MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Unicode version

Theorem 4001prm 15113
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 15077 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10779 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 11075 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 11075 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10894 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10890 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 11071 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 11071 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 9603 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9827 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2423 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 11080 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2455 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6314 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 11071 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10887 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
1817, 10pncan3oi 9897 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
1915, 18eqtri 2452 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
20 5nn0 10895 . . . 4  |-  5  e.  NN0
21 8nn0 10898 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2221, 7deccl 11071 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
23 eqid 2423 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
24 eqid 2423 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
25 8t5e40 11148 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2625oveq1i 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
278nn0cni 10887 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2827addid1i 9826 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
2926, 28eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
30 5cn 10695 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3130mul02i 9828 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
327dec0h 11073 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3331, 32eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3420, 21, 7, 24, 7, 7, 29, 33decmul1c 11104 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3534oveq1i 6314 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
369nn0cni 10887 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3736addid1i 9826 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
3835, 37eqtri 2452 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
3920, 22, 7, 23, 7, 7, 38, 33decmul1c 11104 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4019, 39eqtr4i 2455 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
41 1nn0 10891 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
429, 41deccl 11071 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
435, 42eqeltri 2507 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4443nn0cni 10887 . . . 4  |-  N  e.  CC
45 npcan 9890 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4644, 10, 45mp2an 677 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4746eqcomi 2436 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
48 3nn0 10893 . . 3  |-  3  e.  NN0
49 2nn 10773 . . 3  |-  2  e.  NN
5048, 49decnncl 11070 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
51 3nn 10774 . 2  |-  3  e.  NN
52 2nn0 10892 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5348, 52deccl 11071 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5441, 52deccl 11071 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
55 2p1e3 10739 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5630sqvali 12359 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
57 5t5e25 11133 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
5856, 57eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
59 2cn 10686 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
60 5t2e10 10770 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6130, 59, 60mulcomli 9656 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
62 dec10 11087 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6361, 62eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6459addid2i 9827 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6541, 7, 52, 63, 64decaddi 11101 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6620, 52, 20, 58, 20, 52, 65, 57decmul1c 11104 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6720, 52, 55, 66numexpp1 15047 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
68 6nn0 10896 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
6941, 68deccl 11071 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
70 eqid 2423 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
71 eqid 2423 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
72 7nn0 10897 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
73 eqid 2423 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
74 7cn 10699 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
75 7p1e8 10745 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7674, 10, 75addcomli 9831 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
7721dec0h 11073 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
7876, 77eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
79 3cn 10690 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8079mulid1i 9651 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8180, 11oveq12i 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
82 3p1e4 10741 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8381, 82eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8459mulid1i 9651 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8584oveq1i 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
86 8cn 10701 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
87 8p2e10 10762 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
8886, 59, 87addcomli 9831 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
8985, 88, 623eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9048, 52, 7, 21, 73, 78, 41, 7, 41, 83, 89decmac 11096 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9168dec0h 11073 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
92 3t2e6 10767 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9392, 11oveq12i 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
94 6p1e7 10744 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9593, 94eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
96 2t2e4 10765 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
9796oveq1i 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
98 6cn 10697 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
99 4cn 10693 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
100 6p4e10 10759 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
10198, 99, 100addcomli 9831 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
10297, 101, 623eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10348, 52, 7, 68, 73, 91, 52, 7, 41, 95, 102decmac 11096 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10441, 52, 41, 68, 70, 71, 53, 7, 72, 90, 103decma2c 11097 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
105 5p1e6 10743 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
106 5t3e15 11131 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
10730, 79, 106mulcomli 9656 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
10841, 20, 105, 107decsuc 11080 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
10920, 48, 52, 73, 7, 41, 108, 63decmul1c 11104 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11053, 54, 20, 67, 7, 69, 104, 109decmul2c 11105 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11119, 110eqtr4i 2455 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
112 2lt10 10825 . . . 4  |-  2  <  10
113 1nn 10626 . . . . 5  |-  1  e.  NN
114 3lt10 10824 . . . . 5  |-  3  <  10
115113, 52, 48, 114declti 11082 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
11648, 54, 52, 20, 112, 115decltc 11079 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
117116, 67breqtrri 4448 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
11854001lem3 15111 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
11954001lem4 15112 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1201, 4, 40, 47, 50, 51, 49, 111, 117, 118, 119pockthi 14848 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869  (class class class)co 6304   CCcc 9543   0cc0 9545   1c1 9546    + caddc 9548    x. cmul 9550    < clt 9681    - cmin 9866   2c2 10665   3c3 10666   4c4 10667   5c5 10668   6c6 10669   7c7 10670   8c8 10671   10c10 10673   NN0cn0 10875  ;cdc 11057   ^cexp 12277   Primecprime 14619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-sup 7964  df-inf 7965  df-card 8380  df-cda 8604  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-fl 12033  df-mod 12102  df-seq 12219  df-exp 12278  df-hash 12521  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297  df-dvds 14303  df-gcd 14466  df-prm 14620  df-odz 14709  df-phi 14711  df-pc 14784
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator