MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Unicode version

Theorem 43prm 14262
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm  |- ; 4 3  e.  Prime

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 10704 . . 3  |-  4  e.  NN0
2 3nn 10586 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10874 . 2  |- ; 4 3  e.  NN
4 8nn0 10708 . . . 4  |-  8  e.  NN0
54, 1deccl 10875 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10703 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10701 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10636 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10591 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 4lt10 10635 . . . 4  |-  4  <  10
119, 1, 1, 10declti 10886 . . 3  |-  4  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 10883 . 2  |- ; 4 3  < ;; 8 4 1
13 4nn 10587 . . 3  |-  4  e.  NN
14 1lt10 10638 . . 3  |-  1  <  10
1513, 6, 7, 14declti 10886 . 2  |-  1  < ; 4
3
16 2cn 10498 . . . 4  |-  2  e.  CC
1716mulid2i 9495 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
18 df-3 10487 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
191, 7, 17, 18dec2dvds 14205 . 2  |-  -.  2  || ; 4 3
207, 1deccl 10875 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
21 1nn 10439 . . 3  |-  1  e.  NN
22 0nn0 10700 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
247dec0h 10877 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
25 3cn 10502 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2625mulid1i 9494 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
27 ax-1cn 9446 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2827addid2i 9663 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2926, 28oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
30 3p1e4 10553 . . . . 5  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3129, 30eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
32 2nn0 10702 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
33 2p1e3 10551 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
34 4cn 10505 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
35 4t3e12 10933 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3634, 25, 35mulcomli 9499 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
377, 32, 33, 36decsuc 10884 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 10901 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 4 )  +  1 )  = ; 4 3
39 1lt3 10596 . . 3  |-  1  <  3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 13727 . 2  |-  -.  3  || ; 4 3
41 3lt5 10601 . . 3  |-  3  <  5
421, 2, 41dec5dvds 14206 . 2  |-  -.  5  || ; 4 3
43 7nn 10590 . . 3  |-  7  e.  NN
44 6nn0 10706 . . 3  |-  6  e.  NN0
45 7t6e42 10947 . . . 4  |-  ( 7  x.  6 )  = ; 4
2
461, 32, 33, 45decsuc 10884 . . 3  |-  ( ( 7  x.  6 )  +  1 )  = ; 4
3
47 1lt7 10614 . . 3  |-  1  <  7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 13727 . 2  |-  -.  7  || ; 4 3
497, 21decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
5021decnncl2 10879 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN
51 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
52 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 0  = ; 1 0
5325mulid2i 9495 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
5427addid1i 9662 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5553, 54oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 3  +  1 )
5655, 30eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  4
5753oveq1i 6205 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
5825addid1i 9662 . . . . 5  |-  ( 3  +  0 )  =  3
596dec0h 10877 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6057, 58, 593eqtri 2485 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  = ; 0
3
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  + ; 1 0 )  = ; 4
3
62 0lt1 9968 . . . 4  |-  0  <  1
637, 22, 21, 62declt 10882 . . 3  |- ; 1 0  < ; 1 1
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 4 3
657, 2decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
66 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
671dec0h 10877 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
6853, 28oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
6968, 30eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
70 3t3e9 10580 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
7170oveq1i 6205 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
72 9p4e13 10925 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
7371, 72eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  3 )  +  4 )  = ; 4
3
7521, 6, 1, 10declti 10886 . . 3  |-  4  < ; 1
3
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 4 3
777, 43decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
78 9nn 10592 . . 3  |-  9  e.  NN
7943nnnn0i 10693 . . . 4  |-  7  e.  NN0
8078nnnn0i 10693 . . . 4  |-  9  e.  NN0
81 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
8280dec0h 10877 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
8316addid2i 9663 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8417, 83oveq12i 6207 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 2  +  2 )
85 2p2e4 10545 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
8684, 85eqtri 2481 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  4
87 7t2e14 10943 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
88 1p1e2 10541 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8978nncni 10438 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
9089, 34, 72addcomli 9667 . . . . 5  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 10906 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  9 )  = ; 2
3
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  9 )  = ; 4
3
93 9lt10 10630 . . . 4  |-  9  <  10
9421, 79, 80, 93declti 10886 . . 3  |-  9  < ; 1
7
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 4 3
967, 78decnncl 10874 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
97 5nn 10588 . . 3  |-  5  e.  NN
9897nnnn0i 10693 . . . 4  |-  5  e.  NN0
99 eqid 2452 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10098dec0h 10877 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
101 9t2e18 10956 . . . . 5  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
102 8p5e13 10919 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 10906 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  5 )  = ; 2
3
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 10900 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  2 )  +  5 )  = ; 4
3
105 5lt10 10634 . . . 4  |-  5  <  10
10621, 80, 98, 105declti 10886 . . 3  |-  5  < ; 1
9
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 4 3
10832, 2decnncl 10874 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
109 2nn 10585 . . . 4  |-  2  e.  NN
110109decnncl2 10879 . . 3  |- ; 2 0  e.  NN
111108nncni 10438 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
112111mulid1i 9494 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
113 eqid 2452 . . . 4  |- ; 2 0  = ; 2 0
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 10902 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 2 0 )  = ; 4
3
115 3pos 10521 . . . 4  |-  0  <  3
11632, 22, 2, 115declt 10882 . . 3  |- ; 2 0  < ; 2 3
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 13727 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 4 3
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 14260 1  |- ; 4 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393   2c2 10477   3c3 10478   4c4 10479   5c5 10480   6c6 10481   7c7 10482   8c8 10483   9c9 10484  ;cdc 10861   Primecprime 13876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-prm 13877
This theorem is referenced by:  bpos1  22750
  Copyright terms: Public domain W3C validator