Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem5 Structured version   Unicode version

Theorem 3atlem5 32504
Description: Lemma for 3at 32507. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3atlem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )

Proof of Theorem 3atlem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 6286 . . . . . 6  |-  ( U  =  P  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
21eqcoms 2414 . . . . 5  |-  ( P  =  U  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
32breq2d 4407 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
42eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
53, 4imbi12d 318 . . 3  |-  ( P  =  U  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) ) )
6 simp1l 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
) )
7 simp1r1 1093 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
8 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  =/=  U )
9 simp1r3 1095 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
10 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )
11 3at.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 3at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 3at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1411, 12, 133atlem3 32502 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  U  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
156, 7, 8, 9, 10, 14syl131anc 1243 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
16153expia 1199 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )
)  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/= 
Q  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) ) )  /\  P  =/=  U )  -> 
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
17 simp11 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  HL )
18 simp123 1131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  A )
19 simp122 1130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  A )
20 simp121 1129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  A )
2118, 19, 203jca 1177 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )
)
22 simp131 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  S  e.  A )
23 simp132 1133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  T  e.  A )
2422, 23jca 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  A )
)
25 simp21 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
26 simp22 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  =/=  Q )
2711, 12, 13hlatexch2 32413 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  R  e.  A  /\  Q  e.  A
)  /\  P  =/=  Q )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q
)  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2817, 20, 18, 19, 26, 27syl131anc 1243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  ( P  .<_  ( R  .\/  Q )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
2925, 28mtod 177 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  -.  P  .<_  ( R  .\/  Q ) )
30 hllat 32381 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3117, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  K  e.  Lat )
32 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3332, 13atbase 32307 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3418, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
3532, 13atbase 32307 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3620, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
3732, 13atbase 32307 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3819, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3932, 11, 12latnlej1r 16024 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  =/=  Q )
4031, 34, 36, 38, 25, 39syl131anc 1243 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  R  =/=  Q )
41 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )
4211, 12, 133atlem4 32503 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A ) )  /\  ( -.  P  .<_  ( R  .\/  Q )  /\  R  =/=  Q
)  /\  ( ( R  .\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
4317, 21, 24, 29, 40, 41, 42syl321anc 1252 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) )  ->  (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P ) )
44433expia 1199 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( R  .\/  Q
)  .\/  P )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
45 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  HL )
4645, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  K  e.  Lat )
47 simpl21 1075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  A )
4847, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
49 simpl22 1076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  A )
5049, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
51 simpl23 1077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  A )
5251, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
5332, 12latj31 16053 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P ) )
5446, 48, 50, 52, 53syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( R  .\/  Q ) 
.\/  P ) )
5554breq1d 4405 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  <-> 
( ( R  .\/  Q )  .\/  P ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P ) ) )
5654eqeq1d 2404 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  P )  <->  ( ( R 
.\/  Q )  .\/  P )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
5744, 55, 563imtr4d 268 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  P )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  P ) ) )
585, 16, 57pm2.61ne 2718 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  ->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
59583impia 1194 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  P  =/=  Q  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  /\  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   lecple 14916   joincjn 15897   Latclat 15999   Atomscatm 32281   HLchlt 32368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-lat 16000  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369
This theorem is referenced by:  3atlem6  32505  3atlem7  32506
  Copyright terms: Public domain W3C validator