Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 4atlem10 33242
Description: Lemma for 4at 33249. Combine both possible cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
4at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
4at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
4atlem10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .\/  S
)  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )

Proof of Theorem 4atlem10
StepHypRef Expression
1 simp11 1060 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 33000 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21l 1147 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
5 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 4at.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 32926 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
9 simp21r 1148 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
105, 6atbase 32926 . . . 4  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
12 4at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
135, 12, 6hlatjcl 33003 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
14133ad2ant1 1051 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
15 simp22 1064 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  V  e.  A )
16 simp23 1065 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  W  e.  A )
175, 12, 6hlatjcl 33003 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  ->  ( V  .\/  W
)  e.  ( Base `  K ) )
181, 15, 16, 17syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( V  .\/  W )  e.  ( Base `  K
) )
195, 12latjcl 16375 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( V  .\/  W )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K ) )
203, 14, 18, 19syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) )
21 4at.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
225, 21, 12latjle12 16386 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
233, 8, 11, 20, 22syl13anc 1294 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  <->  ( R  .\/  S )  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
24 simp11 1060 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
254, 9, 153jca 1210 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A )
)
26253ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A ) )
27163ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  W  e.  A
)
28 simp2 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  W )
)
29 simp33 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
30293ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
)
3127, 28, 303jca 1210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( W  e.  A  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  W )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )
32 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
3321, 12, 64atlem10b 33241 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  ( W  e.  A  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
3424, 26, 31, 32, 33syl31anc 1295 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
35343exp 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
3612, 6hlatjcom 33004 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( S  .\/  R
)  =  ( R 
.\/  S ) )
371, 9, 4, 36syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  .\/  R )  =  ( R  .\/  S
) )
3837oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R 
.\/  S ) ) )
39383ad2ant1 1051 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( R  .\/  S ) ) )
40 simp11 1060 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
419, 4, 153jca 1210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  R  e.  A  /\  V  e.  A )
)
42413ad2ant1 1051 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  R  e.  A  /\  V  e.  A ) )
43163ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  W  e.  A
)
44 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  W )
)
45 simp12 1061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
46 simp13 1062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
4745, 46jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
48 simp21 1063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)
49 simp32 1067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5021, 12, 64atlem0a 33229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
511, 47, 48, 49, 29, 50syl32anc 1300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
52513ad2ant1 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  S )
)
5343, 44, 523jca 1210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( W  e.  A  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  W )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  S )
) )
54 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
55 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) )
5654, 55jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  ( R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
57563adant2 1049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
5821, 12, 64atlem10b 33241 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  R  e.  A  /\  V  e.  A )  /\  ( W  e.  A  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  /\  -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  S ) ) )  /\  ( S 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
5940, 42, 53, 57, 58syl31anc 1295 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( S  .\/  R ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
6039, 59eqtr3d 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  W )  /\  ( R 
.<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) )
61603exp 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  -> 
( ( R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) ) ) )
62 simp1 1030 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
63 simp3 1032 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
6421, 12, 64atlem3b 33234 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  W  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W ) ) )
6562, 4, 9, 16, 63, 64syl131anc 1305 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( -.  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W )  \/ 
-.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  W ) ) )
6635, 61, 65mpjaod 388 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) )  /\  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( V 
.\/  W ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
6723, 66sylbird 243 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  /\  V  e.  A  /\  W  e.  A )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( R  .\/  S
)  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  ( V  .\/  W ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  ( R  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  ( V  .\/  W ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   joincjn 16267   Latclat 16369   Atomscatm 32900   HLchlt 32987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136
This theorem is referenced by:  4atlem11b  33244
  Copyright terms: Public domain W3C validator