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Theorem 3vfriswmgra 24778
Description: Every friendship graph with three (different) vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
3vfriswmgra  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    A, h, v, w    B, h, v, w    C, h, v, w   
h, E, v, w   
h, V, v, w   
v, X, w    v, Y, w
Allowed substitution hints:    X( h)    Y( h)    Z( w, v, h)

Proof of Theorem 3vfriswmgra
StepHypRef Expression
1 frisusgra 24765 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
2 frgra3v 24775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
323adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
43imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
5 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
65eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E )
76biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
873ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
11103adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
12113ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  A  =/=  B )
15143ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  A  =/=  B )
16153ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  A  =/=  B )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  A  =/=  B )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
1913, 17, 183jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E ) )
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
21203ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
22 3vfriswmgralem 24777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
2419, 21, 23syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
259, 24jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
26 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { B ,  C }  e.  ran  E )
27 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
28273adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
29283ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
31 necom 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
3231biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
33323ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  A )
34333ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  B  =/=  A )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  B  =/=  A )
36 tpcoma 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }
3736breq1i 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
4030, 35, 393jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E ) )
41 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { A ,  B }  =  { B ,  A }
4241eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E )
4342biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
44433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
45 3vfriswmgralem 24777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  ->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
47 reueq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  =  { B ,  A }  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
4841, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <-> 
E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
4946, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5040, 44, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5126, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
5225, 51jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
53 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  C }  =  { A ,  C }
)
5453eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
55 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  w }  =  { A ,  w }
)
5655eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
5756reubidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
5854, 57anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  A  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) ) )
59 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  C }  =  { B ,  C }
)
6059eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
61 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  w }  =  { B ,  w }
)
6261eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6362reubidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6460, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  B  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
6558, 64ralprg 4076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
66653adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
67663ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
7052, 69mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  { A ,  B } 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
71 diftpsn3 4165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
72713adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
73 reueq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7574anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7672, 75raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
77763ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8070, 79mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
81 3mix3 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
83 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  { h }  =  { A } )
8483difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
85 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  A  ->  { v ,  h }  =  { v ,  A } )
8685eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  A }  e.  ran  E ) )
87 reueq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
8884, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
8986, 88anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
9084, 89raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  A  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
91 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  { h }  =  { B } )
9291difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
93 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  B  ->  { v ,  h }  =  { v ,  B } )
9493eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  B }  e.  ran  E ) )
95 reueq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9692, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9794, 96anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
9892, 97raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  B  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
99 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  { h }  =  { C } )
10099difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
101 preq2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  C  ->  { v ,  h }  =  { v ,  C } )
102101eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  C }  e.  ran  E ) )
103 reueq1 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
105102, 104anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
106100, 105raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  C  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
10790, 98, 106rextpg 4079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1081073ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
110109adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
11182, 110mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
112111ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
1134, 112sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
114113expcom 435 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
115114com23 78 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1161, 115mpcom 36 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
117116com12 31 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
118 breq1 4450 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { A ,  B ,  C } FriendGrph  E ) )
119 difeq1 3615 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) )
120 reueq1 3060 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  -> 
( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
122121anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( {
v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
123119, 122raleqbidv 3072 . . . . 5  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
124123rexeqbi1dv 3067 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
125118, 124imbi12d 320 . . 3  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1261253ad2ant3 1019 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
127117, 126mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816    \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   class class class wbr 4447   ran crn 5000   USGrph cusg 24103   FriendGrph cfrgra 24761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375  df-usgra 24106  df-frgra 24762
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgra  24780
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