Theorem 2zrngnmlid 32942

Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	|- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
2zrngbas.r	|- R = (ℂfld ↾s E )
2zrngmmgm.1	|- M = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmlid	|- A. b e. E E. a e. E ( b x. a ) =/= a

Distinct variable groups:   x, z   E, a, b   R, a, b, x, z   x, E, z   M, a, b

Allowed substitution hints:   M( x, z)

Proof of Theorem 2zrngnmlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . . . 5 |- E = { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) }
2	1	2even 32926	. . . 4 |- 2 e. E
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( b e. E -> 2 e. E )
4		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( a = 2 -> ( b x. a ) = ( b x. 2 ) )
5		id 22	. . . . 5 |- ( a = 2 -> a = 2 )
6	4, 5	neeq12d 2736	. . . 4 |- ( a = 2 -> ( ( b x. a ) =/= a <-> ( b x. 2 ) =/= 2 ) )
7	6	adantl 466	. . 3 |- ( ( b e. E /\ a = 2 ) -> ( ( b x. a ) =/= a <-> ( b x. 2 ) =/= 2 ) )
8		elrabi 3254	. . . . . 6 |- ( b e. { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) } -> b e. ZZ )
9	8	zcnd 10991	. . . . 5 |- ( b e. { z e. ZZ | E. x e. ZZ z = ( 2 x. x ) } -> b e. CC )
10	9, 1	eleq2s 2565	. . . 4 |- ( b e. E -> b e. CC )
11	1	1neven 32925	. . . . . . . 8 |- 1 e/ E
12		elnelne2 2805	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. E /\ 1 e/ E ) -> b =/= 1 )
13	11, 12	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( b e. E -> b =/= 1 )
14	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> b =/= 1 )
15		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> b e. CC )
16		2cnd 10629	. . . . . . 7 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> 2 e. CC )
17		2ne0 10649	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> 2 =/= 0 )
19	15, 16, 18	divcan4d 10347	. . . . . 6 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( ( b x. 2 ) / 2 ) = b )
20		2cnne0 10771	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
21		divid 10255	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( 2 / 2 ) = 1 )
22	20, 21	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( 2 / 2 ) = 1 )
23	14, 19, 22	3netr4d 2762	. . . . 5 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( ( b x. 2 ) / 2 ) =/= ( 2 / 2 ) )
24	15, 16	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( b x. 2 ) e. CC )
25	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
26		div11 10254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b x. 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( b x. 2 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) <-> ( b x. 2 ) = 2 ) )
27	24, 16, 25, 26	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( ( ( b x. 2 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) <-> ( b x. 2 ) = 2 ) )
28	27	biimprd 223	. . . . . 6 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( ( b x. 2 ) = 2 -> ( ( b x. 2 ) / 2 ) = ( 2 / 2 ) ) )
29	28	necon3d 2681	. . . . 5 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( ( ( b x. 2 ) / 2 ) =/= ( 2 / 2 ) -> ( b x. 2 ) =/= 2 ) )
30	23, 29	mpd 15	. . . 4 |- ( ( b e. E /\ b e. CC ) -> ( b x. 2 ) =/= 2 )
31	10, 30	mpdan 668	. . 3 |- ( b e. E -> ( b x. 2 ) =/= 2 )
32	3, 7, 31	rspcedvd 3215	. 2 |- ( b e. E -> E. a e. E ( b x. a ) =/= a )
33	32	rgen 2817	1 |- A. b e. E E. a e. E ( b x. a ) =/= a

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   / cdiv 10227   2c2 10606   ZZcz 10885   ↾_s cress 14736  mulGrpcmgp 17359  ℂ_fldccnfld 18638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886

This theorem is referenced by:  2zrngnring  32945