Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem1 Structured version   Unicode version

Theorem 3atlem1 34680
Description: Lemma for 3at 34687. (Contributed by NM, 22-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
3atlem1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )

Proof of Theorem 3atlem1
StepHypRef Expression
1 simp11 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp131 1131 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  S  e.  A )
3 simp132 1132 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  T  e.  A )
4 simp133 1133 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  U  e.  A )
5 3at.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 3at.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6hlatjass 34567 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  ->  (
( S  .\/  T
)  .\/  U )  =  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) ) )
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( S 
.\/  ( T  .\/  U ) ) )
9 simp121 1128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  e.  A )
10 simp122 1129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  Q  e.  A )
11 simp123 1130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  e.  A )
125, 6hlatjass 34567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) ) )
131, 9, 10, 11, 12syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( P 
.\/  ( Q  .\/  R ) ) )
14 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )
1513, 14eqbrtrrd 4475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R
) )  .<_  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
16 hllat 34561 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
171, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  K  e.  Lat )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 6atbase 34487 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
209, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
2118, 5, 6hlatjcl 34564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
221, 10, 11, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
2318, 5, 6hlatjcl 34564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  T  e.  A )  ->  ( S  .\/  T
)  e.  ( Base `  K ) )
241, 2, 3, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( S  .\/  T )  e.  (
Base `  K )
)
2518, 6atbase 34487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  A  ->  U  e.  ( Base `  K
) )
264, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
2718, 5latjcl 15555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  .\/  T )  e.  ( Base `  K
)  /\  U  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  ( Base `  K ) )
2817, 24, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  ( Base `  K ) )
29 3at.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
3018, 29, 5latjle12 15566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( P 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  /\  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  <->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R
) )  .<_  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
3117, 20, 22, 28, 30syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .<_  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  /\  ( Q 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  <->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) ) )
3215, 31mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  /\  ( Q  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) ) )
3332simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  .<_  ( ( S  .\/  T
)  .\/  U )
)
3433, 8breqtrd 4477 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  P  .<_  ( S  .\/  ( T 
.\/  U ) ) )
3518, 5, 6hlatjcl 34564 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
361, 3, 4, 35syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( T  .\/  U )  e.  (
Base `  K )
)
37 simp22 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  P  .<_  ( T  .\/  U
) )
3818, 29, 5, 6hlexchb2 34582 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  ( T  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  P  .<_  ( T 
.\/  U ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  ( T 
.\/  U ) )  <-> 
( P  .\/  ( T  .\/  U ) )  =  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) ) ) )
391, 9, 2, 36, 37, 38syl131anc 1241 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .<_  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) )  <-> 
( P  .\/  ( T  .\/  U ) )  =  ( S  .\/  ( T  .\/  U ) ) ) )
4034, 39mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  ( T  .\/  U
) )  =  ( S  .\/  ( T 
.\/  U ) ) )
415, 6hlatj12 34568 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  ( T  .\/  U ) )  =  ( T  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
421, 9, 3, 4, 41syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  ( T  .\/  U
) )  =  ( T  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
438, 40, 423eqtr2d 2514 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( T 
.\/  ( P  .\/  U ) ) )
445, 6hlatj12 34568 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R ) )  =  ( Q  .\/  ( P 
.\/  R ) ) )
451, 9, 10, 11, 44syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  ( Q  .\/  R
) )  =  ( Q  .\/  ( P 
.\/  R ) ) )
4615, 45, 433brtr3d 4482 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  R
) )  .<_  ( T 
.\/  ( P  .\/  U ) ) )
4718, 6atbase 34487 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4810, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
4918, 5, 6hlatjcl 34564 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( P  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
