Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem5 Structured version   Unicode version

Theorem 3atlem5 32971
Description: Lemma for 3at 32974. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3atlem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )

Proof of Theorem 3atlem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( U  =  P  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
21eqcoms 2434 . . . . 5  |-  ( P  =  U  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
32breq2d 4432 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
42eqeq2d 2436 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
53, 4imbi12d 321 . . 3  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) ) )
6 simp1l 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
) )
7 simp1r1 1101 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
8 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  =/=  U )
9 simp1r3 1103 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
10 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )
11 3at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 3at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 3at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1411, 12, 133atlem3 32969 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  U  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
156, 7, 8, 9, 10, 14syl131anc 1277 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
16153expia 1207 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U )  -> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
17 simp11 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  HL )
18 simp123 1139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  A )
19 simp122 1138 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  A )
20 simp121 1137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  A )
2118, 19, 203jca 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )
)
22 simp131 1140 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  S  e.  A )
23 simp132 1141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  T  e.  A )
2422, 23jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)
25 simp21 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
26 simp22 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  =/=  Q )
2711, 12, 13hlatexch2 32880 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  R  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2817, 20, 18, 19, 26, 27syl131anc 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2925, 28mtod 180 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  P  .<_  ( R  .\/  Q ) )
30 hllat 32848 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3117, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
32 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3332, 13atbase 32774 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3418, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3532, 13atbase 32774 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3620, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3732, 13atbase 32774 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3819, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3932, 11, 12latnlej1r 16304 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  =/=  Q )
4031, 34, 36, 38, 25, 39syl131anc 1277 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  =/=  Q )
41 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )
4211, 12, 133atlem4 32970 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( -.  P  .<_  ( R  .\/  Q )  /\  R  =/=  Q
)  /\  ( ( R  .\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
4317, 21, 24, 29, 40, 41, 42syl321anc 1286 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
44433expia 1207 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
45 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  HL )
4645, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  Lat )
47 simpl21 1083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  A )
4847, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
49 simpl22 1084 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  A )
5049, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
51 simpl23 1085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  A )
5251, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
5332, 12latj31 16333 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P ) )
5446, 48, 50, 52, 53syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R  .\/  Q ) 
.\/  P ) )
5554breq1d 4430 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  <-> 
( ( R  .\/  Q )  .\/  P ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
5654eqeq1d 2424 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P )  <->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
5744, 55, 563imtr4d 271 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
585, 16, 57pm2.61ne 2739 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
59583impia 1202 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Basecbs 15109   lecple 15185   joincjn 16177   Latclat 16279   Atomscatm 32748   HLchlt 32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-preset 16161  df-poset 16179  df-plt 16192  df-lub 16208  df-glb 16209  df-join 16210  df-meet 16211  df-p0 16273  df-lat 16280  df-covers 32751  df-ats 32752  df-atl 32783  df-cvlat 32807  df-hlat 32836
This theorem is referenced by:  3atlem6  32972  3atlem7  32973
  Copyright terms: Public domain W3C validator