Theorem 3cyclfrgrarn1 24688

Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgrarn1	|- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Distinct variable groups:   b, c, A   E, c, b   V, c, b

Allowed substitution hints:   C( b, c)

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn1

Dummy variables a x z u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgrarn2 24686	. . 3 |- ( V FriendGrph E -> A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) )
2		necom 2736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= C <-> C =/= A )
3		eldifsn 4152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( V \ { A } ) <-> ( C e. V /\ C =/= A ) )
4	3	simplbi2com 627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C =/= A -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
5	2, 4	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= C -> ( C e. V -> C e. ( V \ { A } ) ) )
6	5	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. V -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
7	6	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> C e. ( V \ { A } ) ) )
8	7	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> C e. ( V \ { A } ) )
9		sneq 4037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> { a } = { A } )
10	9	difeq2d 3622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( V \ { a } ) = ( V \ { A } ) )
11		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = A -> { a , x } = { A , x } )
12	11	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( { a , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
13	12	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) ) )
14		neeq1 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = A -> ( a =/= x <-> A =/= x ) )
15	14	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( ( a =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= z ) ) )
16	13, 15	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
17	16	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
18	10, 17	raleqbidv 3072	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) <-> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
19	18	rspcv 3210	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
21	20	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) ) )
22		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = C -> { x , z } = { x , C } )
23	22	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( { x , z } e. ran E <-> { x , C } e. ran E ) )
24	23	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) ) )
25		neeq2 2750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = C -> ( x =/= z <-> x =/= C ) )
26	25	anbi2d 703	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = C -> ( ( A =/= x /\ x =/= z ) <-> ( A =/= x /\ x =/= C ) ) )
27	24, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( z = C -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
28	27	rexbidv 2973	. . . . . . . . 9 |- ( z = C -> ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) <-> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
29	28	rspcv 3210	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( V \ { A } ) -> ( A. z e. ( V \ { A } ) E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
30	8, 21, 29	sylsyld 56	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) ) )
31		2pthfrgrarn 24685	. . . . . . . . . 10 |- ( V FriendGrph E -> A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) )
32		necom 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A =/= x <-> x =/= A )
33		eldifsn 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. ( V \ { A } ) <-> ( x e. V /\ x =/= A ) )
34	33	simplbi2com 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x =/= A -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
35	32, 34	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A =/= x -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( x e. V -> x e. ( V \ { A } ) ) )
37	36	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> x e. ( V \ { A } ) )
38		sneq 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> { u } = { A } )
39	38	difeq2d 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( V \ { u } ) = ( V \ { A } ) )
40		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = A -> { u , y } = { A , y } )
41	40	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = A -> ( { u , y } e. ran E <-> { A , y } e. ran E ) )
42	41	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u = A -> ( ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
43	42	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = A -> ( E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
44	39, 43	raleqbidv 3072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = A -> ( A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
45	44	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
46	45	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A =/= x /\ A e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) ) )
48		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = x -> { y , v } = { y , x } )
49	48	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = x -> ( { y , v } e. ran E <-> { y , x } e. ran E ) )
50	49	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = x -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
51	50	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v = x -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) <-> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
52	51	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( V \ { A } ) -> ( A. v e. ( V \ { A } ) E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
53	37, 47, 52	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) ) )
54		prcom 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { A , y } = { y , A }
55	54	eleq1i 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { A , y } e. ran E <-> { y , A } e. ran E )
56		prcom 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y , x } = { x , y }
57	56	eleq1i 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( { y , x } e. ran E <-> { x , y } e. ran E )
58	55, 57	anbi12ci 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) <-> ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) )
59		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { A , b } = { A , x } )
60	59	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { A , b } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
61		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( b = x -> { b , c } = { x , c } )
62	61	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { b , c } e. ran E <-> { x , c } e. ran E ) )
63		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( b = x -> ( { c , A } e. ran E <-> { c , A } e. ran E ) )
64	60, 62, 63	3anbi123d 1299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( b = x -> ( ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
65		biidd 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { A , x } e. ran E <-> { A , x } e. ran E ) )
66		preq2 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { x , c } = { x , y } )
67	66	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { x , c } e. ran E <-> { x , y } e. ran E ) )
68		preq1 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = y -> { c , A } = { y , A } )
69	68	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = y -> ( { c , A } e. ran E <-> { y , A } e. ran E ) )
70	65, 67, 69	3anbi123d 1299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( c = y -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) <-> ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) )
71	64, 70	rspc2ev 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. V /\ y e. V /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
72	71	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )
73	72	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) )
74	73	3expib 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { x , y } e. ran E /\ { y , A } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
75	58, 74	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( { A , x } e. ran E -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
77	76	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
78	77	rexlimdva 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. V -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
79	78	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( E. y e. V ( { A , y } e. ran E /\ { y , x } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
80	53, 79	syl9 71	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A =/= x /\ A e. V ) /\ x e. V ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
81	80	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A =/= x -> ( A e. V -> ( x e. V -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
82	81	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A =/= x -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
83	82	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A =/= x /\ x =/= C ) -> ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) ) )
84	83	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
85	84	com15 93	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. V -> ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) ) )
86	85	pm2.43i 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. V -> ( A e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
87	86	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
88	87	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
89	88	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
90	89	com4t 85	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. V A. v e. ( V \ { u } ) E. y e. V ( { u , y } e. ran E /\ { y , v } e. ran E ) -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
91	31, 90	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( V FriendGrph E -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( x e. V -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
92	91	com14 88	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> ( ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
93	92	rexlimiv 2949	. . . . . . 7 |- ( E. x e. V ( ( { A , x } e. ran E /\ { x , C } e. ran E ) /\ ( A =/= x /\ x =/= C ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
94	30, 93	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
95	94	pm2.43a 49	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
96	95	ex 434	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
97	96	com4t 85	. . 3 |- ( A. a e. V A. z e. ( V \ { a } ) E. x e. V ( ( { a , x } e. ran E /\ { x , z } e. ran E ) /\ ( a =/= x /\ x =/= z ) ) -> ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) ) )
98	1, 97	mpcom 36	. 2 |- ( V FriendGrph E -> ( ( A e. V /\ C e. V ) -> ( A =/= C -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) ) ) )
99	98	3imp 1190	1 |- ( ( V FriendGrph E /\ ( A e. V /\ C e. V ) /\ A =/= C ) -> E. b e. V E. c e. V ( { A , b } e. ran E /\ { b , c } e. ran E /\ { c , A } e. ran E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   FriendGrph cfrgra 24664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12370  df-usgra 24009  df-frgra 24665

This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  24689