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Theorem 2zlidl 32927
Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2zlidl.u  |-  U  =  (LIdeal ` ring )
Assertion
Ref Expression
2zlidl  |-  E  e.  U
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    U( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem 2zlidl
Dummy variables  a 
b  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2 ssrab2 3581 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3529 . 2  |-  E  C_  ZZ
410even 32924 . . 3  |-  0  e.  E
54ne0ii 3800 . 2  |-  E  =/=  (/)
6 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  j  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  j  =  ( 2  x.  x
) ) )
76rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( z  =  j  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) ) )
87, 1elrab2 3259 . . . . . 6  |-  ( j  e.  E  <->  ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) ) )
9 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  k  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  k  =  ( 2  x.  x
) ) )
109rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( z  =  k  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )
1110, 1elrab2 3259 . . . . . 6  |-  ( k  e.  E  <->  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )
128, 11anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  E  /\  k  e.  E )  <->  ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
13 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
14 simprll 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
1513, 14zmulcld 10996 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( i  x.  j )  e.  ZZ )
16 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
k  e.  ZZ )
1716adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1817adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1915, 18zaddcld 10994 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  ZZ )
20 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  a ) )
2120eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
j  =  ( 2  x.  x )  <->  j  =  ( 2  x.  a
) ) )
2221cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x )  <->  E. a  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  a ) )
23 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  b ) )
2423eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
k  =  ( 2  x.  x )  <->  k  =  ( 2  x.  b
) ) )
2524cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x )  <->  E. b  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  b ) )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  e.  ZZ )
27 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
2926, 28zmulcld 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  a
)  e.  ZZ )
30 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  b  e.  ZZ )
3129, 30zaddcld 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  a )  +  b )  e.  ZZ )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  j  =  ( 2  x.  a ) )
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  j  =  ( 2  x.  a ) )
3433oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  (
i  x.  j )  =  ( i  x.  ( 2  x.  a
) ) )
35 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  k  =  ( 2  x.  b ) )
3634, 35oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( ( i  x.  ( 2  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b
) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( ( i  x.  ( 2  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
38 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( i  x.  a )  +  b )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) )
3937, 38eqeqan12d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )
)  /\  i  e.  ZZ )  /\  x  =  ( ( i  x.  a )  +  b ) )  -> 
( ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x )  <-> 
( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) ) )
40 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  CC )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  e.  CC )
42 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
43 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  a  e.  CC )
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
4741, 42, 46mul12d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  (
2  x.  a ) )  =  ( 2  x.  ( i  x.  a ) ) )
4847oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
4941, 46mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  a
)  e.  CC )
50 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
5150ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
5242, 49, 51adddid 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
( i  x.  a
)  +  b ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
5348, 52eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) )
5431, 39, 53rspcedvd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) )
5554exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5655rexlimiva 2945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  b )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5725, 56sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5857impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
5958expdcom 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  ( j  e.  ZZ  ->  ( (
k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6059rexlimiva 2945 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  a )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6122, 60sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6261impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
6362imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6463impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) )
65 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( i  x.  j )  +  k )  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  ( (
i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x
) ) )
6665rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( i  x.  j )  +  k )  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6766, 1elrab2 3259 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  x.  j
)  +  k )  e.  E  <->  ( (
( i  x.  j
)  +  k )  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6819, 64, 67sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  E )
6912, 68sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( j  e.  E  /\  k  e.  E
) )  ->  (
( i  x.  j
)  +  k )  e.  E )
7069ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  E )
7170rgen 2817 . 2  |-  A. i  e.  ZZ  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( ( i  x.  j )  +  k )  e.  E
72 2zlidl.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal ` ring )
73 zringbas 18712 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
74 zringplusg 18713 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` ring )
75 zringmulr 18715 . . 3  |-  x.  =  ( .r ` ring )
7672, 73, 74, 75islidl 18076 . 2  |-  ( E  e.  U  <->  ( E  C_  ZZ  /\  E  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ZZ  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( ( i  x.  j )  +  k )  e.  E
) )
773, 5, 71, 76mpbir3an 1178 1  |-  E  e.  U
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514   2c2 10606   ZZcz 10885  LIdealclidl 18034  ℤringzring 18706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-sca 14819  df-vsca 14820  df-ip 14821  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-lss 17797  df-sra 18036  df-rgmod 18037  df-lidl 18038  df-cnfld 18639  df-zring 18707
This theorem is referenced by:  2zrng  32928
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