Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem3a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 3dimlem3a 33025
Description: Lemma for 3dim3 33034. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dimlem3a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  -.  T  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )

Proof of Theorem 3dimlem3a
StepHypRef Expression
1 simp31 1044 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S ) )
2 simp11 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 32929 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp13 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  Q  e.  A )
6 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 3dim0.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
86, 7atbase 32855 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
10 simp2l 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  R  e.  A )
116, 7atbase 32855 . . . . . 6  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
13 simp12 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  P  e.  A )
146, 7atbase 32855 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1513, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
16 3dim0.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
176, 16latjrot 16346 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
184, 9, 12, 15, 17syl13anc 1270 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
19 simp33 1046 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S ) )
20 simp2r 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  S  e.  A )
216, 16, 7hlatjcl 32932 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
222, 5, 10, 21syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
23 simp32 1045 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )
24 3dim0.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
256, 24, 16, 7hlexchb1 32949 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  ( P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )  <->  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S ) ) )
262, 13, 20, 22, 23, 25syl131anc 1281 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  ( P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  <->  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  =  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  S ) ) )
2719, 26mpbid 214 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S ) )
2818, 27eqtr3d 2487 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S ) )
2928breq2d 4414 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  ( T  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  T  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  S ) ) )
301, 29mtbird 303 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( -.  T  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  S )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  S )
) )  ->  -.  T  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   lecple 15197   joincjn 16189   Latclat 16291   Atomscatm 32829   HLchlt 32916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-preset 16173  df-poset 16191  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-lat 16292  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917
This theorem is referenced by:  3dimlem3  33026  3dim3  33034
  Copyright terms: Public domain W3C validator