Theorem 3prm 13780

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	|- 3 e. Prime

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 7184	. . 3 |- 3 e. NN
2		nnz 7362	. . 3 |- (3 e. NN -> 3 e. ZZ)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- 3 e. ZZ
4		1lt3 7214	. 2 |- 1 < 3
5		df-3 7155	. . . . . . . 8 |- 3 = (2 + 1)
6	5	eqcomi 1888	. . . . . . 7 |- (2 + 1) = 3
7		nncn 7113	. . . . . . . . 9 |- (3 e. NN -> 3 e. CC)
8	1, 7	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
9		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
10		2cn 7164	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
11	8, 9, 10	subadd2i 6530	. . . . . . 7 |- ((3 - 1) = 2 <-> (2 + 1) = 3)
12	6, 11	mpbir 207	. . . . . 6 |- (3 - 1) = 2
13	12	opreq2i 4893	. . . . 5 |- (2...(3 - 1)) = (2...2)
14	13	eleq2i 1961	. . . 4 |- (z e. (2...(3 - 1)) <-> z e. (2...2))
15		2z 7369	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
16		iddvds 13668	. . . . . . . . 9 |- (2 e. ZZ -> 2||2)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- 2||2
18		2nn 7183	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
19		1lt2 7212	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
20		ndvdsp1 13712	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2) -> (2||2 -> -. 2||(2 + 1)))
21	15, 18, 19, 20	mp3an 1191	. . . . . . . 8 |- (2||2 -> -. 2||(2 + 1))
22	17, 21	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- -. 2||(2 + 1)
23	5	breq2i 3346	. . . . . . 7 |- (2||3 <-> 2||(2 + 1))
24	22, 23	mtbir 209	. . . . . 6 |- -. 2||3
25		breq1 3341	. . . . . 6 |- (z = 2 -> (z||3 <-> 2||3))
26	24, 25	mtbiri 785	. . . . 5 |- (z = 2 -> -. z||3)
27		elfz1eq 7662	. . . . . . 7 |- (z e. (2...2) -> z = 2)
28		elfz3 7661	. . . . . . . . 9 |- (2 e. ZZ -> 2 e. (2...2))
29	15, 28	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- 2 e. (2...2)
30		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (z = 2 -> (z e. (2...2) <-> 2 e. (2...2)))
31	29, 30	mpbiri 211	. . . . . . 7 |- (z = 2 -> z e. (2...2))
32	27, 31	impbii 174	. . . . . 6 |- (z e. (2...2) <-> z = 2)
33	32	imbi1i 203	. . . . 5 |- ((z e. (2...2) -> -. z||3) <-> (z = 2 -> -. z||3))
34	26, 33	mpbir 207	. . . 4 |- (z e. (2...2) -> -. z||3)
35	14, 34	sylbi 216	. . 3 |- (z e. (2...(3 - 1)) -> -. z||3)
36	35	rgen 2159	. 2 |- A.z e. (2...(3 - 1)) -. z||3
37		isprm3 13776	. . 3 |- (3 e. Prime <-> (3 e. ZZ /\ 1 < 3 /\ A.z e. (2...(3 - 1)) -. z||3))
38	37	biimpri 169	. 2 |- ((3 e. ZZ /\ 1 < 3 /\ A.z e. (2...(3 - 1)) -. z||3) -> 3 e. Prime)
39	3, 4, 36, 38	mp3an 1191	1 |- 3 e. Prime

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  3c3 7146  ...cfz 7637  ||cdivides 13662  Primecprime 13766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-divides 13663  df-prime 13767

Copyright terms: Public domain