Theorem 3cyclfrgrarn1 25593

Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrarn1	|- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   b, c, A   E, c, b   V, c, b

Allowed substitution hints:   C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1

Dummy variables a x z u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgrarn2 25591	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) )
2		necom 2700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
3		eldifsn 4128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( V \ { A } ) <-> ( C e. V /\ C =/= A ) )
4	3	simplbi2com 631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C =/= A -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
5	2, 4	sylbi 198	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= C -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
6	5	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. V -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
7	6	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
8	7	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> C e. ( V \ { A } ) )
9		sneq 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> { a } = { A } )
10	9	difeq2d 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( V \ { a } ) = ( V \ { A } ) )
11		preq1 4082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = A -> { a , x } = { A , x } )
12	11	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( { a , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
13	12	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) ) )
14		neeq1 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( a =/= x <-> A =/= x ) )
15	14	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( a =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= z ) ) )
16	13, 15	anbi12d 715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
17	16	rexbidv 2946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
18	10, 17	raleqbidv 3046	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
19	18	rspcv 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
20	19	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
21	20	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
22		preq2 4083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = C -> { x , z } = { x , C } )
23	22	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( { x , z } e. ran E <-> { x , C } e. ran E ) )
24	23	anbi2d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) ) )
25		neeq2 2714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( x =/= z <-> x =/= C ) )
26	25	anbi2d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( A =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= C ) ) )
27	24, 26	anbi12d 715	. . . . . . . . . 10 |- ( z = C -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
28	27	rexbidv 2946	. . . . . . . . 9 |- ( z = C -> ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
29	28	rspcv 3184	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( V \ { A } ) -> ( A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
30	8, 21, 29	sylsyld 58	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
31		2pthfrgrarn 25590	. . . . . . . . . 10 |- ( V FriendGrph E -> A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) )
32		necom 2700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A =/= x <-> x =/= A )
33		eldifsn 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( V \ { A } ) <-> ( x e. V /\ x =/= A ) )
34	33	simplbi2com 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x =/= A -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
35	32, 34	sylbi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A =/= x -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
36	35	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
37	36	imp 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> x e. ( V \ { A } ) )
38		sneq 4012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> { u } = { A } )
39	38	difeq2d 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( V \ { u } ) = ( V \ { A } ) )
40		preq1 4082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = A -> { u , y } = { A , y } )
41	40	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = A -> ( { u , y } e. ran E <-> { A , y } e. ran E ) )
42	41	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> ( ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
43	42	rexbidv 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
44	39, 43	raleqbidv 3046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = A -> ( A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
45	44	rspcv 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
46	45	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
47	46	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
48		preq2 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = x -> { y , v } = { y , x } )
49	48	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = x -> ( { y , v } e. ran E <-> { y , x } e. ran E ) )
50	49	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = x -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
51	50	rexbidv 2946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = x -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
52	51	rspcv 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( V \ { A } ) -> ( A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
53	37, 47, 52	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
54		prcom 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { A , y } = { y , A }
55	54	eleq1i 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { A , y } e. ran E <-> { y , A } e. ran E )
56		prcom 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y , x } = { x , y }
57	56	eleq1i 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { y , x } e. ran E <-> { x , y } e. ran E )
58	55, 57	anbi12ci 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) <-> ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) )
59		preq2 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { A , b } = { A , x } )
60	59	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { A , b } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
61		preq1 4082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { b , c } = { x , c } )
62	61	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { b , c } e. ran E <-> { x , c } e. ran E ) )
63		biidd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { c , A } e. ran E <-> { c , A } e. ran E ) )
64	60, 62, 63	3anbi123d 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = x -> ( ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
65		biidd 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { A , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
66		preq2 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { x , c } = { x , y } )
67	66	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , y } e. ran E ) )
68		preq1 4082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { c , A } = { y , A } )
69	68	eleq1d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { c , A } e. ran E <-> { y , A } e. ran E ) )
70	65, 67, 69	3anbi123d 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( c = y -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) )
71	64, 70	rspc2ev 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. V /\ y e. V /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
72	71	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
73	72	expcom 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
74	73	3expib 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
75	58, 74	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
76	75	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
77	76	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
78	77	rexlimdva 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. V -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
79	78	com13 83	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
80	53, 79	syl9 73	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
81	80	exp31 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A =/= x -> ( A e. V -> ( x e. V -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
82	81	com24 90	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A =/= x -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
83	82	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A =/= x /\ x =/= C ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
84	83	impcom 431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
85	84	com15 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. V -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
86	85	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
87	86	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
88	87	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
89	88	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
90	89	com4t 88	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
91	31, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( V FriendGrph E -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
92	91	com14 91	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
93	92	rexlimiv 2918	. . . . . . 7 |- ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
94	30, 93	syl6 34	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
95	94	pm2.43a 51	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
96	95	ex 435	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
97	96	com4t 88	. . 3 |- ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
98	1, 97	mpcom 37	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
99	98	3imp 1199	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   \ cdif 3439   {csn 4002   {cpr 4004   class class class wbr 4426   ran crn 4855   FriendGrph cfrgra 25569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513  df-usgra 24914  df-frgra 25570

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  25594