MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3prm Structured version   Unicode version

Theorem 3prm 14246
Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
3prm  |-  3  e.  Prime

Proof of Theorem 3prm
StepHypRef Expression
1 3z 10918 . . 3  |-  3  e.  ZZ
2 1lt3 10725 . . 3  |-  1  <  3
3 eluz2b1 11178 . . 3  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  1  <  3 ) )
41, 2, 3mpbir2an 920 . 2  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 elfz1eq 11722 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  z  =  2 )
6 2z 10917 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
7 iddvds 14009 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
8 2nn 10714 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
9 1lt2 10723 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
10 ndvdsp1 14079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) ) )
116, 8, 9, 10mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  2  ->  -.  2  ||  ( 2  +  1 ) )
126, 7, 11mp2b 10 . . . . . . 7  |-  -.  2  ||  ( 2  +  1 )
13 df-3 10616 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
1413breq2i 4464 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  <->  2  ||  ( 2  +  1 ) )
1512, 14mtbir 299 . . . . . 6  |-  -.  2  ||  3
16 breq1 4459 . . . . . 6  |-  ( z  =  2  ->  (
z  ||  3  <->  2  ||  3 ) )
1715, 16mtbiri 303 . . . . 5  |-  ( z  =  2  ->  -.  z  ||  3 )
185, 17syl 16 . . . 4  |-  ( z  e.  ( 2 ... 2 )  ->  -.  z  ||  3 )
19 3m1e2 10673 . . . . 5  |-  ( 3  -  1 )  =  2
2019oveq2i 6307 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 2 ... 2
)
2118, 20eleq2s 2565 . . 3  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  ->  -.  z  ||  3 )
2221rgen 2817 . 2  |-  A. z  e.  ( 2 ... (
3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
23 isprm3 14238 . 2  |-  ( 3  e.  Prime  <->  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( 3  -  1 ) )  -.  z  ||  3
) )
244, 22, 23mpbir2an 920 1  |-  3  e.  Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697    || cdvds 13998   Primecprime 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230
This theorem is referenced by:  4001lem4  14638  lt6abl  17024  ppi3  23571  cht3  23573  bpos1  23684  3lcm2e6  31423  zlmodzxznm  33242
  Copyright terms: Public domain W3C validator