Theorem 3prm 14641

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	|- 3 e. Prime

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 10970	. . 3 |- 3 e. ZZ
2		1lt3 10778	. . 3 |- 1 < 3
3		eluz2b1 11230	. . 3 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 1 < 3 ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 931	. 2 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
5		elfz1eq 11810	. . . . 5 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> z = 2 )
6		2z 10969	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
7		iddvds 14316	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> 2 || 2 )
8		2nn 10767	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
9		1lt2 10776	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
10		ndvdsp1 14390	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) ) )
11	6, 8, 9, 10	mp3an 1364	. . . . . . . 8 |- ( 2 || 2 -> -. 2 || ( 2 + 1 ) )
12	6, 7, 11	mp2b 10	. . . . . . 7 |- -. 2 || ( 2 + 1 )
13		df-3 10669	. . . . . . . 8 |- 3 = ( 2 + 1 )
14	13	breq2i 4410	. . . . . . 7 |- ( 2 || 3 <-> 2 || ( 2 + 1 ) )
15	12, 14	mtbir 301	. . . . . 6 |- -. 2 || 3
16		breq1 4405	. . . . . 6 |- ( z = 2 -> ( z || 3 <-> 2 || 3 ) )
17	15, 16	mtbiri 305	. . . . 5 |- ( z = 2 -> -. z || 3 )
18	5, 17	syl 17	. . . 4 |- ( z e. ( 2 ... 2 ) -> -. z || 3 )
19		3m1e2 10726	. . . . 5 |- ( 3 - 1 ) = 2
20	19	oveq2i 6301	. . . 4 |- ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 2 ... 2 )
21	18, 20	eleq2s 2547	. . 3 |- ( z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -> -. z || 3 )
22	21	rgen 2747	. 2 |- A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3
23		isprm3 14633	. 2 |- ( 3 e. Prime <-> ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( 3 - 1 ) ) -. z || 3 ) )
24	4, 22, 23	mpbir2an 931	1 |- 3 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   || cdvds 14305   Primecprime 14622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-prm 14623

This theorem is referenced by:  3lcm2e6  14681  prmo3  14999  4001lem4  15115  lt6abl  17529  ppi3  24098  cht3  24100  bpos1  24211  6gbe  38872  7gbo  38873  8gbe  38874  9gboa  38875  11gboa  38876  bgoldbwt  38878  bgoldbst  38879  nnsum3primesle9  38889  nnsum4primeseven  38895  nnsum4primesevenALTV  38896  zlmodzxznm  40343