Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Unicode version

Theorem 3polN 36056
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
3polN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 35499 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2polss.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atssbase 35431 . . . . 5  |-  A  C_  ( Base `  K )
5 sstr 3497 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  A  /\  A  C_  ( Base `  K
) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
64, 5mpan2 669 . . . 4  |-  ( S 
C_  A  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
82, 7clatlubcl 15944 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
91, 6, 8syl2an 475 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
10 eqid 2454 . . . 4  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
12 2polss.p . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
132, 10, 11, 12polpmapN 36052 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
149, 13syldan 468 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
157, 3, 11, 122polvalN 36054 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
1615fveq2d 5852 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) ) )
177, 10, 3, 11, 12polval2N 36046 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) ) )
1814, 16, 173eqtr4d 2505 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   ` cfv 5570   Basecbs 14719   occoc 14795   lubclub 15773   CLatccla 15939   Atomscatm 35404   HLchlt 35491   pmapcpmap 35637   _|_PcpolN 36042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-riotaBAD 35100
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-undef 6994  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-p1 15872  df-lat 15878  df-clat 15940  df-oposet 35317  df-ol 35319  df-oml 35320  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492  df-pmap 35644  df-polarityN 36043
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  36058  2pmaplubN  36066  pmapocjN  36070  poml5N  36094
  Copyright terms: Public domain W3C validator