Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem 41prothprmlem2 38674
Description: Lemma 2 for 41prothprm 38675. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p  |-  P  = ; 4
1
Assertion
Ref Expression
41prothprmlem2  |-  ( ( 3 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( -u 1  mod 
P )

Proof of Theorem 41prothprmlem2
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . . . 5  |-  P  = ; 4
1
2141prothprmlem1 38673 . . . 4  |-  ( ( P  -  1 )  /  2 )  = ; 2
0
32oveq2i 6314 . . 3  |-  ( 3 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( 3 ^; 2 0 )
43oveq1i 6313 . 2  |-  ( ( 3 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( ( 3 ^; 2
0 )  mod  P
)
5 5cn 10691 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
6 4cn 10689 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
7 5t4e20 11128 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  4 )  = ; 2
0
85, 6, 7mulcomli 9652 . . . . . . . 8  |-  ( 4  x.  5 )  = ; 2
0
98eqcomi 2436 . . . . . . 7  |- ; 2 0  =  ( 4  x.  5 )
109oveq2i 6314 . . . . . 6  |-  ( 3 ^; 2 0 )  =  ( 3 ^ (
4  x.  5 ) )
11 3cn 10686 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
12 4nn0 10890 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN0
13 5nn0 10891 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
14 expmul 12318 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  5  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 4  x.  5 ) )  =  ( ( 3 ^ 4 ) ^
5 ) )
1511, 12, 13, 14mp3an 1361 . . . . . 6  |-  ( 3 ^ ( 4  x.  5 ) )  =  ( ( 3 ^ 4 ) ^ 5 )
1610, 15eqtri 2452 . . . . 5  |-  ( 3 ^; 2 0 )  =  ( ( 3 ^ 4 ) ^ 5 )
1716oveq1i 6313 . . . 4  |-  ( ( 3 ^; 2 0 )  mod ; 4 1 )  =  ( ( ( 3 ^ 4 ) ^ 5 )  mod ; 4 1 )
18 3z 10972 . . . . . . 7  |-  3  e.  ZZ
19 zexpcl 12288 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( 3 ^ 4 )  e.  ZZ )
2018, 12, 19mp2an 677 . . . . . 6  |-  ( 3 ^ 4 )  e.  ZZ
21 neg1z 10975 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
2220, 21pm3.2i 457 . . . . 5  |-  ( ( 3 ^ 4 )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )
23 1nn 10622 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
2412, 23decnncl 11066 . . . . . . 7  |- ; 4 1  e.  NN
25 nnrp 11313 . . . . . . 7  |-  (; 4 1  e.  NN  -> ; 4
1  e.  RR+ )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6  |- ; 4 1  e.  RR+
2713, 26pm3.2i 457 . . . . 5  |-  ( 5  e.  NN0  /\ ; 4 1  e.  RR+ )
28 3exp4mod41 38672 . . . . 5  |-  ( ( 3 ^ 4 )  mod ; 4 1 )  =  ( -u 1  mod ; 4 1 )
29 modexp 12408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 3 ^ 4 )  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  ( 5  e. 
NN0  /\ ; 4 1  e.  RR+ )  /\  ( ( 3 ^ 4 )  mod ; 4 1 )  =  ( -u
1  mod ; 4 1 ) )  ->  ( ( ( 3 ^ 4 ) ^ 5 )  mod ; 4 1 )  =  ( (
-u 1 ^ 5 )  mod ; 4 1 ) )
3022, 27, 28, 29mp3an 1361 . . . 4  |-  ( ( ( 3 ^ 4 ) ^ 5 )  mod ; 4 1 )  =  ( ( -u 1 ^ 5 )  mod ; 4 1 )
31 3p2e5 10744 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  2 )  =  5
3231eqcomi 2436 . . . . . . 7  |-  5  =  ( 3  +  2 )
3332oveq2i 6314 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ 5 )  =  ( -u 1 ^ ( 3  +  2 ) )
34 2z 10971 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
35 m1expaddsub 17132 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( 3  -  2 ) )  =  (
-u 1 ^ (
3  +  2 ) ) )
3618, 34, 35mp2an 677 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ ( 3  -  2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 3  +  2 ) )
3736eqcomi 2436 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ ( 3  +  2 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 3  -  2 ) )
38 2cn 10682 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
39 ax-1cn 9599 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
40 2p1e3 10735 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  +  1 )  =  3
4111, 38, 39, 40subaddrii 9966 . . . . . . . 8  |-  ( 3  -  2 )  =  1
4241oveq2i 6314 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ ( 3  -  2 ) )  =  ( -u 1 ^ 1 )
43 neg1cn 10715 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
44 exp1 12279 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
4642, 45eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( -u
1 ^ ( 3  -  2 ) )  =  -u 1
4733, 37, 463eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( -u
1 ^ 5 )  =  -u 1
4847oveq1i 6313 . . . 4  |-  ( (
-u 1 ^ 5 )  mod ; 4 1 )  =  ( -u 1  mod ; 4 1 )
4917, 30, 483eqtri 2456 . . 3  |-  ( ( 3 ^; 2 0 )  mod ; 4 1 )  =  ( -u
1  mod ; 4 1 )
501oveq2i 6314 . . 3  |-  ( ( 3 ^; 2 0 )  mod 
P )  =  ( ( 3 ^; 2 0 )  mod ; 4 1 )
511oveq2i 6314 . . 3  |-  ( -u
1  mod  P )  =  ( -u 1  mod ; 4 1 )
5249, 50, 513eqtr4i 2462 . 2  |-  ( ( 3 ^; 2 0 )  mod 
P )  =  (
-u 1  mod  P
)
534, 52eqtri 2452 1  |-  ( ( 3 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  mod  P )  =  ( -u 1  mod 
P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869  (class class class)co 6303   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    - cmin 9862   -ucneg 9863    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   3c3 10662   4c4 10663   5c5 10664   NN0cn0 10871   ZZcz 10939  ;cdc 11053   RR+crp 11304    mod cmo 12097   ^cexp 12273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274
This theorem is referenced by:  41prothprm  38675
  Copyright terms: Public domain W3C validator