MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3v3e3cycl2 Structured version   Unicode version

Theorem 3v3e3cycl2 23501
Description: If there are three (different) vertices in a graph which are mutually connected by edges, there is a 3-cycle in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c, f, p    V, a, b, c, f, p

Proof of Theorem 3v3e3cycl2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2716 . . 3  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
2 df-rex 2716 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
3 df-rex 2716 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
43anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
54exbii 1634 . . . . . 6  |-  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
62, 5bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )
76anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  <->  ( a  e.  V  /\  E. b
( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
87exbii 1634 . . 3  |-  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
91, 8bitri 249 . 2  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
)  <->  E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
10 19.41v 1919 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )
)
11 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <-> 
( E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
12 19.41v 1919 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  <->  ( E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )
)
1311, 12bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  <->  E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V ) )
1413anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
15 19.41v 1919 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( E. b
( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E ) )
16 anass 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  ( (
b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
17 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
18 19.41v 1919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  <->  ( E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
1917, 18bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  E. c
( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V ) )
2019anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <-> 
( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
21 19.41v 1919 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  ( E. c ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )  /\  ( a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  <->  E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2316, 22bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2423exbii 1634 . . . . . . 7  |-  ( E. b ( ( ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  /\  a  e.  V )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c
( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2514, 15, 243bitr2i 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
2625exbii 1634 . . . . 5  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) ) )
27 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  V USGrph  E )
28 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
a  e.  V )
29 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
b  e.  V )
30 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
c  e.  V )
31 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )
33 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }
34 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  =  ( { <. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )
3533, 34constr3cycl 23498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V  /\  c  e.  V )  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  ->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3627, 28, 29, 30, 32, 35syl131anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
3736eximi 1625 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
38372eximi 1626 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
39 tpex 6374 . . . . . . . . 9  |-  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  e.  _V
40 prex 4529 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  e.  _V
41 prex 4529 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. }  e.  _V
4240, 41unex 6373 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } )  e.  _V
43 breq12 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
f ( V Cycles  E
) p  <->  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ( V Cycles  E ) ( {
<. 0 ,  a
>. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a
>. } ) ) )
44 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  (
# `  f )  =  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } ) )
4544eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. }  ->  ( ( # `  f
)  =  3  <->  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( # `  f )  =  3  <->  ( # `  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. } )  =  3 ) )
4743, 46anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  /\  p  =  ( { <. 0 ,  a >. ,  <. 1 ,  b >. }  u.  { <. 2 ,  c >. ,  <. 3 ,  a >. } ) )  ->  (
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 )  <->  ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 ) ) )
4839, 42, 47spc2ev 3060 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
4948exlimiv 1688 . . . . . . 7  |-  ( E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5049exlimivv 1689 . . . . . 6  |-  ( E. a E. b E. c ( { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } )
>. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } ) >. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } )
>. }  ( V Cycles  E
) ( { <. 0 ,  a >. , 
<. 1 ,  b
>. }  u.  { <. 2 ,  c >. , 
<. 3 ,  a
>. } )  /\  ( # `
 { <. 0 ,  ( `' E `  { a ,  b } ) >. ,  <. 1 ,  ( `' E `  { b ,  c } )
>. ,  <. 2 ,  ( `' E `  { c ,  a } ) >. } )  =  3 )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5138, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( E. a E. b E. c ( ( ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )  /\  b  e.  V )  /\  (
a  e.  V  /\  V USGrph  E ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) )
5226, 51sylbi 195 . . . 4  |-  ( E. a ( ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5310, 52sylbir 213 . . 3  |-  ( ( E. a ( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c
( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) )
5453expcom 435 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a
( a  e.  V  /\  E. b ( b  e.  V  /\  E. c ( c  e.  V  /\  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) )  ->  E. f E. p ( f ( V Cycles  E
) p  /\  ( # `
 f )  =  3 ) ) )
559, 54syl5bi 217 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E )  ->  E. f E. p
( f ( V Cycles  E ) p  /\  ( # `  f )  =  3 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2711    u. cun 3321   {cpr 3874   {ctp 3876   <.cop 3878   class class class wbr 4287   `'ccnv 4834   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   2c2 10363   3c3 10364   #chash 12095   USGrph cusg 23215   Cycles ccycl 23365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-usgra 23217  df-wlk 23366  df-trail 23367  df-pth 23368  df-cycl 23371
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl  23502
  Copyright terms: Public domain W3C validator