Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp4mod41 Structured version   Unicode version

Theorem 3exp4mod41 38672
Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
3exp4mod41  |-  ( ( 3 ^ 4 )  mod ; 4 1 )  =  ( -u 1  mod ; 4 1 )

Proof of Theorem 3exp4mod41
StepHypRef Expression
1 2p2e4 10729 . . . . . 6  |-  ( 2  +  2 )  =  4
21eqcomi 2436 . . . . 5  |-  4  =  ( 2  +  2 )
32oveq2i 6314 . . . 4  |-  ( 3 ^ 4 )  =  ( 3 ^ (
2  +  2 ) )
4 3cn 10686 . . . . 5  |-  3  e.  CC
5 2nn0 10888 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
6 expadd 12315 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( 3 ^ 2 )  x.  ( 3 ^ 2 ) ) )
74, 5, 5, 6mp3an 1361 . . . 4  |-  ( 3 ^ ( 2  +  2 ) )  =  ( ( 3 ^ 2 )  x.  (
3 ^ 2 ) )
8 sq3 12373 . . . . . 6  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
98, 8oveq12i 6315 . . . . 5  |-  ( ( 3 ^ 2 )  x.  ( 3 ^ 2 ) )  =  ( 9  x.  9 )
10 9t9e81 11155 . . . . 5  |-  ( 9  x.  9 )  = ; 8
1
119, 10eqtri 2452 . . . 4  |-  ( ( 3 ^ 2 )  x.  ( 3 ^ 2 ) )  = ; 8
1
123, 7, 113eqtri 2456 . . 3  |-  ( 3 ^ 4 )  = ; 8
1
1312oveq1i 6313 . 2  |-  ( ( 3 ^ 4 )  mod ; 4 1 )  =  (; 8 1  mod ; 4 1 )
14 df-dec 11054 . . . 4  |- ; 8 1  =  ( ( 10  x.  8 )  +  1 )
15 4cn 10689 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
16 2cn 10682 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
17 4t2e8 10765 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
1815, 16, 17mulcomli 9652 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
1918eqcomi 2436 . . . . . . 7  |-  8  =  ( 2  x.  4 )
2019oveq2i 6314 . . . . . 6  |-  ( 10  x.  8 )  =  ( 10  x.  (
2  x.  4 ) )
21 ax-1cn 9599 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
2216, 21negsubi 9954 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  -u 1 )  =  ( 2  -  1 )
23 2m1e1 10726 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2422, 23eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( 2  +  -u 1 )  =  1
2524eqcomi 2436 . . . . . 6  |-  1  =  ( 2  + 
-u 1 )
2620, 25oveq12i 6315 . . . . 5  |-  ( ( 10  x.  8 )  +  1 )  =  ( ( 10  x.  ( 2  x.  4 ) )  +  ( 2  +  -u 1
) )
27 10nn 10777 . . . . . . . 8  |-  10  e.  NN
2827nncni 10621 . . . . . . 7  |-  10  e.  CC
2916, 15mulcli 9650 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  4 )  e.  CC
3028, 29mulcli 9650 . . . . . 6  |-  ( 10  x.  ( 2  x.  4 ) )  e.  CC
31 neg1cn 10715 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
3230, 16, 31addassi 9653 . . . . 5  |-  ( ( ( 10  x.  (
2  x.  4 ) )  +  2 )  +  -u 1 )  =  ( ( 10  x.  ( 2  x.  4 ) )  +  ( 2  +  -u 1
) )
3328, 15mulcli 9650 . . . . . . . 8  |-  ( 10  x.  4 )  e.  CC
3416, 33, 21adddii 9655 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( 10  x.  4 )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( 10  x.  4 ) )  +  ( 2  x.  1 ) )
35 df-dec 11054 . . . . . . . . 9  |- ; 4 1  =  ( ( 10  x.  4 )  +  1 )
3635eqcomi 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( 10  x.  4 )  +  1 )  = ; 4
1
3736oveq2i 6314 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( 10  x.  4 )  +  1 ) )  =  ( 2  x. ; 4 1 )
3816, 28, 15mul12i 9830 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( 10  x.  4 ) )  =  ( 10  x.  (
2  x.  4 ) )
39 2t1e2 10760 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
4038, 39oveq12i 6315 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( 10  x.  4 ) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 10  x.  ( 2  x.  4 ) )  +  2 )
4134, 37, 403eqtr3ri 2461 . . . . . 6  |-  ( ( 10  x.  ( 2  x.  4 ) )  +  2 )  =  ( 2  x. ; 4 1 )
4241oveq1i 6313 . . . . 5  |-  ( ( ( 10  x.  (
2  x.  4 ) )  +  2 )  +  -u 1 )  =  ( ( 2  x. ; 4
1 )  +  -u
1 )
4326, 32, 423eqtr2i 2458 . . . 4  |-  ( ( 10  x.  8 )  +  1 )  =  ( ( 2  x. ; 4
1 )  +  -u
1 )
4414, 43eqtri 2452 . . 3  |- ; 8 1  =  ( ( 2  x. ; 4 1 )  + 
-u 1 )
4544oveq1i 6313 . 2  |-  (; 8 1  mod ; 4 1 )  =  ( ( ( 2  x. ; 4 1 )  + 
-u 1 )  mod ; 4 1 )
46 4nn0 10890 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
47 1nn 10622 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
4846, 47decnncl 11066 . . . . . . 7  |- ; 4 1  e.  NN
4948nncni 10621 . . . . . 6  |- ; 4 1  e.  CC
5016, 49mulcli 9650 . . . . 5  |-  ( 2  x. ; 4 1 )  e.  CC
5150, 31addcomi 9826 . . . 4  |-  ( ( 2  x. ; 4 1 )  + 
-u 1 )  =  ( -u 1  +  ( 2  x. ; 4 1 ) )
5251oveq1i 6313 . . 3  |-  ( ( ( 2  x. ; 4 1 )  + 
-u 1 )  mod ; 4 1 )  =  ( (
-u 1  +  ( 2  x. ; 4 1 ) )  mod ; 4 1 )
53 neg1rr 10716 . . . 4  |-  -u 1  e.  RR
54 nnrp 11313 . . . . 5  |-  (; 4 1  e.  NN  -> ; 4
1  e.  RR+ )
5548, 54ax-mp 5 . . . 4  |- ; 4 1  e.  RR+
56 2z 10971 . . . 4  |-  2  e.  ZZ
57 modcyc 12133 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\ ; 4
1  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  +  ( 2  x. ; 4 1 ) )  mod ; 4 1 )  =  ( -u 1  mod ; 4 1 ) )
5853, 55, 56, 57mp3an 1361 . . 3  |-  ( (
-u 1  +  ( 2  x. ; 4 1 ) )  mod ; 4 1 )  =  ( -u 1  mod ; 4 1 )
5952, 58eqtri 2452 . 2  |-  ( ( ( 2  x. ; 4 1 )  + 
-u 1 )  mod ; 4 1 )  =  ( -u
1  mod ; 4 1 )
6013, 45, 593eqtri 2456 1  |-  ( ( 3 ^ 4 )  mod ; 4 1 )  =  ( -u 1  mod ; 4 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    - cmin 9862   -ucneg 9863   NNcn 10611   2c2 10661   3c3 10662   4c4 10663   8c8 10667   9c9 10668   10c10 10669   NN0cn0 10871   ZZcz 10939  ;cdc 11053   RR+crp 11304    mod cmo 12097   ^cexp 12273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274
This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  38674
  Copyright terms: Public domain W3C validator