MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3z Structured version   Unicode version

Theorem 3z 10893
Description: 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
3z  |-  3  e.  ZZ

Proof of Theorem 3z
StepHypRef Expression
1 3nn 10690 . 2  |-  3  e.  NN
21nnzi 10884 1  |-  3  e.  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   3c3 10582   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-z 10861
This theorem is referenced by:  4fvwrd4  11786  fzo0to3tp  11864  expnass  12235  sin01gt0  13779  3dvds  13902  3prm  14086  prmn2uzge3  14089  iblcnlem1  21926  dcubic1lem  22899  dcubic2  22900  dcubic  22902  cubic2  22904  cubic  22905  quart  22917  ppiublem1  23202  ppiublem2  23203  ppiub  23204  chtub  23212  bposlem4  23287  bposlem5  23288  bposlem8  23291  lgsdir2lem5  23327  dchrvmasumiflem1  23411  mulog2sumlem2  23445  pntlemo  23517  pntlem3  23519  pntleml  23521  axlowdimlem7  23924  axlowdimlem16  23933  axlowdimlem17  23934  axlowdim  23937  usgraexvlem  24068  usgraexmpl  24074  3v3e3cycl1  24317  constr3pthlem1  24328  constr3pthlem3  24330  4cycl4v4e  24339  4cycl4dv4e  24341  konigsberg  24660  ex-dvds  24843  jm2.23  30542  jm2.20nn  30543  3lcm2e6  30819  lhe4.4ex1a  30834  wallispilem4  31368  linevalexample  32069  zlmodzxzequa  32178  zlmodzxznm  32179  zlmodzxzequap  32181  zlmodzxzldeplem3  32184  zlmodzxzldep  32186  ldepsnlinclem2  32188  ldepsnlinc  32190
  Copyright terms: Public domain W3C validator