MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Unicode version

Theorem 43prm 14465
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm  |- ; 4 3  e.  Prime

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 10814 . . 3  |-  4  e.  NN0
2 3nn 10694 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10989 . 2  |- ; 4 3  e.  NN
4 8nn0 10818 . . . 4  |-  8  e.  NN0
54, 1deccl 10990 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10813 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10811 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10744 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10699 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 4lt10 10743 . . . 4  |-  4  <  10
119, 1, 1, 10declti 11001 . . 3  |-  4  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10998 . 2  |- ; 4 3  < ;; 8 4 1
13 4nn 10695 . . 3  |-  4  e.  NN
14 1lt10 10746 . . 3  |-  1  <  10
1513, 6, 7, 14declti 11001 . 2  |-  1  < ; 4
3
16 2cn 10606 . . . 4  |-  2  e.  CC
1716mulid2i 9599 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
18 df-3 10595 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
191, 7, 17, 18dec2dvds 14408 . 2  |-  -.  2  || ; 4 3
207, 1deccl 10990 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
21 1nn 10547 . . 3  |-  1  e.  NN
22 0nn0 10810 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
247dec0h 10992 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
25 3cn 10610 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2625mulid1i 9598 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
27 ax-1cn 9550 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2827addid2i 9767 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2926, 28oveq12i 6296 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
30 3p1e4 10661 . . . . 5  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3129, 30eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
32 2nn0 10812 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
33 2p1e3 10659 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
34 4cn 10613 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
35 4t3e12 11048 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3634, 25, 35mulcomli 9603 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
377, 32, 33, 36decsuc 10999 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11016 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 4 )  +  1 )  = ; 4 3
39 1lt3 10704 . . 3  |-  1  <  3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 13927 . 2  |-  -.  3  || ; 4 3
41 3lt5 10709 . . 3  |-  3  <  5
421, 2, 41dec5dvds 14409 . 2  |-  -.  5  || ; 4 3
43 7nn 10698 . . 3  |-  7  e.  NN
44 6nn0 10816 . . 3  |-  6  e.  NN0
45 7t6e42 11062 . . . 4  |-  ( 7  x.  6 )  = ; 4
2
461, 32, 33, 45decsuc 10999 . . 3  |-  ( ( 7  x.  6 )  +  1 )  = ; 4
3
47 1lt7 10722 . . 3  |-  1  <  7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 13927 . 2  |-  -.  7  || ; 4 3
497, 21decnncl 10989 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
5021decnncl2 10994 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN
51 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
52 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 0  = ; 1 0
5325mulid2i 9599 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
5427addid1i 9766 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5553, 54oveq12i 6296 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 3  +  1 )
5655, 30eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  4
5753oveq1i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
5825addid1i 9766 . . . . 5  |-  ( 3  +  0 )  =  3
596dec0h 10992 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6057, 58, 593eqtri 2500 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  = ; 0
3
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11015 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  + ; 1 0 )  = ; 4
3
62 0lt1 10075 . . . 4  |-  0  <  1
637, 22, 21, 62declt 10997 . . 3  |- ; 1 0  < ; 1 1
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 13927 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 4 3
657, 2decnncl 10989 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
66 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
671dec0h 10992 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
6853, 28oveq12i 6296 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
6968, 30eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
70 3t3e9 10688 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
7170oveq1i 6294 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
72 9p4e13 11040 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
7371, 72eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11015 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  3 )  +  4 )  = ; 4
3
7521, 6, 1, 10declti 11001 . . 3  |-  4  < ; 1
3
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 13927 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 4 3
777, 43decnncl 10989 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
78 9nn 10700 . . 3  |-  9  e.  NN
7943nnnn0i 10803 . . . 4  |-  7  e.  NN0
8078nnnn0i 10803 . . . 4  |-  9  e.  NN0
81 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
8280dec0h 10992 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
8316addid2i 9767 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8417, 83oveq12i 6296 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 2  +  2 )
85 2p2e4 10653 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
8684, 85eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  4
87 7t2e14 11058 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
88 1p1e2 10649 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8978nncni 10546 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
9089, 34, 72addcomli 9771 . . . . 5  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11021 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  9 )  = ; 2
3
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11015 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  9 )  = ; 4
3
93 9lt10 10738 . . . 4  |-  9  <  10
9421, 79, 80, 93declti 11001 . . 3  |-  9  < ; 1
7
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 13927 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 4 3
967, 78decnncl 10989 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
97 5nn 10696 . . 3  |-  5  e.  NN
9897nnnn0i 10803 . . . 4  |-  5  e.  NN0
99 eqid 2467 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10098dec0h 10992 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
101 9t2e18 11071 . . . . 5  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
102 8p5e13 11034 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11021 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  5 )  = ; 2
3
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11015 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  2 )  +  5 )  = ; 4
3
105 5lt10 10742 . . . 4  |-  5  <  10
10621, 80, 98, 105declti 11001 . . 3  |-  5  < ; 1
9
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 13927 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 4 3
10832, 2decnncl 10989 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
109 2nn 10693 . . . 4  |-  2  e.  NN
110109decnncl2 10994 . . 3  |- ; 2 0  e.  NN
111108nncni 10546 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
112111mulid1i 9598 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
113 eqid 2467 . . . 4  |- ; 2 0  = ; 2 0
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11017 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 2 0 )  = ; 4
3
115 3pos 10629 . . . 4  |-  0  <  3
11632, 22, 2, 115declt 10997 . . 3  |- ; 2 0  < ; 2 3
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 13927 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 4 3
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 14463 1  |- ; 4 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   2c2 10585   3c3 10586   4c4 10587   5c5 10588   6c6 10589   7c7 10590   8c8 10591   9c9 10592  ;cdc 10976   Primecprime 14076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-dvds 13848  df-prm 14077
This theorem is referenced by:  bpos1  23314
  Copyright terms: Public domain W3C validator