3dim1 - Mathbox for Norm Megill

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Theorem 3dim1 33417

Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom

. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
3dim0.j	$.\/$
3dim0.l
3dim0.a

**Assertion**
Ref	Expression
3dim1	$/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Distinct variable groups:

$.\/$ ,

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem 3dim1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . . 4 $.\/$
2		3dim0.l	. . . 4
3		3dim0.a	. . . 4
4	1, 2, 3	3dim0 33407	. . 3 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
5	4	adantr 465	. 2 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
6		simpl2 992	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$
7	1, 2, 3	3dimlem1 33408	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
8	7	3ad2antl3 1152	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
9	1, 2, 3	3dim1lem5 33416	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
10	6, 8, 9	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
11		simp13 1020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
12		simp22 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
13		simp23 1023	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
14	11, 12, 13	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
16		simpll1 1027	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
17		simp21 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
18		simp32 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
19		simp33 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
20	17, 18, 19	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
21	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
22		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
23		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
24	1, 2, 3	3dimlem2 33409	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
25	16, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
26	1, 2, 3	3dim1lem5 33416	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
27	15, 25, 26	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
28	11, 17, 13	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
30		simp1 988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
31	17, 12	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
32		simp31 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
33	32, 19	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
34	30, 31, 33	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
35	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
36		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
37		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
38		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
39	1, 2, 3	3dimlem3 33411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
40	35, 36, 37, 38, 39	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
41	1, 2, 3	3dim1lem5 33416	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
42	29, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
43	11, 17, 12	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$
45		simpl1 991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
46		simpl21 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
47		simpl22 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
48	46, 47	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$
49		simpl31 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$
50		simpl32 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
51	49, 50	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
52	45, 48, 51	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
53	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
54		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
55		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
56	1, 2, 3	3dimlem4 33414	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
58	1, 2, 3	3dim1lem5 33416	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
59	44, 57, 58	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
60	42, 59	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
61	60	anassrs 648	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
62	27, 61	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
63	10, 62	pm2.61dane 2766	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
64	63	3exp 1187	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
65	64	3expd 1205	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
66	65	3exp 1187	. . . . . 6 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
67	66	imp43 595	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
68	67	impd 431	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
69	68	rexlimdvv 2943	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
70	69	rexlimdvva 2944	. 2 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
71	5, 70	mpd 15	1 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 369 $/\$ w3a 965

wceq 1370

wcel 1758

wne 2644

wrex 2796 class class class wbr 4390

cfv 5516 (class class class)co 6190

cple 14347

cjn 15216

catm 33214

chlt 33301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4501 ax-sep 4511 ax-nul 4519 ax-pow 4568 ax-pr 4629 ax-un 6472

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rab 2804 df-v 3070 df-sbc 3285 df-csb 3387 df-dif 3429 df-un 3431 df-in 3433 df-ss 3440 df-nul 3736 df-if 3890 df-pw 3960 df-sn 3976 df-pr 3978 df-op 3982 df-uni 4190 df-iun 4271 df-br 4391 df-opab 4449 df-mpt 4450 df-id 4734 df-xp 4944 df-rel 4945 df-cnv 4946 df-co 4947 df-dm 4948 df-rn 4949 df-res 4950 df-ima 4951 df-iota 5479 df-fun 5518 df-fn 5519 df-f 5520 df-f1 5521 df-fo 5522 df-f1o 5523 df-fv 5524 df-riota 6151 df-ov 6193 df-oprab 6194 df-poset 15218 df-plt 15230 df-lub 15246 df-glb 15247 df-join 15248 df-meet 15249 df-p0 15311 df-p1 15312 df-lat 15318 df-clat 15380 df-oposet 33127 df-ol 33129 df-oml 33130 df-covers 33217 df-ats 33218 df-atl 33249 df-cvlat 33273 df-hlat 33302

This theorem is referenced by: 3dim2 33418 2dim 33420

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