MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 4001prm 15116
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 15080 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10773 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 11069 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 11069 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10888 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10884 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 11065 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 11065 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 9597 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9821 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2451 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 11074 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2476 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6300 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 11065 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10881 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
1817, 10pncan3oi 9891 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
1915, 18eqtri 2473 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
20 5nn0 10889 . . . 4  |-  5  e.  NN0
21 8nn0 10892 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2221, 7deccl 11065 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
23 eqid 2451 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
24 eqid 2451 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
25 8t5e40 11142 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2625oveq1i 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
278nn0cni 10881 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2827addid1i 9820 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
2926, 28eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
30 5cn 10689 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3130mul02i 9822 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
327dec0h 11067 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3331, 32eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3420, 21, 7, 24, 7, 7, 29, 33decmul1c 11098 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3534oveq1i 6300 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
369nn0cni 10881 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3736addid1i 9820 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
3835, 37eqtri 2473 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
3920, 22, 7, 23, 7, 7, 38, 33decmul1c 11098 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4019, 39eqtr4i 2476 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
41 1nn0 10885 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
429, 41deccl 11065 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
435, 42eqeltri 2525 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4443nn0cni 10881 . . . 4  |-  N  e.  CC
45 npcan 9884 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4644, 10, 45mp2an 678 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4746eqcomi 2460 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
48 3nn0 10887 . . 3  |-  3  e.  NN0
49 2nn 10767 . . 3  |-  2  e.  NN
5048, 49decnncl 11064 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
51 3nn 10768 . 2  |-  3  e.  NN
52 2nn0 10886 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5348, 52deccl 11065 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5441, 52deccl 11065 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
55 2p1e3 10733 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5630sqvali 12354 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
57 5t5e25 11127 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
5856, 57eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
59 2cn 10680 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
60 5t2e10 10764 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6130, 59, 60mulcomli 9650 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
62 dec10 11081 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6361, 62eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6459addid2i 9821 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6541, 7, 52, 63, 64decaddi 11095 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6620, 52, 20, 58, 20, 52, 65, 57decmul1c 11098 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6720, 52, 55, 66numexpp1 15050 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
68 6nn0 10890 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
6941, 68deccl 11065 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
70 eqid 2451 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
71 eqid 2451 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
72 7nn0 10891 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
73 eqid 2451 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
74 7cn 10693 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
75 7p1e8 10739 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7674, 10, 75addcomli 9825 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
7721dec0h 11067 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
7876, 77eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
79 3cn 10684 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8079mulid1i 9645 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8180, 11oveq12i 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
82 3p1e4 10735 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8381, 82eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8459mulid1i 9645 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8584oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
86 8cn 10695 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
87 8p2e10 10756 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
8886, 59, 87addcomli 9825 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
8985, 88, 623eqtri 2477 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9048, 52, 7, 21, 73, 78, 41, 7, 41, 83, 89decmac 11090 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9168dec0h 11067 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
92 3t2e6 10761 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9392, 11oveq12i 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
94 6p1e7 10738 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9593, 94eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
96 2t2e4 10759 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
9796oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
98 6cn 10691 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
99 4cn 10687 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
100 6p4e10 10753 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
10198, 99, 100addcomli 9825 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
10297, 101, 623eqtri 2477 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10348, 52, 7, 68, 73, 91, 52, 7, 41, 95, 102decmac 11090 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10441, 52, 41, 68, 70, 71, 53, 7, 72, 90, 103decma2c 11091 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
105 5p1e6 10737 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
106 5t3e15 11125 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
10730, 79, 106mulcomli 9650 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
10841, 20, 105, 107decsuc 11074 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
10920, 48, 52, 73, 7, 41, 108, 63decmul1c 11098 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11053, 54, 20, 67, 7, 69, 104, 109decmul2c 11099 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11119, 110eqtr4i 2476 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
112 2lt10 10819 . . . 4  |-  2  <  10
113 1nn 10620 . . . . 5  |-  1  e.  NN
114 3lt10 10818 . . . . 5  |-  3  <  10
115113, 52, 48, 114declti 11076 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
11648, 54, 52, 20, 112, 115decltc 11073 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
117116, 67breqtrri 4428 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
11854001lem3 15114 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
11954001lem4 15115 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1201, 4, 40, 47, 50, 51, 49, 111, 117, 118, 119pockthi 14851 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    e. wcel 1887  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    - cmin 9860   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   7c7 10664   8c8 10665   10c10 10667   NN0cn0 10869  ;cdc 11051   ^cexp 12272   Primecprime 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-odz 14712  df-phi 14714  df-pc 14787
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator