MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Unicode version

Theorem 43prm 14131
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm  |- ; 4 3  e.  Prime

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 10585 . . 3  |-  4  e.  NN0
2 3nn 10467 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10755 . 2  |- ; 4 3  e.  NN
4 8nn0 10589 . . . 4  |-  8  e.  NN0
54, 1deccl 10756 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10584 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10582 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10517 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10472 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 4lt10 10516 . . . 4  |-  4  <  10
119, 1, 1, 10declti 10767 . . 3  |-  4  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10764 . 2  |- ; 4 3  < ;; 8 4 1
13 4nn 10468 . . 3  |-  4  e.  NN
14 1lt10 10519 . . 3  |-  1  <  10
1513, 6, 7, 14declti 10767 . 2  |-  1  < ; 4
3
16 2cn 10379 . . . 4  |-  2  e.  CC
1716mulid2i 9376 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
18 df-3 10368 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
191, 7, 17, 18dec2dvds 14074 . 2  |-  -.  2  || ; 4 3
207, 1deccl 10756 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
21 1nn 10320 . . 3  |-  1  e.  NN
22 0nn0 10581 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
247dec0h 10758 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
25 3cn 10383 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2625mulid1i 9375 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
27 ax-1cn 9327 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2827addid2i 9544 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2926, 28oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
30 3p1e4 10434 . . . . 5  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3129, 30eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
32 2nn0 10583 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
33 2p1e3 10432 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
34 4cn 10386 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
35 4t3e12 10814 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3634, 25, 35mulcomli 9380 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
377, 32, 33, 36decsuc 10765 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 10782 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 4 )  +  1 )  = ; 4 3
39 1lt3 10477 . . 3  |-  1  <  3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 13596 . 2  |-  -.  3  || ; 4 3
41 3lt5 10482 . . 3  |-  3  <  5
421, 2, 41dec5dvds 14075 . 2  |-  -.  5  || ; 4 3
43 7nn 10471 . . 3  |-  7  e.  NN
44 6nn0 10587 . . 3  |-  6  e.  NN0
45 7t6e42 10828 . . . 4  |-  ( 7  x.  6 )  = ; 4
2
461, 32, 33, 45decsuc 10765 . . 3  |-  ( ( 7  x.  6 )  +  1 )  = ; 4
3
47 1lt7 10495 . . 3  |-  1  <  7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 13596 . 2  |-  -.  7  || ; 4 3
497, 21decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
5021decnncl2 10760 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN
51 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
52 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 0  = ; 1 0
5325mulid2i 9376 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
5427addid1i 9543 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5553, 54oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 3  +  1 )
5655, 30eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  4
5753oveq1i 6090 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
5825addid1i 9543 . . . . 5  |-  ( 3  +  0 )  =  3
596dec0h 10758 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6057, 58, 593eqtri 2457 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  = ; 0
3
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  + ; 1 0 )  = ; 4
3
62 0lt1 9849 . . . 4  |-  0  <  1
637, 22, 21, 62declt 10763 . . 3  |- ; 1 0  < ; 1 1
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 4 3
657, 2decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
66 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
671dec0h 10758 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
6853, 28oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
6968, 30eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
70 3t3e9 10461 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
7170oveq1i 6090 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
72 9p4e13 10806 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
7371, 72eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  3 )  +  4 )  = ; 4
3
7521, 6, 1, 10declti 10767 . . 3  |-  4  < ; 1
3
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 4 3
777, 43decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
78 9nn 10473 . . 3  |-  9  e.  NN
7943nnnn0i 10574 . . . 4  |-  7  e.  NN0
8078nnnn0i 10574 . . . 4  |-  9  e.  NN0
81 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
8280dec0h 10758 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
8316addid2i 9544 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8417, 83oveq12i 6092 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 2  +  2 )
85 2p2e4 10426 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
8684, 85eqtri 2453 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  4
87 7t2e14 10824 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
88 1p1e2 10422 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8978nncni 10319 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
9089, 34, 72addcomli 9548 . . . . 5  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 10787 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  9 )  = ; 2
3
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  9 )  = ; 4
3
93 9lt10 10511 . . . 4  |-  9  <  10
9421, 79, 80, 93declti 10767 . . 3  |-  9  < ; 1
7
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 4 3
967, 78decnncl 10755 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
97 5nn 10469 . . 3  |-  5  e.  NN
9897nnnn0i 10574 . . . 4  |-  5  e.  NN0
99 eqid 2433 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10098dec0h 10758 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
101 9t2e18 10837 . . . . 5  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
102 8p5e13 10800 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 10787 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  5 )  = ; 2
3
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 10781 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  2 )  +  5 )  = ; 4
3
105 5lt10 10515 . . . 4  |-  5  <  10
10621, 80, 98, 105declti 10767 . . 3  |-  5  < ; 1
9
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 4 3
10832, 2decnncl 10755 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
109 2nn 10466 . . . 4  |-  2  e.  NN
110109decnncl2 10760 . . 3  |- ; 2 0  e.  NN
111108nncni 10319 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
112111mulid1i 9375 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
113 eqid 2433 . . . 4  |- ; 2 0  = ; 2 0
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 10783 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 2 0 )  = ; 4
3
115 3pos 10402 . . . 4  |-  0  <  3
11632, 22, 2, 115declt 10763 . . 3  |- ; 2 0  < ; 2 3
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 13596 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 4 3
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 14129 1  |- ; 4 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274   2c2 10358   3c3 10359   4c4 10360   5c5 10361   6c6 10362   7c7 10363   8c8 10364   9c9 10365  ;cdc 10742   Primecprime 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-seq 11790  df-exp 11849  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-dvds 13518  df-prm 13746
This theorem is referenced by:  bpos1  22506
  Copyright terms: Public domain W3C validator