Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem5 Structured version   Unicode version

Theorem 3atlem5 33136
Description: Lemma for 3at 33139. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3atlem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )

Proof of Theorem 3atlem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6104 . . . . . 6  |-  ( U  =  P  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
21eqcoms 2446 . . . . 5  |-  ( P  =  U  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
32breq2d 4309 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
42eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
53, 4imbi12d 320 . . 3  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) ) )
6 simp1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
) )
7 simp1r1 1084 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
8 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  =/=  U )
9 simp1r3 1086 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
10 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )
11 3at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 3at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 3at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1411, 12, 133atlem3 33134 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  U  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
156, 7, 8, 9, 10, 14syl131anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
16153expia 1189 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U )  -> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
17 simp11 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  HL )
18 simp123 1122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  A )
19 simp122 1121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  A )
20 simp121 1120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  A )
2118, 19, 203jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )
)
22 simp131 1123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  S  e.  A )
23 simp132 1124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  T  e.  A )
2422, 23jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)
25 simp21 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
26 simp22 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  =/=  Q )
2711, 12, 13hlatexch2 33045 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  R  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2817, 20, 18, 19, 26, 27syl131anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2925, 28mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  P  .<_  ( R  .\/  Q ) )
30 hllat 33013 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3117, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
32 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3332, 13atbase 32939 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3418, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3532, 13atbase 32939 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3620, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3732, 13atbase 32939 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3819, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3932, 11, 12latnlej1r 15245 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  =/=  Q )
4031, 34, 36, 38, 25, 39syl131anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  =/=  Q )
41 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )
4211, 12, 133atlem4 33135 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( -.  P  .<_  ( R  .\/  Q )  /\  R  =/=  Q
)  /\  ( ( R  .\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
4317, 21, 24, 29, 40, 41, 42syl321anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
44433expia 1189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
45 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  HL )
4645, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  Lat )
47 simpl21 1066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  A )
4847, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
49 simpl22 1067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  A )
5049, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
51 simpl23 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  A )
5251, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
5332, 12latj31 15274 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P ) )
5446, 48, 50, 52, 53syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R  .\/  Q ) 
.\/  P ) )
5554breq1d 4307 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  <-> 
( ( R  .\/  Q )  .\/  P ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
5654eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P )  <->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
5744, 55, 563imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
585, 16, 57pm2.61ne 2691 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
59583impia 1184 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   lecple 14250   joincjn 15119   Latclat 15220   Atomscatm 32913   HLchlt 33000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-poset 15121  df-plt 15133  df-lub 15149  df-glb 15150  df-join 15151  df-meet 15152  df-p0 15214  df-lat 15221  df-covers 32916  df-ats 32917  df-atl 32948  df-cvlat 32972  df-hlat 33001
This theorem is referenced by:  3atlem6  33137  3atlem7  33138
  Copyright terms: Public domain W3C validator