Theorem 3ecoptocl 5364

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	|- S = ((D X. D)/.R)
3ecoptocl.2	|- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
3ecoptocl.3	|- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
3ecoptocl.4	|- ([<.v, u>.]R = C -> (ch <-> th))
3ecoptocl.5	|- (((x e. D /\ y e. D) /\ (z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	|- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> th)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   z,B,w,v,u   v,C,u   x,D,y,z,w,v,u   z,S,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   ps,x,y   ch,z,w   th,v,u

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . 4 |- S = ((D X. D)/.R)
2		3ecoptocl.3	. . . . 5 |- ([<.z, w>.]R = B -> (ps <-> ch))
3	2	imbi2d 674	. . . 4 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((A e. S -> ps) <-> (A e. S -> ch)))
4		3ecoptocl.4	. . . . 5 |- ([<.v, u>.]R = C -> (ch <-> th))
5	4	imbi2d 674	. . . 4 |- ([<.v, u>.]R = C -> ((A e. S -> ch) <-> (A e. S -> th)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . 7 |- ([<.x, y>.]R = A -> (ph <-> ps))
7	6	imbi2d 674	. . . . . 6 |- ([<.x, y>.]R = A -> ((((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph) <-> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ps)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . 7 |- (((x e. D /\ y e. D) /\ (z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph)
9	8	3expib 1070	. . . . . 6 |- ((x e. D /\ y e. D) -> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ph))
10	1, 7, 9	ecoptocl 5362	. . . . 5 |- (A e. S -> (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> ps))
11	10	com12 14	. . . 4 |- (((z e. D /\ w e. D) /\ (v e. D /\ u e. D)) -> (A e. S -> ps))
12	1, 3, 5, 11	2ecoptocl 5363	. . 3 |- ((B e. S /\ C e. S) -> (A e. S -> th))
13	12	com12 14	. 2 |- (A e. S -> ((B e. S /\ C e. S) -> th))
14	13	3impib 1065	1 |- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> th)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984  [cec 5316  /.cqs 5317

This theorem is referenced by:  ecoprass 5379  ecoprdi 5380  ltsopq 6227  ltapq 6228  ltmpq 6229  ltsosr 6355  ltasr 6361

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-ec 5320  df-qs 5323

Copyright terms: Public domain