MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Unicode version

Theorem 4001prm 14501
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 14468 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10711 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 11006 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 11006 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10826 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10822 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 11002 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 11002 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 9562 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9779 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2467 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 11011 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6305 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 11002 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10819 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
1817, 10pncan3oi 9848 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
1915, 18eqtri 2496 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
20 5nn0 10827 . . . 4  |-  5  e.  NN0
21 8nn0 10830 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2221, 7deccl 11002 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
23 eqid 2467 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
24 eqid 2467 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
25 8t5e40 11079 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2625oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
278nn0cni 10819 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2827addid1i 9778 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
2926, 28eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
30 5cn 10627 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3130mul02i 9780 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
327dec0h 11004 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3331, 32eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3420, 21, 7, 24, 7, 7, 29, 33decmul1c 11035 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3534oveq1i 6305 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
369nn0cni 10819 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3736addid1i 9778 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
3835, 37eqtri 2496 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
3920, 22, 7, 23, 7, 7, 38, 33decmul1c 11035 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4019, 39eqtr4i 2499 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
41 1nn0 10823 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
429, 41deccl 11002 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
435, 42eqeltri 2551 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4443nn0cni 10819 . . . 4  |-  N  e.  CC
45 npcan 9841 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4644, 10, 45mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4746eqcomi 2480 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
48 3nn0 10825 . . 3  |-  3  e.  NN0
49 2nn 10705 . . 3  |-  2  e.  NN
5048, 49decnncl 11001 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
51 3nn 10706 . 2  |-  3  e.  NN
52 2nn0 10824 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5348, 52deccl 11002 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5441, 52deccl 11002 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
55 2p1e3 10671 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5630sqvali 12227 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
57 5t5e25 11064 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
5856, 57eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
59 2cn 10618 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
60 5t2e10 10702 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6130, 59, 60mulcomli 9615 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
62 dec10 11018 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6361, 62eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6459addid2i 9779 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6541, 7, 52, 63, 64decaddi 11032 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6620, 52, 20, 58, 20, 52, 65, 57decmul1c 11035 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6720, 52, 55, 66numexpp1 14439 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
68 6nn0 10828 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
6941, 68deccl 11002 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
70 eqid 2467 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
71 eqid 2467 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
72 7nn0 10829 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
73 eqid 2467 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
74 7cn 10631 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
75 7p1e8 10677 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7674, 10, 75addcomli 9783 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
7721dec0h 11004 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
7876, 77eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
79 3cn 10622 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8079mulid1i 9610 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8180, 11oveq12i 6307 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
82 3p1e4 10673 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8381, 82eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8459mulid1i 9610 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8584oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
86 8cn 10633 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
87 8p2e10 10694 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
8886, 59, 87addcomli 9783 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
8985, 88, 623eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9048, 52, 7, 21, 73, 78, 41, 7, 41, 83, 89decmac 11027 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9168dec0h 11004 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
92 3t2e6 10699 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9392, 11oveq12i 6307 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
94 6p1e7 10676 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9593, 94eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
96 2t2e4 10697 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
9796oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
98 6cn 10629 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
99 4cn 10625 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
100 6p4e10 10691 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
10198, 99, 100addcomli 9783 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
10297, 101, 623eqtri 2500 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10348, 52, 7, 68, 73, 91, 52, 7, 41, 95, 102decmac 11027 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10441, 52, 41, 68, 70, 71, 53, 7, 72, 90, 103decma2c 11028 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
105 5p1e6 10675 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
106 5t3e15 11062 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
10730, 79, 106mulcomli 9615 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
10841, 20, 105, 107decsuc 11011 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
10920, 48, 52, 73, 7, 41, 108, 63decmul1c 11035 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11053, 54, 20, 67, 7, 69, 104, 109decmul2c 11036 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11119, 110eqtr4i 2499 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
112 2lt10 10757 . . . 4  |-  2  <  10
113 1nn 10559 . . . . 5  |-  1  e.  NN
114 3lt10 10756 . . . . 5  |-  3  <  10
115113, 52, 48, 114declti 11013 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
11648, 54, 52, 20, 112, 115decltc 11010 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
117116, 67breqtrri 4478 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
11854001lem3 14499 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
11954001lem4 14500 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1201, 4, 40, 47, 50, 51, 49, 111, 117, 118, 119pockthi 14300 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    - cmin 9817   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   7c7 10602   8c8 10603   10c10 10605   NN0cn0 10807  ;cdc 10988   ^cexp 12146   Primecprime 14092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14020  df-prm 14093  df-odz 14170  df-phi 14171  df-pc 14236
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator