MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Unicode version

Theorem 4001prm 14181
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
Assertion
Ref Expression
4001prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 14148 . 2  |-  5  e.  Prime
2 8nn 10497 . . . 4  |-  8  e.  NN
32decnncl2 10785 . . 3  |- ; 8 0  e.  NN
43decnncl2 10785 . 2  |- ;; 8 0 0  e.  NN
5 4001prm.1 . . . . . 6  |-  N  = ;;; 4 0 0 1
6 4nn0 10610 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN0
7 0nn0 10606 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
86, 7deccl 10781 . . . . . . . 8  |- ; 4 0  e.  NN0
98, 7deccl 10781 . . . . . . 7  |- ;; 4 0 0  e.  NN0
10 ax-1cn 9352 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9569 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 eqid 2443 . . . . . . 7  |- ;;; 4 0 0 0  = ;;; 4 0 0 0
139, 7, 11, 12decsuc 10790 . . . . . 6  |-  (;;; 4 0 0 0  +  1 )  = ;;; 4 0 0 1
145, 13eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  N  =  (;;; 4 0 0 0  +  1 )
1514oveq1i 6113 . . . 4  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )
169, 7deccl 10781 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 0  e.  NN0
1716nn0cni 10603 . . . . 5  |- ;;; 4 0 0 0  e.  CC
18 pncan 9628 . . . . 5  |-  ( (;;; 4 0 0 0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 4 0 0 0  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 4 0 0 0 )
1917, 10, 18mp2an 672 . . . 4  |-  ( (;;; 4 0 0 0  +  1 )  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
2015, 19eqtri 2463 . . 3  |-  ( N  -  1 )  = ;;; 4 0 0 0
21 5nn0 10611 . . . 4  |-  5  e.  NN0
22 8nn0 10614 . . . . 5  |-  8  e.  NN0
2322, 7deccl 10781 . . . 4  |- ; 8 0  e.  NN0
24 eqid 2443 . . . 4  |- ;; 8 0 0  = ;; 8 0 0
25 eqid 2443 . . . . . . 7  |- ; 8 0  = ; 8 0
26 8t5e40 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  5 )  = ; 4
0
2726oveq1i 6113 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  =  (; 4 0  +  0 )
288nn0cni 10603 . . . . . . . . 9  |- ; 4 0  e.  CC
2928addid1i 9568 . . . . . . . 8  |-  (; 4 0  +  0 )  = ; 4 0
3027, 29eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  0 )  = ; 4
0
31 5cn 10413 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  CC
3231mul02i 9570 . . . . . . . 8  |-  ( 0  x.  5 )  =  0
337dec0h 10783 . . . . . . . 8  |-  0  = ; 0 0
3432, 33eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( 0  x.  5 )  = ; 0
0
3521, 22, 7, 25, 7, 7, 30, 34decmul1c 10814 . . . . . 6  |-  (; 8 0  x.  5 )  = ;; 4 0 0
3635oveq1i 6113 . . . . 5  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  =  (;; 4 0 0  +  0 )
379nn0cni 10603 . . . . . 6  |- ;; 4 0 0  e.  CC
3837addid1i 9568 . . . . 5  |-  (;; 4 0 0  +  0 )  = ;; 4 0 0
3936, 38eqtri 2463 . . . 4  |-  ( (; 8
0  x.  5 )  +  0 )  = ;; 4 0 0
4021, 23, 7, 24, 7, 7, 39, 34decmul1c 10814 . . 3  |-  (;; 8 0 0  x.  5 )  = ;;; 4 0 0 0
4120, 40eqtr4i 2466 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (;; 8 0 0  x.  5 )
42 1nn0 10607 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
439, 42deccl 10781 . . . . . 6  |- ;;; 4 0 0 1  e.  NN0
445, 43eqeltri 2513 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
4544nn0cni 10603 . . . 4  |-  N  e.  CC
46 npcan 9631 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4745, 10, 46mp2an 672 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
4847eqcomi 2447 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
49 3nn0 10609 . . 3  |-  3  e.  NN0
50 2nn 10491 . . 3  |-  2  e.  NN
5149, 50decnncl 10780 . 2  |- ; 3 2  e.  NN
52 3nn 10492 . 2  |-  3  e.  NN
53 2nn0 10608 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
5449, 53deccl 10781 . . . 4  |- ; 3 2  e.  NN0
5542, 53deccl 10781 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN0
56 2p1e3 10457 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5731sqvali 11957 . . . . . . 7  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
58 5t5e25 10843 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
5957, 58eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
60 2cn 10404 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
61 5t2e10 10488 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
6231, 60, 61mulcomli 9405 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
63 dec10 10797 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
6462, 63eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  5 )  = ; 1
0
6560addid2i 9569 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  2 )  =  2