501, 9, 11, 49syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
5118, 6atbase 34487 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  A  ->  T  e.  ( Base `  K
) )
523, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  T  e.  ( Base `  K )
)
5318, 5, 6hlatjcl 34564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  U  e.  A )  ->  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )
541, 9, 4, 53syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  U )  e.  (
Base `  K )
)
5518, 5latjcl 15555 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  T  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( T  .\/  ( P  .\/  U ) )  e.  (
Base `  K )
)
5617, 52, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( T  .\/  ( P  .\/  U
) )  e.  (
Base `  K )
)
5718, 29, 5latjle12 15566 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( T  .\/  ( P  .\/  U
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( Q  .<_  ( T 
.\/  ( P  .\/  U ) )  /\  ( P  .\/  R )  .<_  ( T  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( P  .\/  R ) )  .<_  ( T  .\/  ( P  .\/  U
) ) ) )
5817, 48, 50, 56, 57syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( Q  .<_  ( T  .\/  ( P  .\/  U ) )  /\  ( P 
.\/  R )  .<_  ( T  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )  <->  ( Q  .\/  ( P  .\/  R ) )  .<_  ( T  .\/  ( P  .\/  U
) ) ) )
5946, 58mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .<_  ( T  .\/  ( P  .\/  U ) )  /\  ( P  .\/  R )  .<_  ( T  .\/  ( P  .\/  U
) ) ) )
6059simpld 459 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  Q  .<_  ( T  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
61 simp23 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U
) )
6218, 29, 5, 6hlexchb2 34582 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  T  e.  A  /\  ( P  .\/  U
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  Q  .<_  ( P 
.\/  U ) )  ->  ( Q  .<_  ( T  .\/  ( P 
.\/  U ) )  <-> 
( Q  .\/  ( P  .\/  U ) )  =  ( T  .\/  ( P  .\/  U ) ) ) )
631, 10, 3, 54, 61, 62syl131anc 1241 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .<_  ( T  .\/  ( P  .\/  U ) )  <-> 
( Q  .\/  ( P  .\/  U ) )  =  ( T  .\/  ( P  .\/  U ) ) ) )
6460, 63mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  U
) )  =  ( T  .\/  ( P 
.\/  U ) ) )
6518, 5latj13 15602 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( Q  .\/  ( P  .\/  U ) )  =  ( U  .\/  ( P  .\/  Q ) ) )
6617, 48, 20, 26, 65syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  U
) )  =  ( U  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
6743, 64, 663eqtr2d 2514 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  =  ( U 
.\/  ( P  .\/  Q ) ) )
6818, 5, 6hlatjcl 34564 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
691, 9, 10, 68syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
7018, 6atbase 34487 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
7111, 70syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  e.  ( Base `  K )
)
7218, 29, 5latjle12 15566 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  /\  R  .<_  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )  <-> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) ) )
7317, 69, 71, 28, 72syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .<_  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U )  /\  R  .<_  ( ( S  .\/  T
)  .\/  U )
)  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) ) )
7414, 73mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  /\  R  .<_  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) ) )
7574simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  .<_  ( ( S  .\/  T
)  .\/  U )
)
7675, 67breqtrd 4477 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  R  .<_  ( U  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
77 simp21 1029 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
7818, 29, 5, 6hlexchb2 34582 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  U  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( R  .<_  ( U  .\/  ( P 
.\/  Q ) )  <-> 
( R  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( U  .\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
791, 11, 4, 69, 77, 78syl131anc 1241 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( R  .<_  ( U  .\/  ( P  .\/  Q ) )  <-> 
( R  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( U  .\/  ( P  .\/  Q ) ) ) )
8076, 79mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( R  .\/  ( P  .\/  Q
) )  =  ( U  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
8118, 5latjcom 15563 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( R  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
)
8217, 71, 69, 81syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( R  .\/  ( P  .\/  Q
) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
)
8367, 80, 823eqtr2rd 2515 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  P  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  U ) )  /\  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .<_  ( ( S  .\/  T )  .\/  U ) )  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( ( S  .\/  T ) 
.\/  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579   joincjn 15448   Latclat 15549   Atomscatm 34461   HLchlt 34548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-poset 15450  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-lat 15550  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549
This theorem is referenced by:  3atlem3  34682
  Copyright terms: Public domain W3C validator