MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Unicode version

Theorem 4001prm 14629
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 14596 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10616 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 10913 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 10913 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10731 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10727 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 10909 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 10909 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 9461 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9679 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2382 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 10918 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2414 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6206 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 10909 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10724 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
1817, 10pncan3oi 9749 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
1915, 18eqtri 2411 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
20 5nn0 10732 . . . 4  |-  5  e.  NN0
21 8nn0 10735 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2221, 7deccl 10909 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
23 eqid 2382 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
24 eqid 2382 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
25 8t5e40 10986 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2625oveq1i 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
278nn0cni 10724 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2827addid1i 9678 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
2926, 28eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
30 5cn 10532 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3130mul02i 9680 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
327dec0h 10911 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3331, 32eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3420, 21, 7, 24, 7, 7, 29, 33decmul1c 10942 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3534oveq1i 6206 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
369nn0cni 10724 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3736addid1i 9678 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
3835, 37eqtri 2411 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
3920, 22, 7, 23, 7, 7, 38, 33decmul1c 10942 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4019, 39eqtr4i 2414 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
41 1nn0 10728 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
429, 41deccl 10909 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
435, 42eqeltri 2466 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4443nn0cni 10724 . . . 4  |-  N  e.  CC
45 npcan 9742 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4644, 10, 45mp2an 670 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4746eqcomi 2395 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
48 3nn0 10730 . . 3  |-  3  e.  NN0
49 2nn 10610 . . 3  |-  2  e.  NN
5048, 49decnncl 10908 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
51 3nn 10611 . 2  |-  3  e.  NN
52 2nn0 10729 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5348, 52deccl 10909 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5441, 52deccl 10909 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
55 2p1e3 10576 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5630sqvali 12150 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
57 5t5e25 10971 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
5856, 57eqtri 2411 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
59 2cn 10523 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
60 5t2e10 10607 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6130, 59, 60mulcomli 9514 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
62 dec10 10925 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6361, 62eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6459addid2i 9679 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6541, 7, 52, 63, 64decaddi 10939 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6620, 52, 20, 58, 20, 52, 65, 57decmul1c 10942 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6720, 52, 55, 66numexpp1 14566 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
68 6nn0 10733 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
6941, 68deccl 10909 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
70 eqid 2382 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
71 eqid 2382 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
72 7nn0 10734 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
73 eqid 2382 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
74 7cn 10536 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
75 7p1e8 10582 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7674, 10, 75addcomli 9683 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
7721dec0h 10911 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
7876, 77eqtri 2411 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
79 3cn 10527 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8079mulid1i 9509 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8180, 11oveq12i 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
82 3p1e4 10578 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8381, 82eqtri 2411 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8459mulid1i 9509 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8584oveq1i 6206 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
86 8cn 10538 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
87 8p2e10 10599 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
8886, 59, 87addcomli 9683 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
8985, 88, 623eqtri 2415 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9048, 52, 7, 21, 73, 78, 41, 7, 41, 83, 89decmac 10934 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9168dec0h 10911 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
92 3t2e6 10604 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9392, 11oveq12i 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
94 6p1e7 10581 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9593, 94eqtri 2411 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
96 2t2e4 10602 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
9796oveq1i 6206 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
98 6cn 10534 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
99 4cn 10530 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
100 6p4e10 10596 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
10198, 99, 100addcomli 9683 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
10297, 101, 623eqtri 2415 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10348, 52, 7, 68, 73, 91, 52, 7, 41, 95, 102decmac 10934 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10441, 52, 41, 68, 70, 71, 53, 7, 72, 90, 103decma2c 10935 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
105 5p1e6 10580 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
106 5t3e15 10969 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
10730, 79, 106mulcomli 9514 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
10841, 20, 105, 107decsuc 10918 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
10920, 48, 52, 73, 7, 41, 108, 63decmul1c 10942 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11053, 54, 20, 67, 7, 69, 104, 109decmul2c 10943 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11119, 110eqtr4i 2414 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
112 2lt10 10662 . . . 4  |-  2  <  10
113 1nn 10463 . . . . 5  |-  1  e.  NN
114 3lt10 10661 . . . . 5  |-  3  <  10
115113, 52, 48, 114declti 10920 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
11648, 54, 52, 20, 112, 115decltc 10917 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
117116, 67breqtrri 4392 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
11854001lem3 14627 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
11954001lem4 14628 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1201, 4, 40, 47, 50, 51, 49, 111, 117, 118, 119pockthi 14427 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    e. wcel 1826  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    - cmin 9718   2c2 10502   3c3 10503   4c4 10504   5c5 10505   6c6 10506   7c7 10507   8c8 10508   10c10 10510   NN0cn0 10712  ;cdc 10895   ^cexp 12069   Primecprime 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-odz 14297  df-phi 14298  df-pc 14363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator