Theorem 3cyclfrgrarn1 30745

Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrarn1	|- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   b, c, A   E, c, b   V, c, b

Allowed substitution hints:   C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1

Dummy variables a x z u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgrarn2 30743	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) )
2		necom 2717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
3		eldifsn 4101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( V \ { A } ) <-> ( C e. V /\ C =/= A ) )
4	3	simplbi2com 627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C =/= A -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
5	2, 4	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= C -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
6	5	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. V -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
7	6	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
8	7	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> C e. ( V \ { A } ) )
9		sneq 3988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> { a } = { A } )
10	9	difeq2d 3575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( V \ { a } ) = ( V \ { A } ) )
11		preq1 4055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = A -> { a , x } = { A , x } )
12	11	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( { a , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
13	12	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) ) )
14		neeq1 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( a =/= x <-> A =/= x ) )
15	14	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( a =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= z ) ) )
16	13, 15	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
17	16	rexbidv 2855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
18	10, 17	raleqbidv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
19	18	rspcv 3168	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
22		preq2 4056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = C -> { x , z } = { x , C } )
23	22	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( { x , z } e. ran E <-> { x , C } e. ran E ) )
24	23	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) ) )
25		neeq2 2731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( x =/= z <-> x =/= C ) )
26	25	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( A =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= C ) ) )
27	24, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( z = C -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
28	27	rexbidv 2855	. . . . . . . . 9 |- ( z = C -> ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
29	28	rspcv 3168	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( V \ { A } ) -> ( A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
30	8, 21, 29	sylsyld 56	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
31		2pthfrgrarn 30742	. . . . . . . . . 10 |- ( V FriendGrph E -> A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) )
32		necom 2717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A =/= x <-> x =/= A )
33		eldifsn 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( V \ { A } ) <-> ( x e. V /\ x =/= A ) )
34	33	simplbi2com 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x =/= A -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
35	32, 34	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A =/= x -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
37	36	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> x e. ( V \ { A } ) )
38		sneq 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> { u } = { A } )
39	38	difeq2d 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( V \ { u } ) = ( V \ { A } ) )
40		preq1 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = A -> { u , y } = { A , y } )
41	40	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = A -> ( { u , y } e. ran E <-> { A , y } e. ran E ) )
42	41	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> ( ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
43	42	rexbidv 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
44	39, 43	raleqbidv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = A -> ( A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
45	44	rspcv 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
48		preq2 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = x -> { y , v } = { y , x } )
49	48	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = x -> ( { y , v } e. ran E <-> { y , x } e. ran E ) )
50	49	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = x -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
51	50	rexbidv 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = x -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
52	51	rspcv 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( V \ { A } ) -> ( A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
53	37, 47, 52	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
54		prcom 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { A , y } = { y , A }
55	54	eleq1i 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { A , y } e. ran E <-> { y , A } e. ran E )
56		prcom 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y , x } = { x , y }
57	56	eleq1i 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { y , x } e. ran E <-> { x , y } e. ran E )
58	55, 57	anbi12ci 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) <-> ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) )
59		preq2 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { A , b } = { A , x } )
60	59	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { A , b } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
61		preq1 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { b , c } = { x , c } )
62	61	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { b , c } e. ran E <-> { x , c } e. ran E ) )
63		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { c , A } e. ran E <-> { c , A } e. ran E ) )
64	60, 62, 63	3anbi123d 1290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = x -> ( ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
65		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { A , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
66		preq2 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { x , c } = { x , y } )
67	66	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , y } e. ran E ) )
68		preq1 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { c , A } = { y , A } )
69	68	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { c , A } e. ran E <-> { y , A } e. ran E ) )
70	65, 67, 69	3anbi123d 1290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( c = y -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) )
71	64, 70	rspc2ev 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. V /\ y e. V /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
72	71	3expa 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
73	72	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
74	73	3expib 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
75	58, 74	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
77	76	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
78	77	rexlimdva 2940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. V -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
79	78	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
80	53, 79	syl9 71	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
81	80	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A =/= x -> ( A e. V -> ( x e. V -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
82	81	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A =/= x -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
83	82	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A =/= x /\ x =/= C ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
84	83	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
85	84	com15 93	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. V -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
86	85	pm2.43i 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
87	86	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
88	87	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
89	88	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
90	89	com4t 85	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
91	31, 90	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( V FriendGrph E -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
92	91	com14 88	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
93	92	rexlimiv 2934	. . . . . . 7 |- ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
94	30, 93	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
95	94	pm2.43a 49	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
96	95	ex 434	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
97	96	com4t 85	. . 3 |- ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
98	1, 97	mpcom 36	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
99	98	3imp 1182	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   \ cdif 3426   {csn 3978   {cpr 3980   class class class wbr 4393   ran crn 4942   FriendGrph cfrgra 30721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-hash 12214  df-usgra 23411  df-frgra 30722

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  30746