Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem11 Structured version   Unicode version

Theorem 4atlem11 34761
Description: Lemma for 4at 34765. Combine all three possible cases. (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .\/  ( R  .\/  S ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )

Proof of Theorem 4atlem11
StepHypRef Expression
1 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
2 simpl11 1071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 34516 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simpl2l 1049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 4at.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
86, 7atbase 34442 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
10 simpl2r 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
116, 7atbase 34442 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
13 simpl12 1072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
14 simpl31 1077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  U  e.  A )
15 4at.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
166, 15, 7hlatjcl 34519 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
172, 13, 14, 16syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
18 simpl32 1078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
19 simpl33 1079 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  W  e.  A )
206, 15, 7hlatjcl 34519 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
212, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
226, 15latjcl 15555 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
234, 17, 21, 22syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
24 4at.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
256, 24, 15latjle12 15566 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
264, 9, 12, 23, 25syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
2726anbi2d 703 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  <->  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S ) 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
281, 27syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
29 simpl13 1073 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
306, 7atbase 34442 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
326, 15, 7hlatjcl 34519 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
332, 5, 10, 32syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
346, 24, 15latjle12 15566 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( R  .\/  S
) )  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
354, 31, 33, 23, 34syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( R  .\/  S ) )  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3628, 35bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( R  .\/  S
) )  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
37 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
38 simpl2 1000 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)
3918, 19jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
40 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
4124, 15, 74atlem3a 34749 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W ) ) )
4237, 38, 39, 40, 41syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W ) ) )
43 simp1l 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
44 simp1r 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
45 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W ) )
46 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
4724, 15, 74atlem11b 34760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
4843, 44, 45, 46, 47syl121anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  Q  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
49483exp 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
5023ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
51133ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  P  e.  A )
52293ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
5353ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  R  e.  A )
54103ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  S  e.  A )
5515, 7hlatj4 34526 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  ( Q  .\/  S ) ) )
5650, 51, 52, 53, 54, 55syl122anc 1237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  R )  .\/  ( Q 
.\/  S ) ) )
5750, 51, 533jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A ) )
5852, 54jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  S  e.  A )
)
59 simp1l3 1091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
60 simp1r2 1093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
6124, 15, 74atlem0be 34747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  R )
6250, 51, 52, 53, 60, 61syl131anc 1241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  P  =/=  R )
63 simp1r1 1092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
6424, 15, 74atlem0ae 34746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  R ) )
6550, 51, 52, 53, 63, 60, 64syl132anc 1246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  R ) )
66 simp1r3 1094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
6715, 7hlatj32 34524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q ) )
6850, 51, 52, 53, 67syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q ) )
6968breq2d 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( P  .\/  R ) 
.\/  Q ) ) )
7066, 69mtbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  R )  .\/  Q ) )
7162, 65, 703jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  R  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  R )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  R )  .\/  Q ) ) )
72 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W ) )
73 simp32 1033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
74 simp31 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
75 simp33 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
7624, 15, 74atlem11b 34760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  R  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  R )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  R ) 
.\/  Q ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  R
)  .\/  ( Q  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
7757, 58, 59, 71, 72, 73, 74, 75, 76syl323anc 1258 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  R
)  .\/  ( Q  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
7856, 77eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
79783exp 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
806, 7atbase 34442 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
8113, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
826, 15latj4rot 15606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
834, 81, 31, 9, 12, 82syl122anc 1237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( S  .\/  P )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
8415, 7hlatjcom 34520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  ( S  .\/  P
)  =  ( P 
.\/  S ) )
852, 10, 13, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  .\/  P )  =  ( P  .\/  S
) )
8685oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( S  .\/  P
)  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  S )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
8783, 86eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
88873ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S )  .\/  ( Q 
.\/  R ) ) )
892, 13, 103jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A ) )
9029, 5jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)
91 simpl3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )
)
9289, 90, 913jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
93923ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A ) ) )
9424, 15, 74noncolr1 34607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
9537, 38, 40, 94syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S  .\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P )  .\/  Q ) ) )
96 necom 2736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  =/=  P  <->  P  =/=  S )
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  =/=  P  <->  P  =/=  S ) )
9885breq2d 4465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( S  .\/  P )  <->  Q  .<_  ( P 
.\/  S ) ) )
9998notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( S 
.\/  P )  <->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  S
) ) )
10085oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( S  .\/  P
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  Q ) )
101100breq2d 4465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  .<_  ( ( S 
.\/  P )  .\/  Q )  <->  R  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  Q ) ) )
102101notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  Q )  <->  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  Q ) ) )
10397, 99, 1023anbi123d 1299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( S  =/=  P  /\  -.  Q  .<_  ( S 
.\/  P )  /\  -.  R  .<_  ( ( S  .\/  P ) 
.\/  Q ) )  <-> 
( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  Q ) ) ) )
10495, 103mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  Q ) ) )
1051043ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S )  .\/  Q ) ) )
106 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W ) )
107 simpr3 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
108 simpr1 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
109 simpr2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
110107, 108, 1093jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( Q  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  -> 
( S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
1111103adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
11224, 15, 74atlem11b 34760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  (
( P  =/=  S  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  S )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  S ) 
.\/  Q ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )
)  /\  ( S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
11393, 105, 106, 111, 112syl121anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
11488, 113eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  V )  .\/  W )  /\  ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )
1151143exp 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  -> 
( ( Q  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
11649, 79, 1153jaod 1292 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( -.  Q  .<_  ( ( P  .\/  V
)  .\/  W )  \/  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  V ) 
.\/  W ) )  ->  ( ( Q 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) ) )
11742, 116mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) )  =  ( ( P 
.\/  U )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
11836, 117sylbird 235 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  ( U  e.  A  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( Q  .\/  ( R  .\/  S ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  U )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579   joincjn 15448   Latclat 15549   Atomscatm 34416   HLchlt 34503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34329  df-ol 34331  df-oml 34332  df-covers 34419  df-ats 34420  df-atl 34451  df-cvlat 34475  df-hlat 34504  df-llines 34650  df-lplanes 34651  df-lvols 34652
This theorem is referenced by:  4atlem12b  34763
  Copyright terms: Public domain W3C validator