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Theorem 3v3e3cycl1 25451
Description: If there is a cycle of length 3 in a graph, there are three (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl1  |-  ( ( Fun  E  /\  F
( V Cycles  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, c    P, a,
b, c    V, a,
b, c
Allowed substitution hints:    F( a, b, c)

Proof of Theorem 3v3e3cycl1
Dummy variables  k 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 25439 . . . . 5  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
2 wlkbprop 25330 . . . . 5  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
4 iscycl 25432 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P 
<->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
5 ispth 25377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
6 istrl 25346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
7 fzo0to3tp 12028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0..^ 3 )  =  {
0 ,  1 ,  2 }
87raleqi 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 ,  2 }  ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
9 0z 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
10 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
11 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ZZ
12 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
1312fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
14 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
15 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
16 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1715, 16syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
1817fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
1914, 18preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
2013, 19eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
21 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
2221fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
24 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
25 1p1e2 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  +  1 )  =  2
2624, 25syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
2726fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
2823, 27preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
2922, 28eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
30 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  2  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
2 ) )
3130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  2  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  2 )
) )
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
2 ) )
33 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
34 2p1e3 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  +  1 )  =  3
3533, 34syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  2  ->  (
k  +  1 )  =  3 )
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  2  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
3 ) )
3732, 36preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  2  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) } )
3831, 37eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  2  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  2
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 3 ) } ) )
3920, 29, 38raltpg 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } ) ) )
409, 10, 11, 39mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } ) )
418, 40bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
2 ) )  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  3 ) } ) )
42 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P `  3 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) } )
4342eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) } )
4443eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
3 ) }  <->  ( E `  ( F `  2
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 0 ) } ) )
45443anbi3d 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } ) ) )
46 3pos 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <  3
47 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0  <  ( # `  F
)  <->  0  <  3
) )
4846, 47mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  0  <  ( # `  F
) )
49 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  e.  NN0
5048, 49jctil 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0  e.  NN0  /\  0  <  ( # `  F
) ) )
51 nvnencycllem 25450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  0  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  e.  ran  E ) )
5250, 51sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E ) )
53 1lt3 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  <  3
54 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
1  <  ( # `  F
)  <->  1  <  3
) )
5553, 54mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  1  <  ( # `  F
) )
56 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  NN0
5755, 56jctil 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
1  e.  NN0  /\  1  <  ( # `  F
) ) )
58 nvnencycllem 25450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 1  e. 
NN0  /\  1  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  e.  ran  E ) )
5957, 58sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  ->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E ) )
60 2lt3 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  2  <  3
61 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
2  <  ( # `  F
)  <->  2  <  3
) )
6260, 61mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  2  <  ( # `  F
) )
63 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  NN0
6462, 63jctil 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
2  e.  NN0  /\  2  <  ( # `  F
) ) )
65 nvnencycllem 25450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( 2  e. 
NN0  /\  2  <  (
# `  F )
) )  ->  (
( E `  ( F `  2 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  ->  { ( P `  2
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
6664, 65sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
2 ) )  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )
6752, 59, 663anim123d 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( Fun  E  /\  F  e. Word  dom  E )  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
6867adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F ) )  /\  ( # `  F )  =  3 )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
6968imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
) )  /\  ( # `
 F )  =  3 )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )
70 3z 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  3  e.  ZZ
71 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  3  e.  ( ZZ>= `  3 )
73 4fvwrd4 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
7472, 73mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  ( ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b )  /\  (
( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) ) )
75 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d )  -> 
( P `  2
)  =  c )
7675anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( ( P `  0 )  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( P `  2 )  =  c ) )
77 df-3an 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  <->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  /\  ( P `  2 )  =  c ) )
7876, 77sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b  /\  ( P `
 2 )  =  c ) )
7978rexlimivw 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. d  e.  V  ( ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  a  /\  ( P `
 1 )  =  b  /\  ( P `
 2 )  =  c ) )
8079reximi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
8180reximi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
8281reximi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  E. d  e.  V  (
( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b )  /\  ( ( P `  2 )  =  c  /\  ( P `  3 )  =  d ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
8374, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( ( P ` 
0 )  =  a  /\  ( P ` 
1 )  =  b  /\  ( P ` 
2 )  =  c ) )
84 preq12 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =  { a ,  b } )
85843adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =  { a ,  b } )
8685eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  e.  ran  E  <->  { a ,  b }  e.  ran  E
) )
87 preq12 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  1
)  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { b ,  c } )
88873adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  =  { b ,  c } )
8988eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  e.  ran  E  <->  { b ,  c }  e.  ran  E
) )
90 preq12 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  2
)  =  c  /\  ( P `  0 )  =  a )  ->  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  =  { c ,  a } )
9190ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  =  { c ,  a } )
92913adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  =  { c ,  a } )
9392eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E  <->  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
9486, 89, 933anbi123d 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  <->  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )
9594biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  -> 
( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )
9695reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E. c  e.  V  (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
9796reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
9897reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  e.  ran  E  /\  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  (
( P `  0
)  =  a  /\  ( P `  1 )  =  b  /\  ( P `  2 )  =  c )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) )
9969, 83, 98syl2im 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Fun  E  /\  ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
) )  /\  ( # `
 F )  =  3 )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } ) )  ->  ( P :
( 0 ... 3
) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )
10099exp41 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
E  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( # `  F )  =  3  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
101100com14 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( # `  F )  =  3  ->  ( Fun  E  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
102101com35 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  0
) } )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
10345, 102syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
3 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
104103com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  3 )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
105104com24 89 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  /\  ( E `  ( F `  2 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  3
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 3 ) --> V  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
10641, 105sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( P : ( 0 ... 3 ) --> V  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
107106com13 82 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  ->  ( P :
( 0 ... 3
) --> V  ->  ( A. k  e.  (
0..^ 3 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
1081073imp 1224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... 3
) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
109108com14 90 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 3 )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
110 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  3 ) )
111110eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  3
) ) )
112 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 3 ) )
113112feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 3
) --> V ) )
114 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 3 ) )
115114raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) )
116113, 1153anbi23d 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
117116imbi1d 324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
118117imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) )  <->  ( Fun  E  ->  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F )  /\  P : ( 0 ... 3 ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ 3 ) ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
119109, 111, 1183imtr4d 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  3  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( Fun  E  ->  ( (
( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
120119com14 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  -> 
( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
1211202a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. Word  dom  E  /\  Fun  `' F
)  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  ->  (
( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) )
1226, 121syl6bi 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( P
" { 0 ,  ( # `  F
) } )  i^i  ( P " (
1..^ ( # `  F
) ) ) )  =  (/)  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) ) ) )
1231223impd 1247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
1245, 123sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 F ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) ) )
125124impd 438 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Paths  E
) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `
 F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( {
a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E ) ) ) ) )
1264, 125sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
1271263adant1 1048 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F
)  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) ) )
1283, 127mpcom 36 . . 3  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( Fun  E  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
129128com12 31 . 2  |-  ( Fun 
E  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( ( # `  F )  =  3  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) ) ) )
1301293imp 1224 1  |-  ( ( Fun  E  /\  F
( V Cycles  E ) P  /\  ( # `  F
)  =  3 )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { a ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  a }  e.  ran  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {cpr 3961   {ctp 3963   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693   2c2 10681   3c3 10682   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   Walks cwalk 25305   Trails ctrail 25306   Paths cpath 25307   Cycles ccycl 25314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-wlk 25315  df-trail 25316  df-pth 25317  df-cycl 25320
This theorem is referenced by:  3v3e3cycl  25472
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