MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Unicode version

Theorem 43prm 14618
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm  |- ; 4 3  e.  Prime

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 10835 . . 3  |-  4  e.  NN0
2 3nn 10715 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 11013 . 2  |- ; 4 3  e.  NN
4 8nn0 10839 . . . 4  |-  8  e.  NN0
54, 1deccl 11014 . . 3  |- ; 8 4  e.  NN0
6 3nn0 10834 . . 3  |-  3  e.  NN0
7 1nn0 10832 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 3lt10 10765 . . 3  |-  3  <  10
9 8nn 10720 . . . 4  |-  8  e.  NN
10 4lt10 10764 . . . 4  |-  4  <  10
119, 1, 1, 10declti 11025 . . 3  |-  4  < ; 8
4
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11022 . 2  |- ; 4 3  < ;; 8 4 1
13 4nn 10716 . . 3  |-  4  e.  NN
14 1lt10 10767 . . 3  |-  1  <  10
1513, 6, 7, 14declti 11025 . 2  |-  1  < ; 4
3
16 2cn 10627 . . . 4  |-  2  e.  CC
1716mulid2i 9616 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
18 df-3 10616 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
191, 7, 17, 18dec2dvds 14560 . 2  |-  -.  2  || ; 4 3
207, 1deccl 11014 . . 3  |- ; 1 4  e.  NN0
21 1nn 10567 . . 3  |-  1  e.  NN
22 0nn0 10831 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 4  = ; 1 4
247dec0h 11016 . . . 4  |-  1  = ; 0 1
25 3cn 10631 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2625mulid1i 9615 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
27 ax-1cn 9567 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2827addid2i 9785 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2926, 28oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
30 3p1e4 10682 . . . . 5  |-  ( 3  +  1 )  =  4
3129, 30eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
32 2nn0 10833 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
33 2p1e3 10680 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
34 4cn 10634 . . . . . 6  |-  4  e.  CC
35 4t3e12 11072 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  3 )  = ; 1
2
3634, 25, 35mulcomli 9620 . . . . 5  |-  ( 3  x.  4 )  = ; 1
2
377, 32, 33, 36decsuc 11023 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  4 )  +  1 )  = ; 1
3
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11040 . . 3  |-  ( ( 3  x. ; 1 4 )  +  1 )  = ; 4 3
39 1lt3 10725 . . 3  |-  1  <  3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 14079 . 2  |-  -.  3  || ; 4 3
41 3lt5 10730 . . 3  |-  3  <  5
421, 2, 41dec5dvds 14561 . 2  |-  -.  5  || ; 4 3
43 7nn 10719 . . 3  |-  7  e.  NN
44 6nn0 10837 . . 3  |-  6  e.  NN0
45 7t6e42 11086 . . . 4  |-  ( 7  x.  6 )  = ; 4
2
461, 32, 33, 45decsuc 11023 . . 3  |-  ( ( 7  x.  6 )  +  1 )  = ; 4
3
47 1lt7 10743 . . 3  |-  1  <  7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 14079 . 2  |-  -.  7  || ; 4 3
497, 21decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 1  e.  NN
5021decnncl2 11018 . . 3  |- ; 1 0  e.  NN
51 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 1  = ; 1 1
52 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 0  = ; 1 0
5325mulid2i 9616 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
5427addid1i 9784 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5553, 54oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  ( 3  +  1 )
5655, 30eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 1  +  0 ) )  =  4
5753oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  =  ( 3  +  0 )
5825addid1i 9784 . . . . 5  |-  ( 3  +  0 )  =  3
596dec0h 11016 . . . . 5  |-  3  = ; 0 3
6057, 58, 593eqtri 2490 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  0 )  = ; 0
3
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11039 . . 3  |-  ( (; 1
1  x.  3 )  + ; 1 0 )  = ; 4
3
62 0lt1 10096 . . . 4  |-  0  <  1
637, 22, 21, 62declt 11021 . . 3  |- ; 1 0  < ; 1 1
