MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Unicode version

Theorem 43prm 15080
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm  |- ; 4 3  e.  Prime

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 10888 . . 3  |-  4  e.  NN0
2 3nn 10768 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 11064 . 2  |- ; 4 3  e.  NN
4 8nn0 10892 . . . 4  |-  8  e.  NN0
54, 1deccl 11065 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10887 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10885 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10818 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10773 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 4lt10 10817 . . . 4  |-  4  <  10
119, 1, 1, 10declti 11076 . . 3  |-  4  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11073 . 2  |- ; 4 3  < ;; 8 4 1
13 4nn 10769 . . 3  |-  4  e.  NN
14 1lt10 10820 . . 3  |-  1  <  10
1513, 6, 7, 14declti 11076 . 2  |-  1  < ; 4
3
16 2cn 10680 . . . 4  |-  2  e.  CC
1716mulid2i 9646 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
18 df-3 10669 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
191, 7, 17, 18dec2dvds 15022 . 2  |-  -.  2  || ; 4 3
207, 1deccl 11065 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
21 1nn 10620 . . 3  |-  1  e.  NN
22 0nn0 10884 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
247dec0h 11067 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
25 3cn 10684 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2625mulid1i 9645 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
27 ax-1cn 9597 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2827addid2i 9821 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2926, 28oveq12i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
30 3p1e4 10735 . . . . 5  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3129, 30eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
32 2nn0 10886 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
33 2p1e3 10733 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
34 4cn 10687 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
35 4t3e12 11123 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3634, 25, 35mulcomli 9650 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
377, 32, 33, 36decsuc 11074 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11091 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 4 )  +  1 )  = ; 4 3
39 1lt3 10778 . . 3  |-  1  <  3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 14378 . 2  |-  -.  3  || ; 4 3
41 3lt5 10783 . . 3  |-  3  <  5
421, 2, 41dec5dvds 15023 . 2  |-  -.  5  || ; 4 3
43 7nn 10772 . . 3  |-  7  e.  NN
44 6nn0 10890 . . 3  |-  6  e.  NN0
45 7t6e42 11137 . . . 4  |-  ( 7  x.  6 )  = ; 4
2
461, 32, 33, 45decsuc 11074 . . 3  |-  ( ( 7  x.  6 )  +  1 )  = ; 4
3
47 1lt7 10796 . . 3  |-  1  <  7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 14378 . 2  |-  -.  7  || ; 4 3
497, 21decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
5021decnncl2 11069 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN
51 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
52 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 0  = ; 1 0
5325mulid2i 9646 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
5427addid1i 9820 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5553, 54oveq12i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 3  +  1 )
5655, 30eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  4
5753oveq1i 6311 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
5825addid1i 9820 . . . . 5  |-  ( 3  +  0 )  =  3
596dec0h 11067 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6057, 58, 593eqtri 2455 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  = ; 0
3
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  + ; 1 0 )  = ; 4
3
62 0lt1 10136 . . . 4  |-  0  <  1
637, 22, 21, 62declt 11072 . . 3  |- ; 1 0  < ; 1 1
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 14378 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 4 3
657, 2decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
66 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
671dec0h 11067 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
6853, 28oveq12i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
6968, 30eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
70 3t3e9 10762 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
7170oveq1i 6311 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
72 9p4e13 11115 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
7371, 72eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  3 )  +  4 )  = ; 4
3
7521, 6, 1, 10declti 11076 . . 3  |-  4  < ; 1
3
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 14378 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 4 3
777, 43decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
78 9nn 10774 . . 3  |-  9  e.  NN
7943nnnn0i 10877 . . . 4  |-  7  e.  NN0
8078nnnn0i 10877 . . . 4  |-  9  e.  NN0
81 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
8280dec0h 11067 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
8316addid2i 9821 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8417, 83oveq12i 6313 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 2  +  2 )
85 2p2e4 10727 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
8684, 85eqtri 2451 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  4
87 7t2e14 11133 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
88 1p1e2 10723 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8978nncni 10619 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
9089, 34, 72addcomli 9825 . . . . 5  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11096 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  9 )  = ; 2
3
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  9 )  = ; 4
3
93 9lt10 10812 . . . 4  |-  9  <  10
9421, 79, 80, 93declti 11076 . . 3  |-  9  < ; 1
7
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 14378 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 4 3
967, 78decnncl 11064 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
97 5nn 10770 . . 3  |-  5  e.  NN
9897nnnn0i 10877 . . . 4  |-  5  e.  NN0
99 eqid 2422 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10098dec0h 11067 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
101 9t2e18 11146 . . . . 5  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
102 8p5e13 11109 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11096 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  5 )  = ; 2
3
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11090 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  2 )  +  5 )  = ; 4
3
105 5lt10 10816 . . . 4  |-  5  <  10
10621, 80, 98, 105declti 11076 . . 3  |-  5  < ; 1
9
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 14378 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 4 3
10832, 2decnncl 11064 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
109 2nn 10767 . . . 4  |-  2  e.  NN
110109decnncl2 11069 . . 3  |- ; 2 0  e.  NN
111108nncni 10619 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
112111mulid1i 9645 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
113 eqid 2422 . . . 4  |- ; 2 0  = ; 2 0
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11092 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 2 0 )  = ; 4
3
115 3pos 10703 . . . 4  |-  0  <  3
11632, 22, 2, 115declt 11072 . . 3  |- ; 2 0  < ; 2 3
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 14378 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 4 3
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 15078 1  |- ; 4 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1868  (class class class)co 6301   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   7c7 10664   8c8 10665   9c9 10666  ;cdc 11051   Primecprime 14609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-dvds 14293  df-prm 14610
This theorem is referenced by:  bpos1  24197
  Copyright terms: Public domain W3C validator