Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3v3e3cycl Structured version   Unicode version

Theorem 3v3e3cycl 25082
 Description: If and only if there is a 3-cycle in a graph, there are three (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3v3e3cycl USGrph Cycles
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,

Proof of Theorem 3v3e3cycl
StepHypRef Expression
1 usgrafun 24766 . . 3 USGrph
2 19.41vv 1796 . . . . 5 Cycles Cycles
3 simpr 459 . . . . . . 7 Cycles
4 simpll 752 . . . . . . 7 Cycles Cycles
5 simplr 754 . . . . . . 7 Cycles
6 3v3e3cycl1 25061 . . . . . . 7 Cycles
73, 4, 5, 6syl3anc 1230 . . . . . 6 Cycles
87exlimivv 1744 . . . . 5 Cycles
92, 8sylbir 213 . . . 4 Cycles
109expcom 433 . . 3 Cycles
111, 10syl 17 . 2 USGrph Cycles
12 3v3e3cycl2 25081 . 2 USGrph Cycles
1311, 12impbid 190 1 USGrph Cycles
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405  wex 1633   wcel 1842  wrex 2755  cpr 3974   class class class wbr 4395   crn 4824   wfun 5563  cfv 5569  (class class class)co 6278  c3 10627  chash 12452   USGrph cusg 24747   Cycles ccycl 24924 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-usgra 24750  df-wlk 24925  df-trail 24926  df-pth 24927  df-cycl 24930 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator