Theorem 3oalem2 11243

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	|- B e. CH
3oalem1.2	|- C e. CH
3oalem1.3	|- R e. CH
3oalem1.4	|- S e. CH

Assertion

Ref	Expression
3oalem2	|- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> v e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,B   x,C,y,z,w,v   x,R,y,z,w,v   x,S,y,z,w,v

Proof of Theorem 3oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 452	. . 3 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> x e. B)
2		elin 2786	. . . 4 |- (y e. (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))) <-> (y e. R /\ y e. (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))))
3		simpllr 453	. . . 4 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> y e. R)
4		3oalem1.1	. . . . . . 7 |- B e. CH
5		3oalem1.2	. . . . . . 7 |- C e. CH
6		3oalem1.3	. . . . . . 7 |- R e. CH
7		3oalem1.4	. . . . . . 7 |- S e. CH
8	4, 5, 6, 7	3oalem1 11242	. . . . . 6 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ v e. ~H) /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)))
9		hvaddsub12 10539	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H /\ w e. ~H) -> (y +h (w -h w)) = (w +h (y -h w)))
10	9	3anidm23 1156	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H) -> (y +h (w -h w)) = (w +h (y -h w)))
11		hvsubid 10527	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. ~H -> (w -h w) = 0h)
12	11	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- (w e. ~H -> (y +h (w -h w)) = (y +h 0h))
13		ax-hvaddid 10506	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ~H -> (y +h 0h) = y)
14	12, 13	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . 9 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H) -> (y +h (w -h w)) = y)
15	10, 14	eqtr3d 1927	. . . . . . . 8 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H) -> (w +h (y -h w)) = y)
16	15	ad2ant2l 444	. . . . . . 7 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> (w +h (y -h w)) = y)
17	16	adantlr 429	. . . . . 6 |- ((((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ v e. ~H) /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> (w +h (y -h w)) = y)
18	8, 17	syl 12	. . . . 5 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (w +h (y -h w)) = y)
19		simprlr 457	. . . . . 6 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> w e. S)
20		elin 2786	. . . . . . 7 |- ((y -h w) e. ((B +H C) i^i (R +H S)) <-> ((y -h w) e. (B +H C) /\ (y -h w) e. (R +H S)))
21		eqtr2 1905	. . . . . . . . . . 11 |- ((v = (x +h y) /\ v = (z +h w)) -> (x +h y) = (z +h w))
22	21	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- ((v = (x +h y) /\ v = (z +h w)) -> ((x +h y) -h (x +h w)) = ((z +h w) -h (x +h w)))
23	22	ad2ant2l 444	. . . . . . . . 9 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> ((x +h y) -h (x +h w)) = ((z +h w) -h (x +h w)))
24		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> x e. ~H)
25	24	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> (x e. ~H /\ w e. ~H))
26		hvsub4 10538	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ (x e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((x +h y) -h (x +h w)) = ((x -h x) +h (y -h w)))
27	25, 26	syldan 516	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x +h y) -h (x +h w)) = ((x -h x) +h (y -h w)))
28		hvsubid 10527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ~H -> (x -h x) = 0h)
29	28	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> (x -h x) = 0h)
30	29	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x -h x) +h (y -h w)) = (0h +h (y -h w)))
31		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H) -> (y -h w) e. ~H)
32		hvaddid2 10524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y -h w) e. ~H -> (0h +h (y -h w)) = (y -h w))
33	31, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. ~H /\ w e. ~H) -> (0h +h (y -h w)) = (y -h w))
34	33	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> (0h +h (y -h w)) = (y -h w))
35	27, 30, 34	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ w e. ~H) -> ((x +h y) -h (x +h w)) = (y -h w))
36	35	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ v e. ~H) /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((x +h y) -h (x +h w)) = (y -h w))
37	8, 36	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> ((x +h y) -h (x +h w)) = (y -h w))
38		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> (z e. ~H /\ w e. ~H))
39		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. ~H /\ w e. ~H) -> w e. ~H)
40	39	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> (x e. ~H /\ w e. ~H))
41		hvsub4 10538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((z e. ~H /\ w e. ~H) /\ (x e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((z +h w) -h (x +h w)) = ((z -h x) +h (w -h w)))
42	38, 40, 41	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((z +h w) -h (x +h w)) = ((z -h x) +h (w -h w)))
43	11	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> (w -h w) = 0h)
44	43	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((z -h x) +h (w -h w)) = ((z -h x) +h 0h))
45		hvsubcl 10519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. ~H /\ x e. ~H) -> (z -h x) e. ~H)
46		ax-hvaddid 10506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z -h x) e. ~H -> ((z -h x) +h 0h) = (z -h x))
47	45, 46	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. ~H /\ x e. ~H) -> ((z -h x) +h 0h) = (z -h x))
48	47	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ~H /\ z e. ~H) -> ((z -h x) +h 0h) = (z -h x))
49	48	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((z -h x) +h 0h) = (z -h x))
50	42, 44, 49	3eqtrd 1929	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((z +h w) -h (x +h w)) = (z -h x))
51	50	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((z +h w) -h (x +h w)) = (z -h x))
52	51	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. ~H /\ y e. ~H) /\ v e. ~H) /\ (z e. ~H /\ w e. ~H)) -> ((z +h w) -h (x +h w)) = (z -h x))
53	8, 52	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> ((z +h w) -h (x +h w)) = (z -h x))
54	23, 37, 53	3eqtr3d 1934	. . . . . . . 8 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (y -h w) = (z -h x))
55	5	chshii 10730	. . . . . . . . . . 11 |- C e. SH
56	4	chshii 10730	. . . . . . . . . . 11 |- B e. SH
57	55, 56	shsvsi 10969	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ x e. B) -> (z -h x) e. (C +H B))
58		ancom 482	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. B /\ z e. C) <-> (z e. C /\ x e. B))
59	56, 55	shscomi 10965	. . . . . . . . . . 11 |- (B +H C) = (C +H B)
60	59	eleq2i 1961	. . . . . . . . . 10 |- ((z -h x) e. (B +H C) <-> (z -h x) e. (C +H B))
61	57, 58, 60	3imtr4i 236	. . . . . . . . 9 |- ((x e. B /\ z e. C) -> (z -h x) e. (B +H C))
62		simpll 448	. . . . . . . . 9 |- (((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) -> x e. B)
63		simpll 448	. . . . . . . . 9 |- (((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w)) -> z e. C)
64	61, 62, 63	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (z -h x) e. (B +H C))
65	54, 64	eqeltrd 1971	. . . . . . 7 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (y -h w) e. (B +H C))
66	6	chshii 10730	. . . . . . . . 9 |- R e. SH
67	7	chshii 10730	. . . . . . . . 9 |- S e. SH
68	66, 67	shsvsi 10969	. . . . . . . 8 |- ((y e. R /\ w e. S) -> (y -h w) e. (R +H S))
69		simplr 449	. . . . . . . 8 |- (((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) -> y e. R)
70		simplr 449	. . . . . . . 8 |- (((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w)) -> w e. S)
71	68, 69, 70	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (y -h w) e. (R +H S))
72	20, 65, 71	sylanbrc 527	. . . . . 6 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (y -h w) e. ((B +H C) i^i (R +H S)))
73	56, 55	shscli 10914	. . . . . . . 8 |- (B +H C) e. SH
74	66, 67	shscli 10914	. . . . . . . 8 |- (R +H S) e. SH
75	73, 74	shincli 10964	. . . . . . 7 |- ((B +H C) i^i (R +H S)) e. SH
76	67, 75	shsvai 10966	. . . . . 6 |- ((w e. S /\ (y -h w) e. ((B +H C) i^i (R +H S))) -> (w +h (y -h w)) e. (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))
77	19, 72, 76	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (w +h (y -h w)) e. (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))
78	18, 77	eqeltrrd 1972	. . . 4 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> y e. (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))
79	2, 3, 78	sylanbrc 527	. . 3 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> y e. (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))))
80	67, 75	shscli 10914	. . . . 5 |- (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))) e. SH
81	66, 80	shincli 10964	. . . 4 |- (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))) e. SH
82	56, 81	shsvai 10966	. . 3 |- ((x e. B /\ y e. (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) -> (x +h y) e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))))
83	1, 79, 82	syl11anc 524	. 2 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (x +h y) e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))))
84		eleq1 1957	. . 3 |- (v = (x +h y) -> (v e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) <-> (x +h y) e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))))))
85	84	ad2antlr 441	. 2 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> (v e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))) <-> (x +h y) e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S)))))))
86	83, 85	mpbird 213	1 |- ((((x e. B /\ y e. R) /\ v = (x +h y)) /\ ((z e. C /\ w e. S) /\ v = (z +h w))) -> v e. (B +H (R i^i (S +H ((B +H C) i^i (R +H S))))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423   -h cmv 10424  CHcch 10430   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  3oalem3 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-ch 10725  df-shsum 10906

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