MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgrarn1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 3cyclfrgrarn1 25819
Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrarn1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    b, c, A    E, c, b    V, c, b
Allowed substitution hints:    C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1
Dummy variables  a  x  z  u  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgrarn2 25817 . . 3  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
2 necom 2696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
3 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( C  e.  V  /\  C  =/= 
A ) )
43simplbi2com 639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =/=  A  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
52, 4sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  C  ->  ( C  e.  V  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
65com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  V  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) ) )
76adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  C  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
87imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  ( V  \  { A } ) )
9 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
109difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( V  \  { a } )  =  ( V 
\  { A }
) )
11 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  A  ->  { a ,  x }  =  { A ,  x }
)
1211eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  ( { a ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
1312anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E ) ) )
14 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  x  <->  A  =/=  x ) )
1514anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) )
1613, 15anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <-> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1716rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1810, 17raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
1918rspcv 3132 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2019adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A }
) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
2120adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) ) ) )
22 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  { x ,  z }  =  { x ,  C } )
2322eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  ( { x ,  z }  e.  ran  E  <->  { x ,  C }  e.  ran  E ) )
2423anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E ) ) )
25 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  (
x  =/=  z  <->  x  =/=  C ) )
2625anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( A  =/=  x  /\  x  =/=  z
)  <->  ( A  =/=  x  /\  x  =/= 
C ) ) )
2724, 26anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2827rexbidv 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  <->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) ) ) )
2928rspcv 3132 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. z  e.  ( V  \  { A } ) E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
308, 21, 29sylsyld 57 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) ) ) )
31 2pthfrgrarn 25816 . . . . . . . . . 10  |-  ( V FriendGrph  E  ->  A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) )
32 necom 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  =/=  x  <->  x  =/=  A )
33 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  <->  ( x  e.  V  /\  x  =/=  A ) )
3433simplbi2com 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =/=  A  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3532, 34sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  =/=  x  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) ) )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( V 
\  { A }
) ) )
3736imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( V  \  { A } ) )
38 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  { u }  =  { A } )
3938difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( V  \  { u }
)  =  ( V 
\  { A }
) )
40 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  A  ->  { u ,  y }  =  { A ,  y } )
4140eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  A  ->  ( { u ,  y }  e.  ran  E  <->  { A ,  y }  e.  ran  E ) )
4241anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  A  ->  (
( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4342rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  A  ->  ( E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
) ) )
4439, 43raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  A  ->  ( A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4544rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E ) ) )
48 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  x  ->  { y ,  v }  =  { y ,  x } )
4948eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  x  ->  ( { y ,  v }  e.  ran  E  <->  { y ,  x }  e.  ran  E ) )
5049anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  x  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5150rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  x  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  <->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5251rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( V  \  { A } )  -> 
( A. v  e.  ( V  \  { A } ) E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
5337, 47, 52sylsyld 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  {
y ,  x }  e.  ran  E ) ) )
54 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { A ,  y }  =  { y ,  A }
5554eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { A ,  y }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E )
56 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y ,  x }  =  { x ,  y }
5756eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  x }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E )
5855, 57anbi12ci 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  <-> 
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
59 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { A ,  b }  =  { A ,  x }
)
6059eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { A ,  b }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
61 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( b  =  x  ->  { b ,  c }  =  { x ,  c } )
6261eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { b ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  c }  e.  ran  E ) )
63 biidd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( b  =  x  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
6460, 62, 633anbi123d 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( b  =  x  ->  (
( { A , 
b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
65 biidd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  <->  { A ,  x }  e.  ran  E ) )
66 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { x ,  c }  =  { x ,  y } )
6766eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { x ,  c }  e.  ran  E  <->  { x ,  y }  e.  ran  E ) )
68 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( c  =  y  ->  { c ,  A }  =  { y ,  A } )
6968eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( c  =  y  ->  ( { c ,  A }  e.  ran  E  <->  { y ,  A }  e.  ran  E ) )
7065, 67, 693anbi123d 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( c  =  y  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E )  <->  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) ) )
7164, 70rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
72713expa 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
7372expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  -> 
( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) )
74733expib 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { x ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  A }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7558, 74syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( { A ,  x }  e.  ran  E  ->  (
( { A , 
y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7776com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7877rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  V  ->  ( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  {
x ,  C }  e.  ran  E )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
7978com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  -> 
( E. y  e.  V  ( { A ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  x }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
8053, 79syl9 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  =/=  x  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8180exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =/=  x  ->  ( A  e.  V  ->  ( x  e.  V  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8281com24 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =/=  x  ->  (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8382adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C )  -> 
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) ) )
8483impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8584com15 95 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
8685pm2.43i 48 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  V  ->  ( A  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u }
) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E )  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8786com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  V  -> 
( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  {
u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
8988adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9089com4t 87 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  V  A. v  e.  ( V  \  { u } ) E. y  e.  V  ( { u ,  y }  e.  ran  E  /\  { y ,  v }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9131, 90syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C
) )  ->  (
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  (
x  e.  V  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9291com14 90 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  V  ->  (
( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9392rexlimiv 2867 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  V  ( ( { A ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  C }  e.  ran  E )  /\  ( A  =/=  x  /\  x  =/=  C ) )  -> 
( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9430, 93syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9594pm2.43a 50 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  A  =/=  C )  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  { b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
9695ex 441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  {
a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  ( a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
9796com4t 87 . . 3  |-  ( A. a  e.  V  A. z  e.  ( V  \  { a } ) E. x  e.  V  ( ( { a ,  x }  e.  ran  E  /\  { x ,  z }  e.  ran  E )  /\  (
a  =/=  x  /\  x  =/=  z ) )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) ) )
981, 97mpcom 36 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( A  =/=  C  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) ) ) )
99983imp 1224 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( A  e.  V  /\  C  e.  V )  /\  A  =/=  C
)  ->  E. b  e.  V  E. c  e.  V  ( { A ,  b }  e.  ran  E  /\  {
b ,  c }  e.  ran  E  /\  { c ,  A }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   ran crn 4840   FriendGrph cfrgra 25795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-frgra 25796
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  25820
  Copyright terms: Public domain W3C validator