Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Unicode version

Theorem 3dim3 33006
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
Distinct variable groups:    A, s    .\/ , s    .<_ , s    P, s    Q, s    R, s
Allowed substitution hint:    K( s)

Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim2 33005 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )
543adant3r1 1196 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )
6 simpl2l 1041 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  v  e.  A )
7 simp3l 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  R ) )
8 simp1l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  K  e.  HL )
9 simp1r2 1085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  Q  e.  A )
101, 3hlatjidm 32906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( Q  .\/  Q
)  =  Q )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( Q  .\/  Q )  =  Q )
1211oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  (
( Q  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R ) )
1312breq2d 4299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  (
v  .<_  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) )
147, 13mtbird 301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  -.  v  .<_  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R ) )
15 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  Q
) )
1615oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R ) )
1716breq2d 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  Q  ->  (
v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
1817notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  Q  ->  ( -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  v  .<_  ( ( Q  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
1918biimparc 487 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  v  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
2014, 19sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
21 breq1 4290 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
2221notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( s  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
2322rspcev 3068 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
246, 20, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
25 simp2l 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  v  e.  A )
2625ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  v  e.  A )
277ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  R ) )
281, 3hlatjass 32907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) ) )
29283ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) ) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) ) )
31 hllat 32901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
328, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  K  e.  Lat )
33 simp1r1 1084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  P  e.  A )
34 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3534, 3atbase 32827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3633, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
37 simp1r3 1086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  R  e.  A )
3834, 1, 3hlatjcl 32904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
398, 9, 37, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
4032, 36, 393jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )
4234, 2, 1latleeqj1 15225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( Q 
.\/  R ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( Q 
.\/  R ) ) )
4443biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( Q  .\/  R ) )
4530, 44eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R ) )
4645breq2d 4299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  (
v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  v  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) )
4727, 46mtbird 301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
4826, 47, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
49 simpl2r 1042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  w  e.  A )
5049ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  w  e.  A )
518, 33, 93jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
5251ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
5337, 25jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  ( R  e.  A  /\  v  e.  A )
)
5453ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  ( R  e.  A  /\  v  e.  A ) )
55 simpl3r 1044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  w  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )
57 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
) )
58 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
)
591, 2, 33dimlem3a 32997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( -.  w  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
6052, 54, 56, 57, 58, 59syl113anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
61 breq1 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
6261notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
6362rspcev 3068 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  A  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
6450, 60, 63syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
65 simpl2l 1041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  v  e.  A )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  -> 
v  e.  A )
6751ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
6853ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  -> 
( R  e.  A  /\  v  e.  A
) )
69 simpl3l 1043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  R ) )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
71 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
72 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) )
731, 2, 33dimlem4a 33000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
7467, 68, 70, 71, 72, 73syl113anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
7566, 74, 23syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  v ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
7664, 75pm2.61dan 789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
7748, 76pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  /\  ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  v ) ) )  /\  P  =/=  Q )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
7824, 77pm2.61dane 2684 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  /\  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
79783exp 1186 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( -.  v  .<_  ( Q 
.\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  v ) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) ) )
8079rexlimdvv 2842 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( -.  v  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  R
)  .\/  v )
)  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
815, 80mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. s  e.  A  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   lecple 14237   joincjn 15106   Latclat 15207   Atomscatm 32801   HLchlt 32888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-oposet 32714  df-ol 32716  df-oml 32717  df-covers 32804  df-ats 32805  df-atl 32836  df-cvlat 32860  df-hlat 32889
This theorem is referenced by:  lvolex3N  33075  dalem18  33218  dvh4dimat  34976
  Copyright terms: Public domain W3C validator