Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Unicode version

Theorem 3polN 33397
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
3polN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 32840 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2polss.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atssbase 32772 . . . . 5  |-  A  C_  ( Base `  K )
5 sstr 3472 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  A  /\  A  C_  ( Base `  K
) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
64, 5mpan2 675 . . . 4  |-  ( S 
C_  A  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
7 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
82, 7clatlubcl 16343 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
91, 6, 8syl2an 479 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
10 eqid 2422 . . . 4  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
11 eqid 2422 . . . 4  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
12 2polss.p . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
132, 10, 11, 12polpmapN 33393 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
149, 13syldan 472 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
157, 3, 11, 122polvalN 33395 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
1615fveq2d 5881 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) ) )
177, 10, 3, 11, 12polval2N 33387 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) ) )
1814, 16, 173eqtr4d 2473 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    C_ wss 3436   ` cfv 5597   Basecbs 15106   occoc 15183   lubclub 16172   CLatccla 16338   Atomscatm 32745   HLchlt 32832   pmapcpmap 32978   _|_PcpolN 33383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-riotaBAD 32441
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-undef 7024  df-preset 16158  df-poset 16176  df-plt 16189  df-lub 16205  df-glb 16206  df-join 16207  df-meet 16208  df-p0 16270  df-p1 16271  df-lat 16277  df-clat 16339  df-oposet 32658  df-ol 32660  df-oml 32661  df-covers 32748  df-ats 32749  df-atl 32780  df-cvlat 32804  df-hlat 32833  df-pmap 32985  df-polarityN 33384
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  33399  2pmaplubN  33407  pmapocjN  33411  poml5N  33435
  Copyright terms: Public domain W3C validator