6642, 7, 53, 64, 65decaddi 10811 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  5 )  +  2 )  = ; 1
2
6721, 53, 21, 59, 21, 53, 66, 58decmul1c 10814 . . . . 5  |-  ( ( 5 ^ 2 )  x.  5 )  = ;; 1 2 5
6821, 53, 56, 67numexpp1 14119 . . . 4  |-  ( 5 ^ 3 )  = ;; 1 2 5
69 6nn0 10612 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
7042, 69deccl 10781 . . . 4  |- ; 1 6  e.  NN0
71 eqid 2443 . . . . 5  |- ; 1 2  = ; 1 2
72 eqid 2443 . . . . 5  |- ; 1 6  = ; 1 6
73 7nn0 10613 . . . . 5  |-  7  e.  NN0
74 eqid 2443 . . . . . 6  |- ; 3 2  = ; 3 2
75 7cn 10417 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
76 7p1e8 10463 . . . . . . . 8  |-  ( 7  +  1 )  =  8
7775, 10, 76addcomli 9573 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  7 )  =  8
7822dec0h 10783 . . . . . . 7  |-  8  = ; 0 8
7977, 78eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( 1  +  7 )  = ; 0
8
80 3cn 10408 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  CC
8180mulid1i 9400 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  1 )  =  3
8281, 11oveq12i 6115 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 3  +  1 )
83 3p1e4 10459 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
8482, 83eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  4
8560mulid1i 9400 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8685oveq1i 6113 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  =  ( 2  +  8 )
87 8cn 10419 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
88 8p2e10 10480 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  2 )  =  10
8987, 60, 88addcomli 9573 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  8 )  =  10
9086, 89, 633eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  8 )  = ; 1
0
9149, 53, 7, 22, 74, 79, 42, 7, 42, 84, 90decmac 10806 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  1 )  +  ( 1  +  7 ) )  = ; 4
0
9269dec0h 10783 . . . . . 6  |-  6  = ; 0 6
93 3t2e6 10485 . . . . . . . 8  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
9493, 11oveq12i 6115 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 6  +  1 )
95 6p1e7 10462 . . . . . . 7  |-  ( 6  +  1 )  =  7
9694, 95eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( ( 3  x.  2 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  7
97 2t2e4 10483 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
9897oveq1i 6113 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  =  ( 4  +  6 )
99 6cn 10415 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
100 4cn 10411 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
101 6p4e10 10477 . . . . . . . 8  |-  ( 6  +  4 )  =  10
10299, 100, 101addcomli 9573 . . . . . . 7  |-  ( 4  +  6 )  =  10
10398, 102, 633eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  6 )  = ; 1
0
10449, 53, 7, 69, 74, 92, 53, 7, 42, 96, 103decmac 10806 . . . . 5  |-  ( (; 3
2  x.  2 )  +  6 )  = ; 7
0
10542, 53, 42, 69, 71, 72, 54, 7, 73, 91, 104decma2c 10807 . . . 4  |-  ( (; 3
2  x. ; 1 2 )  + ; 1
6 )  = ;; 4 0 0
106 5p1e6 10461 . . . . . 6  |-  ( 5  +  1 )  =  6
107 5t3e15 10841 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
10831, 80, 107mulcomli 9405 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  5 )  = ; 1
5
10942, 21, 106, 108decsuc 10790 . . . . 5  |-  ( ( 3  x.  5 )  +  1 )  = ; 1
6
11021, 49, 53, 74, 7, 42, 109, 64decmul1c 10814 . . . 4  |-  (; 3 2  x.  5 )  = ;; 1 6 0
11154, 55, 21, 68, 7, 70, 105, 110decmul2c 10815 . . 3  |-  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )  = ;;; 4 0 0 0
11220, 111eqtr4i 2466 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 3 2  x.  (
5 ^ 3 ) )
113 2lt10 10543 . . . 4  |-  2  <  10
114 1nn 10345 . . . . 5  |-  1  e.  NN
115 3lt10 10542 . . . . 5  |-  3  <  10
116114, 53, 49, 115declti 10792 . . . 4  |-  3  < ; 1
2
11749, 55, 53, 21, 113, 116decltc 10789 . . 3  |- ; 3 2  < ;; 1 2 5
118117, 68breqtrri 4329 . 2  |- ; 3 2  <  (
5 ^ 3 )
11954001lem3 14179 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
12054001lem4 14180 . 2  |-  ( ( ( 2 ^;; 8 0 0 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
1211, 4, 41, 48, 51, 52, 50, 112, 118, 119, 120pockthi 13980 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    < clt 9430    - cmin 9607   2c2 10383   3c3 10384   4c4 10385   5c5 10386   6c6 10387   7c7 10388   8c8 10389   10c10 10391   NN0cn0 10591  ;cdc 10767   ^cexp 11877   Primecprime 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-dvds 13548  df-gcd 13703  df-prm 13776  df-odz 13852  df-phi 13853  df-pc 13916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator