S  .<_  ( ( U  .\/  V
)  .\/  W )
) ) )
11774, 112, 116mpjaod 387 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( T 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( T  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
11842, 117sylbird 243 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) 
.<_  ( ( T  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   lecple 15246   joincjn 16238   Latclat 16340   Atomscatm 32874   HLchlt 32961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110
This theorem is referenced by:  4at  33223
  Copyright terms: Public domain W3C validator