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Theorem 2zrngamgm 40447
Description: R is an (additive) magma. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2zrngbas.r  |-  R  =  (flds  E )
Assertion
Ref Expression
2zrngamgm  |-  R  e. Mgm
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    R( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem 2zrngamgm
Dummy variables  a 
b  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2475 . . . . . 6  |-  ( z  =  a  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  a  =  ( 2  x.  x
) ) )
21rexbidv 2892 . . . . 5  |-  ( z  =  a  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  x ) ) )
3 2zrng.e . . . . 5  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
42, 3elrab2 3186 . . . 4  |-  ( a  e.  E  <->  ( a  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  x ) ) )
5 eqeq1 2475 . . . . . 6  |-  ( z  =  b  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  b  =  ( 2  x.  x
) ) )
65rexbidv 2892 . . . . 5  |-  ( z  =  b  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x ) ) )
76, 3elrab2 3186 . . . 4  |-  ( b  e.  E  <->  ( b  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x ) ) )
8 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
98eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
a  =  ( 2  x.  x )  <->  a  =  ( 2  x.  y
) ) )
109cbvrexv 3006 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  x )  <->  E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y ) )
11 zaddcl 11001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
1211ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  +  b )  e.  ZZ )
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x )  /\  E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  ->  (
a  +  b )  e.  ZZ )
14 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) )  ->  y  e.  ZZ )
15 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  ->  x  e.  ZZ )
16 zaddcl 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  +  x
)  e.  ZZ )
1714, 15, 16syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y
) ) )  -> 
( y  +  x
)  e.  ZZ )
1817adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( y  +  x
)  e.  ZZ )
19 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( y  +  x )  ->  (
2  x.  z )  =  ( 2  x.  ( y  +  x
) ) )
2019eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( y  +  x )  ->  (
( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( 2  x.  z )  <->  ( 2  x.  ( y  +  x ) )  =  ( 2  x.  (
y  +  x ) ) ) )
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  z  =  ( y  +  x ) )  -> 
( ( 2  x.  ( y  +  x
) )  =  ( 2  x.  z )  <-> 
( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( 2  x.  ( y  +  x ) ) ) )
22 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( 2  x.  ( y  +  x ) ) )
2318, 21, 22rspcedvd 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  ->  E. z  e.  ZZ  ( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( 2  x.  z ) )
24 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) )  ->  a  =  ( 2  x.  y ) )
25 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  ->  b  =  ( 2  x.  x ) )
2624, 25oveqan12rd 6328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y
) ) )  -> 
( a  +  b )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  x ) ) )
2726adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( a  +  b )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  x ) ) )
28 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y
) ) )  -> 
2  e.  CC )
29 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) )  ->  y  e.  CC )
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y
) ) )  -> 
y  e.  CC )
32 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  ->  x  e.  CC )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y
) ) )  ->  x  e.  CC )
3528, 31, 34adddid 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y
) ) )  -> 
( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  x ) ) )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  x ) ) )
3727, 36eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( a  +  b )  =  ( 2  x.  ( y  +  x ) ) )
3837eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z )  <-> 
( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( 2  x.  z ) ) )
3938rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( E. z  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z )  <->  E. z  e.  ZZ  ( 2  x.  (
y  +  x ) )  =  ( 2  x.  z ) ) )
4023, 39mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x
) )  /\  (
y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ ) )  ->  E. z  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z ) )
4140ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  a  =  ( 2  x.  y
) ) )  -> 
( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z ) ) )
4241rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  b  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y )  ->  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z ) ) ) )
4342rexlimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x )  ->  ( E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y )  -> 
( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z ) ) ) )
4443imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x )  /\  E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y ) )  -> 
( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  E. z  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z ) ) )
45 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  z ) )
4645eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( a  +  b )  =  ( 2  x.  x )  <->  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z
) ) )
4746cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  (
a  +  b )  =  ( 2  x.  x )  <->  E. z  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  z ) )
4844, 47syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x )  /\  E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y ) )  -> 
( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  x ) ) )
4948impcom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x )  /\  E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  x ) )
50 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a  +  b )  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  x
) ) )
5150rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a  +  b )  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  ( a  +  b )  =  ( 2  x.  x ) ) )
5251, 3elrab2 3186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  +  b )  e.  E  <->  ( (
a  +  b )  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  (
a  +  b )  =  ( 2  x.  x ) ) )
5313, 49, 52sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x )  /\  E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y ) ) )  ->  (
a  +  b )  e.  E )
5453exp32 616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x )  ->  ( E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y )  ->  ( a  +  b )  e.  E
) ) )
5554impancom 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( a  e.  ZZ  ->  ( E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y )  ->  ( a  +  b )  e.  E
) ) )
5655com13 82 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  y )  ->  (
a  e.  ZZ  ->  ( ( b  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( a  +  b )  e.  E
) ) )
5710, 56sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  x )  ->  (
a  e.  ZZ  ->  ( ( b  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( a  +  b )  e.  E
) ) )
5857impcom 437 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( ( b  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( a  +  b )  e.  E ) )
5958imp 436 . . . 4  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  a  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( b  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  b  =  ( 2  x.  x ) ) )  ->  (
a  +  b )  e.  E )
604, 7, 59syl2anb 487 . . 3  |-  ( ( a  e.  E  /\  b  e.  E )  ->  ( a  +  b )  e.  E )
6160rgen2a 2820 . 2  |-  A. a  e.  E  A. b  e.  E  ( a  +  b )  e.  E
62 0z 10972 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
63 2cn 10702 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
64 0zd 10973 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  0  e.  ZZ )
65 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
6665eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
0  =  ( 2  x.  x )  <->  0  =  ( 2  x.  0 ) ) )
6766adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  =  0 )  ->  ( 0  =  ( 2  x.  x
)  <->  0  =  ( 2  x.  0 ) ) )
68 mul01 9830 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  x.  0 )  =  0 )
6968eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  0  =  ( 2  x.  0 ) )
7064, 67, 69rspcedvd 3143 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  ->  E. x  e.  ZZ  0  =  ( 2  x.  x ) )
7163, 70ax-mp 5 . . . . 5  |-  E. x  e.  ZZ  0  =  ( 2  x.  x )
72 eqeq1 2475 . . . . . . 7  |-  ( z  =  0  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  0  =  ( 2  x.  x
) ) )
7372rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( z  =  0  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  0  =  ( 2  x.  x ) ) )
7473elrab 3184 . . . . 5  |-  ( 0  e.  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  0  =  ( 2  x.  x ) ) )
7562, 71, 74mpbir2an 934 . . . 4  |-  0  e.  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
7675, 3eleqtrri 2548 . . 3  |-  0  e.  E
77 2zrngbas.r . . . . 5  |-  R  =  (flds  E )
783, 772zrngbas 40444 . . . 4  |-  E  =  ( Base `  R
)
793, 772zrngadd 40445 . . . 4  |-  +  =  ( +g  `  R )
8078, 79ismgmn0 16568 . . 3  |-  ( 0  e.  E  ->  ( R  e. Mgm  <->  A. a  e.  E  A. b  e.  E  ( a  +  b )  e.  E ) )
8176, 80ax-mp 5 . 2  |-  ( R  e. Mgm 
<-> 
A. a  e.  E  A. b  e.  E  ( a  +  b )  e.  E )
8261, 81mpbir 214 1  |-  R  e. Mgm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557    + caddc 9560    x. cmul 9562   2c2 10681   ZZcz 10961   ↾s cress 15200  Mgmcmgm 16564  ℂfldccnfld 19047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-mgm 16566  df-cnfld 19048
This theorem is referenced by:  2zrngasgrp  40448
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