Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim1 Structured version   Unicode version

Theorem 3dim1 32497
Description: Construct a 3-dimensional volume (height-4 element) on top of a given atom  P. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3dim0.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3dim0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3dim1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Distinct variable groups:    r, q,
s, A    .\/ , r, s, q    .<_ , q, r, s    P, q, r, s
Allowed substitution hints:    K( s, r, q)

Proof of Theorem 3dim1
Dummy variables  u  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
2 3dim0.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 3dim0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 33dim0 32487 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )
54adantr 465 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
6 simpl2 1003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
71, 2, 33dimlem1 32488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )
873ad2antl3 1163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  u )  .\/  v ) ) )
91, 2, 33dim1lem5 32496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
11 simp13 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  e.  A )
12 simp22 1033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
v  e.  A )
13 simp23 1034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  w  e.  A )
1411, 12, 133jca 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
) )
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )
)
16 simpll1 1038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
17 simp21 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  u  e.  A )
18 simp32 1036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) )
19 simp33 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
2017, 18, 193jca 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
22 simplr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  =/=  t )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  P  .<_  ( t  .\/  u
) )
241, 2, 33dimlem2 32489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
2516, 21, 22, 23, 24syl112anc 1236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P 
.\/  t )  .\/  v ) ) )
261, 2, 33dim1lem5 32496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  P  .<_  ( t  .\/  u
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
2811, 17, 133jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
) )
2928ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A ) )
30 simp1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )
)
3117, 12jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
32 simp31 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
t  =/=  u )
3332, 19jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )
3430, 31, 333jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) ) )
36 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  =/=  t
)
37 simplrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )
391, 2, 33dimlem3 32491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  t )  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t ) 
.\/  u ) ) )
4035, 36, 37, 38, 39syl13anc 1234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
411, 2, 33dim1lem5 32496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  w  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4229, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
4311, 17, 123jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  -> 
( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
) )
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
45 simpl1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A ) )
46 simpl21 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  u  e.  A
)
47 simpl22 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  v  e.  A
)
4846, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
49 simpl31 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  t  =/=  u
)
50 simpl32 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( t  .\/  u ) )
5149, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
5245, 48, 513jca 1179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) ) )
54 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u
) ) )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )
561, 2, 33dimlem4 32494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
5753, 54, 55, 56syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )
581, 2, 33dim1lem5 32496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  e.  A  /\  u  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  t
)  /\  -.  v  .<_  ( ( P  .\/  t )  .\/  u
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
5944, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  /\  -.  P  .<_  ( ( t  .\/  u
)  .\/  v )
)  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6042, 59pm2.61dan 794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  ( P  =/=  t  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6160anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  /\  -.  P  .<_  ( t  .\/  u ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
6227, 61pm2.61dan 794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  (
u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) ) )  /\  P  =/=  t )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) )
6310, 62pm2.61dane 2723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
64633exp 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
65643expd 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) )
66653exp 1198 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( P  e.  A  ->  ( t  e.  A  -> 
( u  e.  A  ->  ( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) ) ) ) )
6766imp43 595 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( v  e.  A  ->  ( w  e.  A  ->  ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) ) )
6867impd 431 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( v  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t 
.\/  u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u ) 
.\/  v ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) ) ) )
6968rexlimdvv 2904 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  /\  ( t  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7069rexlimdvva 2905 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  ( E. t  e.  A  E. u  e.  A  E. v  e.  A  E. w  e.  A  ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t  .\/  u
)  /\  -.  w  .<_  ( ( t  .\/  u )  .\/  v
) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
715, 70mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( P  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   E.wrex 2757   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   lecple 14918   joincjn 15899   Atomscatm 32294   HLchlt 32381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-preset 15883  df-poset 15901  df-plt 15914  df-lub 15930  df-glb 15931  df-join 15932  df-meet 15933  df-p0 15995  df-p1 15996  df-lat 16002  df-clat 16064  df-oposet 32207  df-ol 32209  df-oml 32210  df-covers 32297  df-ats 32298  df-atl 32329  df-cvlat 32353  df-hlat 32382
This theorem is referenced by:  3dim2  32498  2dim  32500
  Copyright terms: Public domain W3C validator