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Theorem 2zlidl 40442
Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2zlidl.u  |-  U  =  (LIdeal ` ring )
Assertion
Ref Expression
2zlidl  |-  E  e.  U
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    U( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem 2zlidl
Dummy variables  a 
b  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2 ssrab2 3500 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3448 . 2  |-  E  C_  ZZ
410even 40439 . . 3  |-  0  e.  E
54ne0ii 3729 . 2  |-  E  =/=  (/)
6 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  j  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  j  =  ( 2  x.  x
) ) )
76rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( z  =  j  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) ) )
87, 1elrab2 3186 . . . . . 6  |-  ( j  e.  E  <->  ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) ) )
9 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  k  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  k  =  ( 2  x.  x
) ) )
109rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( z  =  k  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )
1110, 1elrab2 3186 . . . . . 6  |-  ( k  e.  E  <->  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )
128, 11anbi12i 711 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  E  /\  k  e.  E )  <->  ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
13 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
14 simprll 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
1513, 14zmulcld 11069 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( i  x.  j )  e.  ZZ )
16 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
k  e.  ZZ )
1716adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1817adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1915, 18zaddcld 11067 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  ZZ )
20 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  a ) )
2120eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
j  =  ( 2  x.  x )  <->  j  =  ( 2  x.  a
) ) )
2221cbvrexv 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x )  <->  E. a  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  a ) )
23 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  b ) )
2423eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
k  =  ( 2  x.  x )  <->  k  =  ( 2  x.  b
) ) )
2524cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x )  <->  E. b  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  b ) )
26 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  e.  ZZ )
27 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
2926, 28zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  a
)  e.  ZZ )
30 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  b  e.  ZZ )
3129, 30zaddcld 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  a )  +  b )  e.  ZZ )
32 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  j  =  ( 2  x.  a ) )
3332ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  j  =  ( 2  x.  a ) )
3433oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  (
i  x.  j )  =  ( i  x.  ( 2  x.  a
) ) )
35 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  k  =  ( 2  x.  b ) )
3634, 35oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( ( i  x.  ( 2  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b
) ) )
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( ( i  x.  ( 2  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
38 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( i  x.  a )  +  b )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) )
3937, 38eqeqan12d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )
)  /\  i  e.  ZZ )  /\  x  =  ( ( i  x.  a )  +  b ) )  -> 
( ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x )  <-> 
( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) ) )
40 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  CC )
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  e.  CC )
42 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
43 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  a  e.  CC )
4544ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
4741, 42, 46mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  (
2  x.  a ) )  =  ( 2  x.  ( i  x.  a ) ) )
4847oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
4941, 46mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  a
)  e.  CC )
50 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
5150ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
5242, 49, 51adddid 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
( i  x.  a
)  +  b ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
5348, 52eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) )
5431, 39, 53rspcedvd 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) )
5554exp41 621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5655rexlimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  b )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5725, 56sylbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5857impcom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
5958expdcom 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  ( j  e.  ZZ  ->  ( (
k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6059rexlimiva 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  a )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6122, 60sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6261impcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
6362imp 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6463impcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) )
65 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( i  x.  j )  +  k )  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  ( (
i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x
) ) )
6665rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( i  x.  j )  +  k )  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6766, 1elrab2 3186 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  x.  j
)  +  k )  e.  E  <->  ( (
( i  x.  j
)  +  k )  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6819, 64, 67sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  E )
6912, 68sylan2b 483 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( j  e.  E  /\  k  e.  E
) )  ->  (
( i  x.  j
)  +  k )  e.  E )
7069ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  E )
7170rgen 2766 . 2  |-  A. i  e.  ZZ  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( ( i  x.  j )  +  k )  e.  E
72 2zlidl.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal ` ring )
73 zringbas 19122 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
74 zringplusg 19123 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` ring )
75 zringmulr 19125 . . 3  |-  x.  =  ( .r ` ring )
7672, 73, 74, 75islidl 18512 . 2  |-  ( E  e.  U  <->  ( E  C_  ZZ  /\  E  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ZZ  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( ( i  x.  j )  +  k )  e.  E
) )
773, 5, 71, 76mpbir3an 1212 1  |-  E  e.  U
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557    + caddc 9560    x. cmul 9562   2c2 10681   ZZcz 10961  LIdealclidl 18471  ℤringzring 19116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-cnfld 19048  df-zring 19117
This theorem is referenced by:  2zrng  40443
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