Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 3dim2 33104
Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, A    .\/ , r, s    .<_ , r, s    P, r, s    Q, r, s
Allowed substitution hints:    K( s, r)

Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim1 33103 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
543adant2 1049 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
6 simpl21 1108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  u  e.  A )
7 simpl22 1109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  v  e.  A )
8 simp31 1066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  Q  =/=  u )
98necomd 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  =/=  Q )
109adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  u  =/=  Q )
11 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  Q
) )
12 simp11 1060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  K  e.  HL )
13 simp13 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  Q  e.  A )
141, 3hlatjidm 33005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( Q  .\/  Q
)  =  Q )
1512, 13, 14syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  .\/  Q
)  =  Q )
1611, 15sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( P  .\/  Q )  =  Q )
1716breq2d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
u  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  u  .<_  Q ) )
1817notbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  u  .<_  Q ) )
19 hlatl 32997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  K  e.  AtLat )
21 simp21 1063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  e.  A )
222, 3atncmp 32949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  u  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  u  .<_  Q  <->  u  =/=  Q ) )
2320, 21, 13, 22syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( -.  u  .<_  Q  <-> 
u  =/=  Q ) )
2423adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  Q  <->  u  =/=  Q ) )
2518, 24bitrd 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  u  =/=  Q ) )
2610, 25mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) )
27 simpl32 1112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u ) )
2816oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  u )  =  ( Q  .\/  u ) )
2928breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  v  .<_  ( Q  .\/  u ) ) )
3027, 29mtbird 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u ) )
31 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
3231notbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
33 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  u  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u ) )
3433breq2d 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
3534notbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
3632, 35anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  u  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
37 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  v  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
3837notbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u )  <->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
3938anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  v  ->  (
( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
4036, 39rspc2ev 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
42 simp22 1064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
v  e.  A )
43 simp23 1065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  w  e.  A )
4442, 43jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( v  e.  A  /\  w  e.  A
) )
4544ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
46 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
47 simp32 1067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) )
48 simp33 1068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )
4921, 47, 483jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
5049ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
51 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  P  =/=  Q )
52 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )
531, 2, 33dimlem2 33095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
55 3simpc 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v ) )  ->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v ) ) )
57 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  v  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
5857notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  v  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
59 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  v  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  v ) )
6059breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )
6160notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
6258, 61anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  v  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  <->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) ) )
63 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  v )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )
6463notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
6564anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) )  <->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) ) )
6662, 65rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  A  /\  w  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
67663expa 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
6845, 56, 67syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
6921, 43jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  w  e.  A
) )
7069ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( u  e.  A  /\  w  e.  A ) )
71 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
7221, 42jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
738, 48jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
7471, 72, 733jca 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
7574ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
76 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  =/=  Q
)
77 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )
78 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )
791, 2, 33dimlem3 33097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) ) )
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
81 3simpc 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
83 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
8483notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
8584anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
8636, 85rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
87863expa 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
8870, 82, 87syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
8972ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
908, 47jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) )
9171, 72, 903jca 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) ) )
9291ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) ) )
93 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  P  =/=  Q )
94 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )
95 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )
961, 2, 33dimlem4 33100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
98 3simpc 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
100403expa 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10189, 99, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10288, 101pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10368, 102pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10441, 103pm2.61dane 2730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
1051043exp 1230 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) )
1061053expd 1250 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) ) ) )
107106imp32 440 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) )
108107rexlimdv 2870 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  ( E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) )
109108rexlimdvva 2878 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) )
1105, 109mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   lecple 15275   joincjn 16267   Atomscatm 32900   AtLatcal 32901   HLchlt 32987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988
This theorem is referenced by:  3dim3  33105  lhp2lt  33637
  Copyright terms: Public domain W3C validator