Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrng0 Structured version   Unicode version

Theorem 2zrng0 32888
Description: The additive identity of R is the complex number 0. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2zrngbas.r  |-  R  =  (flds  E )
Assertion
Ref Expression
2zrng0  |-  0  =  ( 0g `  R )
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    R( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem 2zrng0
StepHypRef Expression
1 cncrng 18566 . . 3  |-fld  e.  CRing
2 crngring 17336 . . 3  |-  (fld  e.  CRing  ->fld  e.  Ring )
3 ringmnd 17334 . . 3  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Mnd )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-fld  e.  Mnd
5 2zrng.e . . 3  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
650even 32881 . 2  |-  0  e.  E
7 ssrab2 3581 . . . 4  |-  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  C_  ZZ
85, 7eqsstri 3529 . . 3  |-  E  C_  ZZ
9 zsscn 10893 . . 3  |-  ZZ  C_  CC
108, 9sstri 3508 . 2  |-  E  C_  CC
11 2zrngbas.r . . 3  |-  R  =  (flds  E )
12 cnfldbas 18551 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
13 cnfld0 18569 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
1411, 12, 13ress0g 16076 . 2  |-  ( (fld  e. 
Mnd  /\  0  e.  E  /\  E  C_  CC )  ->  0  =  ( 0g `  R ) )
154, 6, 10, 14mp3an 1324 1  |-  0  =  ( 0g `  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    x. cmul 9514   2c2 10606   ZZcz 10885   ↾s cress 14645   0gc0g 14857   Mndcmnd 16046   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326  ℂfldccnfld 18547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ring 17327  df-cring 17328  df-cnfld 18548
This theorem is referenced by:  2zrngagrp  32893
  Copyright terms: Public domain W3C validator