Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3vfriswmgra Structured version   Unicode version

Theorem 3vfriswmgra 30609
Description: Every friendship graph with three (different) vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
3vfriswmgra  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Distinct variable groups:    A, h, v, w    B, h, v, w    C, h, v, w   
h, E, v, w   
h, V, v, w   
v, X, w    v, Y, w
Allowed substitution hints:    X( h)    Y( h)    Z( w, v, h)

Proof of Theorem 3vfriswmgra
StepHypRef Expression
1 frisusgra 30596 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
2 frgra3v 30606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C ) )  ->  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
323adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
43imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  <-> 
( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) ) )
5 prcom 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
65eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E )
76biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { C ,  A }  e.  ran  E  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
873ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { A ,  C }  e.  ran  E )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
11103adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
12113ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )
14 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  A  =/=  B )
15143ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  A  =/=  B )
16153ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  A  =/=  B )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  A  =/=  B )
18 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { A ,  B ,  C } USGrph  E )
1913, 17, 183jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E ) )
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
21203ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { A ,  B }  e.  ran  E )
22 3vfriswmgralem 30608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  { A ,  B }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
2419, 21, 23syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )
259, 24jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
26 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  { B ,  C }  e.  ran  E )
27 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
28273adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
29283ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( B  e.  Y  /\  A  e.  X
) )
31 necom 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
3231biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  B  ->  B  =/=  A )
33323ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  B  =/=  A )
34333ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  B  =/=  A )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  B  =/=  A )
36 tpcoma 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { A ,  B ,  C }  =  { B ,  A ,  C }
3736breq1i 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  <->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
3837biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  ->  { B ,  A ,  C } USGrph  E )
4030, 35, 393jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E ) )
41 prcom 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { A ,  B }  =  { B ,  A }
4241eleq1i 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  <->  { B ,  A }  e.  ran  E )
4342biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A ,  B }  e.  ran  E  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
44433ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  { B ,  A }  e.  ran  E )
45 3vfriswmgralem 30608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X
)  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  ->  ( { B ,  A }  e.  ran  E  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
47 reueq1 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { A ,  B }  =  { B ,  A }  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
4841, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E  <-> 
E! w  e.  { B ,  A }  { B ,  w }  e.  ran  E )
4946, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  Y  /\  A  e.  X )  /\  B  =/=  A  /\  { B ,  A ,  C } USGrph  E )  /\  { B ,  A }  e.  ran  E )  ->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5040, 44, 49syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E )
5126, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
5225, 51jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
53 preq1 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  C }  =  { A ,  C }
)
5453eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { A ,  C }  e.  ran  E ) )
55 preq1 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  A  ->  { v ,  w }  =  { A ,  w }
)
5655eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  A  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
5756reubidv 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  A  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) )
5854, 57anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  A  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E ) ) )
59 preq1 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  C }  =  { B ,  C }
)
6059eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  C }  e.  ran  E  <->  { B ,  C }  e.  ran  E ) )
61 preq1 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  B  ->  { v ,  w }  =  { B ,  w }
)
6261eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  B  ->  ( { v ,  w }  e.  ran  E  <->  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6362reubidv 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  B  ->  ( E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) )
6460, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  B  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) )
6558, 64ralprg 3937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
66653adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
67663ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e. 
{ A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( ( { A ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { A ,  w }  e.  ran  E )  /\  ( { B ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { B ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
7052, 69mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  { A ,  B } 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
71 diftpsn3 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B } )
72713adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }
)
73 reueq1 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  =  { A ,  B }  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) )
7574anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  (
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e. 
{ A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7672, 75raleqbidv 2943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
77763ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  { A ,  B }  ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  { A ,  B }  { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8070, 79mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
81 3mix3 1159 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
83 sneq 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  { h }  =  { A } )
8483difeq2d 3486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) )
85 preq2 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  A  ->  { v ,  h }  =  { v ,  A } )
8685eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  A }  e.  ran  E ) )
87 reueq1 2931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
8884, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  A  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
8986, 88anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  A  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
9084, 89raleqbidv 2943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  A  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
91 sneq 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  { h }  =  { B } )
9291difeq2d 3486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) )
93 preq2 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  B  ->  { v ,  h }  =  { v ,  B } )
9493eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  B }  e.  ran  E ) )
95 reueq1 2931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9692, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  B  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
9794, 96anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  B  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
9892, 97raleqbidv 2943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  B  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
99 sneq 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  { h }  =  { C } )
10099difeq2d 3486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) )
101 preq2 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  C  ->  { v ,  h }  =  { v ,  C } )
102101eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( { v ,  h }  e.  ran  E  <->  { v ,  C }  e.  ran  E ) )
103 reueq1 2931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } )  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  C  ->  ( E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
105102, 104anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  C  ->  (
( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
106100, 105raleqbidv 2943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  C  ->  ( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
10790, 98, 106rextpg 3940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1081073ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( E. h  e. 
{ A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
110109adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  ( E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <-> 
( A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) ( { v ,  A }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { A } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) ( { v ,  B }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { B } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  \/  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) ( { v ,  C }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { C } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
11182, 110mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  /\  ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
112111ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( ( { A ,  B }  e.  ran  E  /\  { B ,  C }  e.  ran  E  /\  { C ,  A }  e.  ran  E )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
1134, 112sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  /\  { A ,  B ,  C } USGrph  E )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
114113expcom 435 . . . . 5  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
115114com23 78 . . . 4  |-  ( { A ,  B ,  C } USGrph  E  ->  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1161, 115mpcom 36 . . 3  |-  ( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  (
( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/= 
C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
117116com12 31 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
118 breq1 4307 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { A ,  B ,  C } FriendGrph  E ) )
119 difeq1 3479 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( V  \  {
h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) )
120 reueq1 2931 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  \  { h } )  =  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } )  -> 
( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E  <->  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )
122121anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  ( {
v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
123119, 122raleqbidv 2943 . . . . 5  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
124123rexeqbi1dv 2938 . . . 4  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E )  <->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
125118, 124imbi12d 320 . . 3  |-  ( V  =  { A ,  B ,  C }  ->  ( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
1261253ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( ( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { h }
) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  {
h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) )  <-> 
( { A ,  B ,  C } FriendGrph  E  ->  E. h  e.  { A ,  B ,  C } A. v  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( { A ,  B ,  C }  \  { h } ) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) ) )
127117, 126mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y  /\  C  e.  Z
)  /\  ( A  =/=  B  /\  A  =/= 
C  /\  B  =/=  C )  /\  V  =  { A ,  B ,  C } )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. h  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
h } ) ( { v ,  h }  e.  ran  E  /\  E! w  e.  ( V  \  { h }
) { v ,  w }  e.  ran  E ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   E!wreu 2729    \ cdif 3337   {csn 3889   {cpr 3891   {ctp 3893   class class class wbr 4304   ran crn 4853   USGrph cusg 23276   FriendGrph cfrgra 30592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-hash 12116  df-usgra 23278  df-frgra 30593
This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgra  30611
  Copyright terms: Public domain W3C validator