Theorem 3prm 14246

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	|- 3 e. Prime

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 10918	. . 3 |- 3 e. ZZ
2		1lt3 10725	. . 3 |- 1 < 3
3		eluz2b1 11178	. . 3 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 1 < 3 ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 920	. 2 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
5		elfz1eq 11722	. . . . 5 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> z = 2 )
6		2z 10917	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
7		iddvds 14009	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 2 )
8		2nn 10714	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
9		1lt2 10723	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
10		ndvdsp1 14079	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) ) )
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1324	. . . . . . . 8 |- ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) )
12	6, 7, 11	mp2b 10	. . . . . . 7 |- -. 2 || ( 2 + 1 )
13		df-3 10616	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
14	13	breq2i 4464	. . . . . . 7 |- ( 2 || 3 <-> 2 || ( 2 + 1 ) )
15	12, 14	mtbir 299	. . . . . 6 |- -. 2 || 3
16		breq1 4459	. . . . . 6 |- ( z = 2 -> ( z || 3 <-> 2 || 3 ) )
17	15, 16	mtbiri 303	. . . . 5 |- ( z = 2 -> -. z || 3 )
18	5, 17	syl 16	. . . 4 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> -. z || 3 )
19		3m1e2 10673	. . . . 5 |- ( 3 - 1 ) = 2
20	19	oveq2i 6307	. . . 4 |- ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 2 ... 2 )
21	18, 20	eleq2s 2565	. . 3 |- ( z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -> -. z || 3 )
22	21	rgen 2817	. 2 |- A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3
23		isprm3 14238	. 2 |- ( 3 e. Prime <-> ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3 ) )
24	4, 22, 23	mpbir2an 920	1 |- 3 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   || cdvds 13998   Primecprime 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230

This theorem is referenced by:  4001lem4  14638  lt6abl  17024  ppi3  23571  cht3  23573  bpos1  23684  3lcm2e6  31423  zlmodzxznm  33242