MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3z Structured version   Unicode version

Theorem 3z 10814
Description: 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
3z  |-  3  e.  ZZ

Proof of Theorem 3z
StepHypRef Expression
1 3nn 10611 . 2  |-  3  e.  NN
21nnzi 10805 1  |-  3  e.  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1826   3c3 10503   ZZcz 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-z 10782
This theorem is referenced by:  4fvwrd4  11715  fzo0to3tp  11799  expnass  12176  sin01gt0  13927  3dvds  14052  3prm  14236  prmn2uzge3  14239  iblcnlem1  22279  dcubic1lem  23290  dcubic2  23291  dcubic  23293  cubic2  23295  cubic  23296  quart  23308  ppiublem1  23594  ppiublem2  23595  ppiub  23596  chtub  23604  bposlem4  23679  bposlem5  23680  bposlem8  23683  lgsdir2lem5  23719  dchrvmasumiflem1  23803  mulog2sumlem2  23837  pntlemo  23909  pntlem3  23911  pntleml  23913  axlowdimlem7  24372  axlowdimlem16  24381  axlowdimlem17  24382  usgraexvlem  24516  usgraexmpl  24522  3v3e3cycl1  24765  constr3pthlem1  24776  constr3pthlem3  24778  4cycl4v4e  24787  4cycl4dv4e  24789  konigsberg  25108  ex-dvds  25290  ex-ind-dvds  25291  jm2.23  31104  jm2.20nn  31105  3lcm2e6  31387  lhe4.4ex1a  31402  wallispilem4  32016  41prothprmlem2  32552  41prothprm  32553  linevalexample  33196  zlmodzxzequa  33297  zlmodzxznm  33298  zlmodzxzequap  33300  zlmodzxzldeplem3  33303  zlmodzxzldep  33305  ldepsnlinclem2  33307  ldepsnlinc  33309  inductionexd  38496
  Copyright terms: Public domain W3C validator