Theorem 3cyclfrgrarn1 25819

Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrarn1	|- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   b, c, A   E, c, b   V, c, b

Allowed substitution hints:   C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1

Dummy variables a x z u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgrarn2 25817	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) )
2		necom 2696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
3		eldifsn 4088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( V \ { A } ) <-> ( C e. V /\ C =/= A ) )
4	3	simplbi2com 639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C =/= A -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
5	2, 4	sylbi 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= C -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
6	5	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. V -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
7	6	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
8	7	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> C e. ( V \ { A } ) )
9		sneq 3969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> { a } = { A } )
10	9	difeq2d 3540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( V \ { a } ) = ( V \ { A } ) )
11		preq1 4042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = A -> { a , x } = { A , x } )
12	11	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( { a , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
13	12	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) ) )
14		neeq1 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( a =/= x <-> A =/= x ) )
15	14	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( a =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= z ) ) )
16	13, 15	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
17	16	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
18	10, 17	raleqbidv 2987	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
19	18	rspcv 3132	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
20	19	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
21	20	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
22		preq2 4043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = C -> { x , z } = { x , C } )
23	22	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( { x , z } e. ran E <-> { x , C } e. ran E ) )
24	23	anbi2d 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) ) )
25		neeq2 2706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( x =/= z <-> x =/= C ) )
26	25	anbi2d 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( A =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= C ) ) )
27	24, 26	anbi12d 725	. . . . . . . . . 10 |- ( z = C -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
28	27	rexbidv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( z = C -> ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
29	28	rspcv 3132	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( V \ { A } ) -> ( A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
30	8, 21, 29	sylsyld 57	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
31		2pthfrgrarn 25816	. . . . . . . . . 10 |- ( V FriendGrph E -> A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) )
32		necom 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A =/= x <-> x =/= A )
33		eldifsn 4088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( V \ { A } ) <-> ( x e. V /\ x =/= A ) )
34	33	simplbi2com 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x =/= A -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
35	32, 34	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A =/= x -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
36	35	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
37	36	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> x e. ( V \ { A } ) )
38		sneq 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> { u } = { A } )
39	38	difeq2d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( V \ { u } ) = ( V \ { A } ) )
40		preq1 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = A -> { u , y } = { A , y } )
41	40	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = A -> ( { u , y } e. ran E <-> { A , y } e. ran E ) )
42	41	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> ( ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
43	42	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
44	39, 43	raleqbidv 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = A -> ( A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
45	44	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
46	45	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
48		preq2 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = x -> { y , v } = { y , x } )
49	48	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = x -> ( { y , v } e. ran E <-> { y , x } e. ran E ) )
50	49	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = x -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
51	50	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = x -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
52	51	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( V \ { A } ) -> ( A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
53	37, 47, 52	sylsyld 57	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
54		prcom 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { A , y } = { y , A }
55	54	eleq1i 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { A , y } e. ran E <-> { y , A } e. ran E )
56		prcom 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y , x } = { x , y }
57	56	eleq1i 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { y , x } e. ran E <-> { x , y } e. ran E )
58	55, 57	anbi12ci 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) <-> ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) )
59		preq2 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { A , b } = { A , x } )
60	59	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { A , b } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
61		preq1 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { b , c } = { x , c } )
62	61	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { b , c } e. ran E <-> { x , c } e. ran E ) )
63		biidd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { c , A } e. ran E <-> { c , A } e. ran E ) )
64	60, 62, 63	3anbi123d 1365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = x -> ( ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
65		biidd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { A , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
66		preq2 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { x , c } = { x , y } )
67	66	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , y } e. ran E ) )
68		preq1 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { c , A } = { y , A } )
69	68	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { c , A } e. ran E <-> { y , A } e. ran E ) )
70	65, 67, 69	3anbi123d 1365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( c = y -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) )
71	64, 70	rspc2ev 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. V /\ y e. V /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
72	71	3expa 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
73	72	expcom 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
74	73	3expib 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
75	58, 74	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
76	75	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
77	76	com13 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
78	77	rexlimdva 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. V -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
79	78	com13 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
80	53, 79	syl9 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
81	80	exp31 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A =/= x -> ( A e. V -> ( x e. V -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
82	81	com24 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A =/= x -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
83	82	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A =/= x /\ x =/= C ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
84	83	impcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
85	84	com15 95	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. V -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
86	85	pm2.43i 48	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
87	86	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
88	87	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
89	88	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
90	89	com4t 87	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
91	31, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( V FriendGrph E -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
92	91	com14 90	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
93	92	rexlimiv 2867	. . . . . . 7 |- ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
94	30, 93	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
95	94	pm2.43a 50	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
96	95	ex 441	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
97	96	com4t 87	. . 3 |- ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
98	1, 97	mpcom 36	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
99	98	3imp 1224	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   ran crn 4840   FriendGrph cfrgra 25795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-frgra 25796

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  25820