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Theorem 3vfriswmgra 25670
Description: Every friendship graph with three (different) vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
3vfriswmgra  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    A, h, v, w    B, h, v, w    C, h, v, w   
h, E, v, w   
h, V, v, w   
v, X, w    v, Y, w
Allowed substitution hints:    X( h)    Y( h)    Z( w, v, h)

Proof of Theorem 3vfriswmgra
StepHypRef Expression
1 frisusgra 25657 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
2 frgra3v 25667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
323adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
43imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
5 prcom 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
65eleq1i 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E )
76biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
873ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
98adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
11103adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
12113ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  A  =/=  B )
15143ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  A  =/=  B )
16153ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  A  =/=  B )
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  A  =/=  B )
18 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
1913, 17, 183jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E ) )
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
21203ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
22 3vfriswmgralem 25669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
2322imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
2419, 21, 23syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
259, 24jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
26 simpr2 1012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { B ,  C }  e.  ran  E )
27 pm3.22 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
28273adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
29283ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
31 necom 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
3231biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
33323ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  A )
34333ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  B  =/=  A )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  B  =/=  A )
36 tpcoma 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }
3736breq1i 4368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
3837biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
3938adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
4030, 35, 393jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E ) )
41 prcom 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { A ,  B }  =  { B ,  A }
4241eleq1i 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E )
4342biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
44433ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
45 3vfriswmgralem 25669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  ->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
4645imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
47 reueq1 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  =  { B ,  A }  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
4841, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <-> 
E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
4946, 48sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5040, 44, 49syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5126, 50jca 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
5225, 51jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
53 preq1 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  C }  =  { A ,  C }
)
5453eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
55 preq1 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  w }  =  { A ,  w }
)
5655eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
5756reubidv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
5854, 57anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  A  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) ) )
59 preq1 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  C }  =  { B ,  C }
)
6059eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
61 preq1 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  w }  =  { B ,  w }
)
6261eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6362reubidv 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6460, 63anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  B  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
6558, 64ralprg 3987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
66653adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
67663ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
6867adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
6968adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
7052, 69mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  { A ,  B } 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
71 diftpsn3 4076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
72713adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
73 reueq1 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7574anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7672, 75raleqbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
77763ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7877adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8070, 79mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
81803mix3d 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
82 sneq 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  { h }  =  { A } )
8382difeq2d 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
84 preq2 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  A  ->  { v ,  h }  =  { v ,  A } )
8584eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  A }  e.  ran  E ) )
86 reueq1 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
8885, 87anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8983, 88raleqbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  A  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
90 sneq 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  { h }  =  { B } )
9190difeq2d 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
92 preq2 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  B  ->  { v ,  h }  =  { v ,  B } )
9392eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  B }  e.  ran  E ) )
94 reueq1 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9591, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9693, 95anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
9791, 96raleqbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  B  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
98 sneq 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  { h }  =  { C } )
9998difeq2d 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
100 preq2 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  C  ->  { v ,  h }  =  { v ,  C } )
101100eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  C }  e.  ran  E ) )
102 reueq1 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
104101, 103anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
10599, 104raleqbidv 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  C  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
10689, 97, 105rextpg 3990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1071063ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
108107adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
109108adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
11081, 109mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
111110ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
1124, 111sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
113112expcom 436 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
114113com23 81 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1151, 114mpcom 37 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
116115com12 32 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
117 breq1 4364 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { A ,  B ,  C } FriendGrph  E ) )
118 difeq1 3514 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) )
119 reueq1 2961 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  -> 
( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
120118, 119syl 17 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
121120anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( {
v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
122118, 121raleqbidv 2973 . . . . 5  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
123122rexeqbi1dv 2968 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
124117, 123imbi12d 321 . . 3  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1251243ad2ant3 1028 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
126116, 125mpbird 235 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    \/ w3o 981    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   E.wrex 2710   E!wreu 2711    \ cdif 3371   {csn 3936   {cpr 3938   {ctp 3940   class class class wbr 4361   ran crn 4792   USGrph cusg 24994   FriendGrph cfrgra 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-card 8320  df-cda 8544  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731  df-hash 12461  df-usgra 24997  df-frgra 25654
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgra  25672
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