Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2zrngnmlid 40053
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2zrngbas.r  |-  R  =  (flds  E )
2zrngmmgm.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid  |-  A. b  e.  E  E. a  e.  E  ( b  x.  a )  =/=  a
Distinct variable groups:    x, z    E, a, b    R, a, b, x, z    x, E, z    M, a, b
Allowed substitution hints:    M( x, z)

Proof of Theorem 2zrngnmlid
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . . . 5  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
212even 40037 . . . 4  |-  2  e.  E
32a1i 11 . . 3  |-  ( b  e.  E  ->  2  e.  E )
4 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( a  =  2  ->  (
b  x.  a )  =  ( b  x.  2 ) )
5 id 22 . . . . 5  |-  ( a  =  2  ->  a  =  2 )
64, 5neeq12d 2687 . . . 4  |-  ( a  =  2  ->  (
( b  x.  a
)  =/=  a  <->  ( b  x.  2 )  =/=  2
) )
76adantl 468 . . 3  |-  ( ( b  e.  E  /\  a  =  2 )  ->  ( ( b  x.  a )  =/=  a  <->  ( b  x.  2 )  =/=  2
) )
8 elrabi 3195 . . . . . 6  |-  ( b  e.  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  ->  b  e.  ZZ )
98zcnd 11048 . . . . 5  |-  ( b  e.  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  ->  b  e.  CC )
109, 1eleq2s 2549 . . . 4  |-  ( b  e.  E  ->  b  e.  CC )
1111neven 40036 . . . . . . . 8  |-  1  e/  E
12 elnelne2 2737 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  E  /\  1  e/  E )  -> 
b  =/=  1 )
1311, 12mpan2 678 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  E  ->  b  =/=  1 )
1413adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  b  =/=  1 )
15 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  b  e.  CC )
16 2cnd 10689 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
17 2ne0 10709 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  2  =/=  0 )
1915, 16, 18divcan4d 10396 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( ( b  x.  2 )  /  2
)  =  b )
20 2cnne0 10831 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
21 divid 10304 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( 2  /  2
)  =  1 )
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( 2  /  2
)  =  1 )
2314, 19, 223netr4d 2703 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( ( b  x.  2 )  /  2
)  =/=  ( 2  /  2 ) )
2415, 16mulcld 9668 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( b  x.  2 )  e.  CC )
2520a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
26 div11 10303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  x.  2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( b  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2  /  2
)  <->  ( b  x.  2 )  =  2 ) )
2724, 16, 25, 26syl3anc 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( ( ( b  x.  2 )  / 
2 )  =  ( 2  /  2 )  <-> 
( b  x.  2 )  =  2 ) )
2827biimprd 227 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( ( b  x.  2 )  =  2  ->  ( ( b  x.  2 )  / 
2 )  =  ( 2  /  2 ) ) )
2928necon3d 2647 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( ( ( b  x.  2 )  / 
2 )  =/=  (
2  /  2 )  ->  ( b  x.  2 )  =/=  2
) )
3023, 29mpd 15 . . . 4  |-  ( ( b  e.  E  /\  b  e.  CC )  ->  ( b  x.  2 )  =/=  2 )
3110, 30mpdan 675 . . 3  |-  ( b  e.  E  ->  (
b  x.  2 )  =/=  2 )
323, 7, 31rspcedvd 3157 . 2  |-  ( b  e.  E  ->  E. a  e.  E  ( b  x.  a )  =/=  a
)
3332rgen 2749 1  |-  A. b  e.  E  E. a  e.  E  ( b  x.  a )  =/=  a
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624    e/ wnel 2625   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549    / cdiv 10276   2c2 10666   ZZcz 10944   ↾s cress 15134  mulGrpcmgp 17735  ℂfldccnfld 18982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945
This theorem is referenced by:  2zrngnring  40056
  Copyright terms: Public domain W3C validator