Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem5 Structured version   Unicode version

Theorem 3atlem5 34283
Description: Lemma for 3at 34286. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3atlem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )

Proof of Theorem 3atlem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( U  =  P  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
21eqcoms 2479 . . . . 5  |-  ( P  =  U  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
32breq2d 4459 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
42eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
53, 4imbi12d 320 . . 3  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) ) )
6 simp1l 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
) )
7 simp1r1 1092 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
8 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  =/=  U )
9 simp1r3 1094 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
10 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )
11 3at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 3at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 3at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1411, 12, 133atlem3 34281 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  U  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
156, 7, 8, 9, 10, 14syl131anc 1241 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
16153expia 1198 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U )  -> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
17 simp11 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  HL )
18 simp123 1130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  A )
19 simp122 1129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  A )
20 simp121 1128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  A )
2118, 19, 203jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )
)
22 simp131 1131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  S  e.  A )
23 simp132 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  T  e.  A )
2422, 23jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)
25 simp21 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
26 simp22 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  =/=  Q )
2711, 12, 13hlatexch2 34192 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  R  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2817, 20, 18, 19, 26, 27syl131anc 1241 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2925, 28mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  P  .<_  ( R  .\/  Q ) )
30 hllat 34160 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3117, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
32 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3332, 13atbase 34086 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3418, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3532, 13atbase 34086 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3620, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3732, 13atbase 34086 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3819, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3932, 11, 12latnlej1r 15553 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  =/=  Q )
4031, 34, 36, 38, 25, 39syl131anc 1241 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  =/=  Q )
41 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )
4211, 12, 133atlem4 34282 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( -.  P  .<_  ( R  .\/  Q )  /\  R  =/=  Q
)  /\  ( ( R  .\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
4317, 21, 24, 29, 40, 41, 42syl321anc 1250 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
44433expia 1198 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
45 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  HL )
4645, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  Lat )
47 simpl21 1074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  A )
4847, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
49 simpl22 1075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  A )
5049, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
51 simpl23 1076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  A )
5251, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
5332, 12latj31 15582 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P ) )
5446, 48, 50, 52, 53syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R  .\/  Q ) 
.\/  P ) )
5554breq1d 4457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  <-> 
( ( R  .\/  Q )  .\/  P ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
5654eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P )  <->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
5744, 55, 563imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
585, 16, 57pm2.61ne 2782 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
59583impia 1193 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   joincjn 15427   Latclat 15528   Atomscatm 34060   HLchlt 34147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-lat 15529  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148
This theorem is referenced by:  3atlem6  34284  3atlem7  34285
  Copyright terms: Public domain W3C validator