Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Unicode version

Theorem 3polN 33879
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
3polN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 33322 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2polss.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atssbase 33254 . . . . 5  |-  A  C_  ( Base `  K )
5 sstr 3467 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  A  /\  A  C_  ( Base `  K
) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
64, 5mpan2 671 . . . 4  |-  ( S 
C_  A  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
7 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
82, 7clatlubcl 15396 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
91, 6, 8syl2an 477 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
10 eqid 2452 . . . 4  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
11 eqid 2452 . . . 4  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
12 2polss.p . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
132, 10, 11, 12polpmapN 33875 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
149, 13syldan 470 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
157, 3, 11, 122polvalN 33877 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
1615fveq2d 5798 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) ) )
177, 10, 3, 11, 12polval2N 33869 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) ) )
1814, 16, 173eqtr4d 2503 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   ` cfv 5521   Basecbs 14287   occoc 14360   lubclub 15226   CLatccla 15391   Atomscatm 33227   HLchlt 33314   pmapcpmap 33460   _|_PcpolN 33865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-riotaBAD 32923
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-undef 6897  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-pmap 33467  df-polarityN 33866
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  33881  2pmaplubN  33889  pmapocjN  33893  poml5N  33917
  Copyright terms: Public domain W3C validator