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Theorem 3reeanv 2887
Description: Rearrange three existential quantifiers. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
3reeanv  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Distinct variable groups:    ph, y, z    ps, x, z    ch, x, y    y, A    x, B, z    x, C, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( z)    A( x, z)    B( y)    C( z)

Proof of Theorem 3reeanv
StepHypRef Expression
1 r19.41v 2871 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\ 
ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
2 reeanv 2886 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  <->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps ) )
32anbi1i 690 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
41, 3bitri 249 . 2  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph  /\ 
E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
5 df-3an 962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
652rexbii 2740 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ( ph  /\  ps )  /\  ch )
)
7 reeanv 2886 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  (
( ph  /\  ps )  /\  ch )  <->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
86, 7bitri 249 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
98rexbii 2738 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ( ph  /\  ps )  /\  E. z  e.  C  ch ) )
10 df-3an 962 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps  /\  E. z  e.  C  ch )  <->  ( ( E. x  e.  A  ph 
/\  E. y  e.  B  ps )  /\  E. z  e.  C  ch )
)
114, 9, 103bitr4i 277 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  E. z  e.  C  ( ph  /\  ps  /\  ch ) 
<->  ( E. x  e.  A  ph  /\  E. y  e.  B  ps  /\ 
E. z  e.  C  ch ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960   E.wrex 2714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-rex 2719
This theorem is referenced by:  imasmnd2  15454  imasgrp2  15663  imasrng  16701  axeuclid  23144  lshpkrlem6  32482
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