Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Structured version   Unicode version

Theorem 3dim2 35608
Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
Distinct variable groups:    s, r, A    .\/ , r, s    .<_ , r, s    P, r, s    Q, r, s
Allowed substitution hints:    K( s, r)

Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim1 35607 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
543adant2 1013 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
6 simpl21 1072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  u  e.  A )
7 simpl22 1073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  v  e.  A )
8 simp31 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  Q  =/=  u )
98necomd 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  =/=  Q )
109adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  u  =/=  Q )
11 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  Q
) )
12 simp11 1024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  K  e.  HL )
13 simp13 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  Q  e.  A )
141, 3hlatjidm 35509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( Q  .\/  Q
)  =  Q )
1512, 13, 14syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  .\/  Q
)  =  Q )
1611, 15sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( P  .\/  Q )  =  Q )
1716breq2d 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
u  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  u  .<_  Q ) )
1817notbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  u  .<_  Q ) )
19 hlatl 35501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  K  e.  AtLat )
21 simp21 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  e.  A )
222, 3atncmp 35453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  u  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  u  .<_  Q  <->  u  =/=  Q ) )
2320, 21, 13, 22syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( -.  u  .<_  Q  <-> 
u  =/=  Q ) )
2423adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  Q  <->  u  =/=  Q ) )
2518, 24bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  ( -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  u  =/=  Q ) )
2610, 25mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) )
27 simpl32 1076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u ) )
2816oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  u )  =  ( Q  .\/  u ) )
2928breq2d 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  (
v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  v  .<_  ( Q  .\/  u ) ) )
3027, 29mtbird 299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  -.  v  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u ) )
31 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
3231notbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
33 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  u  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u ) )
3433breq2d 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  u  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
3534notbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  u  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
3632, 35anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  u  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
37 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  v  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
3837notbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u )  <->  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
3938anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  v  ->  (
( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
4036, 39rspc2ev 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  Q )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
42 simp22 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
v  e.  A )
43 simp23 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  w  e.  A )
4442, 43jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( v  e.  A  /\  w  e.  A
) )
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  (
v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
46 simpll1 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A ) )
47 simp32 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) )
48 simp33 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )
4921, 47, 483jca 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
5049ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
51 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  P  =/=  Q )
52 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )
531, 2, 33dimlem2 35599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
55 3simpc 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v ) )  ->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  ( -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v ) ) )
57 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  v  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
5857notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  v  ->  ( -.  r  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
59 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  v  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  r )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  v ) )
6059breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  v  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )
6160notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  v  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
6258, 61anbi12d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  v  ->  (
( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) )  <->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) ) )
63 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  v )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )
6463notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  v )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )
6564anbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) )  <->  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) ) )
6662, 65rspc2ev 3218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  A  /\  w  e.  A  /\  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  v )
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
67663expa 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  v  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  v ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
6845, 56, 67syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
6921, 43jca 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  w  e.  A
) )
7069ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( u  e.  A  /\  w  e.  A ) )
71 simp1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)
7221, 42jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
738, 48jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
7471, 72, 733jca 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
7574ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
76 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  =/=  Q
)
77 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )
78 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )
791, 2, 33dimlem3 35601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) ) )
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
81 3simpc 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
83 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  w  ->  (
s  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  u )  <->  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )
8483notbid 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  w  ->  ( -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u )  <->  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
8584anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) )  <->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) ) )
8636, 85rspc2ev 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  u )
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
87863expa 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
8870, 82, 87syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
8972ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
908, 47jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) )
9171, 72, 903jca 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) ) )
9291ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) ) )
93 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  P  =/=  Q )
94 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u
) )
95 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )
961, 2, 33dimlem4 35604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u ) ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
98 3simpc 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  u ) )  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )
100403expa 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  u ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10189, 99, 100syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  /\  P  =/=  Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q 
.\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( Q  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10288, 101pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  /\  -.  P  .<_  ( Q  .\/  u ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10368, 102pm2.61dan 789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
10441, 103pm2.61dane 2772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
1051043exp 1193 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) )
1061053expd 1211 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) ) ) )
107106imp32 431 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) ) )
108107rexlimdv 2944 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )  ->  ( E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) )
109108rexlimdvva 2953 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( Q  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( Q  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( Q  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) ) )
1105, 109mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( -.  r  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   lecple 14794   joincjn 15775   Atomscatm 35404   AtLatcal 35405   HLchlt 35491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-p1 15872  df-lat 15878  df-clat 15940  df-oposet 35317  df-ol 35319  df-oml 35320  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492
This theorem is referenced by:  3dim3  35609  lhp2lt  36141
  Copyright terms: Public domain W3C validator