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Theorem 3reeanv 3035
Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
3reeanv  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Distinct variable groups:    ph, y, z    ps, x, z    ch, x, y    y, A    x, B, z    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( z)    A( x, z)    B( y)    C( z)

Proof of Theorem 3reeanv
StepHypRef Expression
1 r19.41v 3019 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\ 
ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
2 reeanv 3034 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  <->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps ) )
32anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
41, 3bitri 249 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
5 df-3an 975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
652rexbii 2970 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
7 reeanv 3034 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  (
( ph  /\  ps )  /\  ch )  <->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
86, 7bitri 249 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
98rexbii 2969 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
10 df-3an 975 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
114, 9, 103bitr4i 277 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   E.wrex 2818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-3an 975  df-ex 1597  df-nf 1600  df-ral 2822  df-rex 2823
This theorem is referenced by:  imasmnd2  15830  imasgrp2  16057  imasring  17140  axeuclid  24089  lshpkrlem6  34313
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