Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3polN Structured version   Unicode version

Theorem 3polN 33282
Description: Triple polarity cancels to a single polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
Assertion
Ref Expression
3polN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )

Proof of Theorem 3polN
StepHypRef Expression
1 hlclat 32725 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
2 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2polss.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atssbase 32657 . . . . 5  |-  A  C_  ( Base `  K )
5 sstr 3361 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  A  /\  A  C_  ( Base `  K
) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
64, 5mpan2 666 . . . 4  |-  ( S 
C_  A  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
7 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
82, 7clatlubcl 15278 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
91, 6, 8syl2an 474 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
10 eqid 2441 . . . 4  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
11 eqid 2441 . . . 4  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
12 2polss.p . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_P `  K
)
132, 10, 11, 12polpmapN 33278 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
149, 13syldan 467 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
) ) )
157, 3, 11, 122polvalN 33280 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
1615fveq2d 5692 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
) ) )
177, 10, 3, 11, 12polval2N 33272 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) ) )
1814, 16, 173eqtr4d 2483 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  =  ( 
._|_  `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   ` cfv 5415   Basecbs 14170   occoc 14242   lubclub 15108   CLatccla 15273   Atomscatm 32630   HLchlt 32717   pmapcpmap 32863   _|_PcpolN 33268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-riotaBAD 32326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-undef 6788  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-p1 15206  df-lat 15212  df-clat 15274  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718  df-pmap 32870  df-polarityN 33269
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  33284  2pmaplubN  33292  pmapocjN  33296  poml5N  33320
  Copyright terms: Public domain W3C validator