Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cycld Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 3cycld 40092
 Description: Construction of a 3-cycle from three given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
31wlkd.p
31wlkd.f
31wlkd.s
31wlkd.n
31wlkd.e
31wlkd.v Vtx
31wlkd.i iEdg
3trld.n
3cycld.e
Assertion
Ref Expression
3cycld CycleS

Proof of Theorem 3cycld
StepHypRef Expression
1 31wlkd.p . . 3
2 31wlkd.f . . 3
3 31wlkd.s . . 3
4 31wlkd.n . . 3
5 31wlkd.e . . 3
6 31wlkd.v . . 3 Vtx
7 31wlkd.i . . 3 iEdg
8 3trld.n . . 3
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83pthd 40088 . 2 PathS
10 simpr 468 . . 3 PathS PathS
11 3cycld.e . . . . 5
121fveq1i 5880 . . . . . . . 8
13 s4fv0 13049 . . . . . . . 8
1412, 13syl5eq 2517 . . . . . . 7
1514ad3antrrr 744 . . . . . 6
16 simpr 468 . . . . . 6
172fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12
18 s3len 13048 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11
201, 19fveq12i 5884 . . . . . . . . . 10
21 s4fv3 13052 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl5req 2518 . . . . . . . . 9
2322adantl 473 . . . . . . . 8
2423adantl 473 . . . . . . 7
2524adantr 472 . . . . . 6
2615, 16, 253eqtrd 2509 . . . . 5
273, 11, 26syl2anc 673 . . . 4
2827adantr 472 . . 3 PathS
29 pthis1wlk 39921 . . . . . 6 PathS 1Walks
30 wlkv 39817 . . . . . 6 1Walks
3129, 30syl 17 . . . . 5 PathS
3231adantl 473 . . . 4 PathS
33 isCycl 39974 . . . 4 CycleS PathS
3432, 33syl 17 . . 3 PathS CycleS PathS
3510, 28, 34mpbir2and 936 . 2 PathS CycleS
369, 35mpdan 681 1 CycleS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   wss 3390  cpr 3961   class class class wbr 4395  cfv 5589  cc0 9557  c3 10682  chash 12553  cs3 12997  cs4 12998  Vtxcvtx 39251  iEdgciedg 39252  1Walksc1wlks 39800  PathScpths 39907  CycleSccycls 39968 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-ifp 984  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-s4 13005  df-1wlks 39804  df-trls 39889  df-pths 39911  df-cycls 39970 This theorem is referenced by:  3cyclpd  40093
 Copyright terms: Public domain W3C validator