Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgrarn Structured version   Unicode version

Theorem 3cyclfrgrarn 24786
 Description: Every vertex in a friendship graph ( with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrarn FriendGrph
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem 3cyclfrgrarn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 24765 . . . 4 FriendGrph USGrph
2 usgrav 24111 . . . 4 USGrph
31, 2syl 16 . . 3 FriendGrph
4 hashgt12el2 12448 . . . . . . . . . . . . . 14
543expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13
6 3cyclfrgrarn1 24785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 FriendGrph
763expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGrph
87expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGrph
98ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 FriendGrph
109expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 FriendGrph
1110com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15 FriendGrph
1211com34 83 . . . . . . . . . . . . . 14 FriendGrph
1312rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . . . 13 FriendGrph
145, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12 FriendGrph
1514expcom 435 . . . . . . . . . . 11 FriendGrph
1615com24 87 . . . . . . . . . 10 FriendGrph
1716pm2.43i 47 . . . . . . . . 9 FriendGrph
1817com13 80 . . . . . . . 8 FriendGrph
1918imp 429 . . . . . . 7 FriendGrph
2019ralrimiv 2876 . . . . . 6 FriendGrph
2120exp31 604 . . . . 5 FriendGrph
2221com23 78 . . . 4 FriendGrph
2322adantr 465 . . 3 FriendGrph
243, 23mpcom 36 . 2 FriendGrph
2524imp 429 1 FriendGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113  cpr 4029   class class class wbr 4447   crn 5000  cfv 5588  c1 9494   clt 9629  chash 12374   USGrph cusg 24103   FriendGrph cfrgra 24761 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375  df-usgra 24106  df-frgra 24762 This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn2  24787  3cyclfrgra  24788  vdn0frgrav2  24797  vdgn0frgrav2  24798
 Copyright terms: Public domain W3C validator