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 14079 . 2  |-  -. ; 1 1  || ; 4 3
657, 2decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 3  e.  NN
66 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 3  = ; 1 3
671dec0h 11016 . . . 4  |-  4  = ; 0 4
6853, 28oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
6968, 30eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
70 3t3e9 10709 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
7170oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  =  ( 9  +  4 )
72 9p4e13 11064 . . . . 5  |-  ( 9  +  4 )  = ; 1
3
7371, 72eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 3  x.  3 )  +  4 )  = ; 1
3
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11039 . . 3  |-  ( (; 1
3  x.  3 )  +  4 )  = ; 4
3
7521, 6, 1, 10declti 11025 . . 3  |-  4  < ; 1
3
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 14079 . 2  |-  -. ; 1 3  || ; 4 3
777, 43decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 7  e.  NN
78 9nn 10721 . . 3  |-  9  e.  NN
7943nnnn0i 10824 . . . 4  |-  7  e.  NN0
8078nnnn0i 10824 . . . 4  |-  9  e.  NN0
81 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 7  = ; 1 7
8280dec0h 11016 . . . 4  |-  9  = ; 0 9
8316addid2i 9785 . . . . . 6  |-  ( 0  +  2 )  =  2
8417, 83oveq12i 6308 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  ( 2  +  2 )
85 2p2e4 10674 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
8684, 85eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  ( 0  +  2 ) )  =  4
87 7t2e14 11082 . . . . 5  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
88 1p1e2 10670 . . . . 5  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8978nncni 10566 . . . . . 6  |-  9  e.  CC
9089, 34, 72addcomli 9789 . . . . 5  |-  ( 4  +  9 )  = ; 1
3
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11045 . . . 4  |-  ( ( 7  x.  2 )  +  9 )  = ; 2
3
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11039 . . 3  |-  ( (; 1
7  x.  2 )  +  9 )  = ; 4
3
93 9lt10 10759 . . . 4  |-  9  <  10
9421, 79, 80, 93declti 11025 . . 3  |-  9  < ; 1
7
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 14079 . 2  |-  -. ; 1 7  || ; 4 3
967, 78decnncl 11013 . . 3  |- ; 1 9  e.  NN
97 5nn 10717 . . 3  |-  5  e.  NN
9897nnnn0i 10824 . . . 4  |-  5  e.  NN0
99 eqid 2457 . . . 4  |- ; 1 9  = ; 1 9
10098dec0h 11016 . . . 4  |-  5  = ; 0 5
101 9t2e18 11095 . . . . 5  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
102 8p5e13 11058 . . . . 5  |-  ( 8  +  5 )  = ; 1
3
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11045 . . . 4  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  5 )  = ; 2
3
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11039 . . 3  |-  ( (; 1
9  x.  2 )  +  5 )  = ; 4
3
105 5lt10 10763 . . . 4  |-  5  <  10
10621, 80, 98, 105declti 11025 . . 3  |-  5  < ; 1
9
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 14079 . 2  |-  -. ; 1 9  || ; 4 3
10832, 2decnncl 11013 . . 3  |- ; 2 3  e.  NN
109 2nn 10714 . . . 4  |-  2  e.  NN
110109decnncl2 11018 . . 3  |- ; 2 0  e.  NN
111108nncni 10566 . . . . 5  |- ; 2 3  e.  CC
112111mulid1i 9615 . . . 4  |-  (; 2 3  x.  1 )  = ; 2 3
113 eqid 2457 . . . 4  |- ; 2 0  = ; 2 0
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11041 . . 3  |-  ( (; 2
3  x.  1 )  + ; 2 0 )  = ; 4
3
115 3pos 10650 . . . 4  |-  0  <  3
11632, 22, 2, 115declt 11021 . . 3  |- ; 2 0  < ; 2 3
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 14079 . 2  |-  -. ; 2 3  || ; 4 3
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 14616 1  |- ; 4 3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   5c5 10609   6c6 10610   7c7 10611   8c8 10612   9c9 10613  ;cdc 11000   Primecprime 14228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-prm 14229
This theorem is referenced by:  bpos1  23683
  Copyright terms: Public domain W3C validator