MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3z Structured version   Unicode version

Theorem 3z 10679
Description: 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
3z  |-  3  e.  ZZ

Proof of Theorem 3z
StepHypRef Expression
1 3nn 10480 . 2  |-  3  e.  NN
21nnzi 10670 1  |-  3  e.  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   3c3 10372   ZZcz 10646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-z 10647
This theorem is referenced by:  4fvwrd4  11533  fzo0to3tp  11615  expnass  11971  sin01gt0  13474  3dvds  13596  3prm  13780  iblcnlem1  21265  dcubic1lem  22238  dcubic2  22239  dcubic  22241  cubic2  22243  cubic  22244  quart  22256  ppiublem1  22541  ppiublem2  22542  ppiub  22543  chtub  22551  bposlem4  22626  bposlem5  22627  bposlem8  22630  lgsdir2lem5  22666  dchrvmasumiflem1  22750  mulog2sumlem2  22784  pntlemo  22856  pntlem3  22858  pntleml  22860  axlowdimlem7  23194  axlowdimlem16  23203  axlowdimlem17  23204  axlowdim  23207  usgraexvlem  23313  usgraexmpl  23319  3v3e3cycl1  23530  constr3pthlem1  23541  constr3pthlem3  23543  4cycl4v4e  23552  4cycl4dv4e  23554  konigsberg  23608  ex-dvds  23655  jm2.23  29345  jm2.20nn  29346  lhe4.4ex1a  29603  wallispilem4  29863  prmn2uzge3  30249  linevalexample  30856  zlmodzxzequa  31038  zlmodzxznm  31039  zlmodzxzequap  31041  zlmodzxzldeplem3  31044  zlmodzxzldep  31046  ldepsnlinclem2  31048  ldepsnlinc  31050
  Copyright terms: Public domain W3C validator