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Theorem 2zlidl 40038
Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2zlidl.u  |-  U  =  (LIdeal ` ring )
Assertion
Ref Expression
2zlidl  |-  E  e.  U
Distinct variable group:    x, z
Allowed substitution hints:    U( x, z)    E( x, z)

Proof of Theorem 2zlidl
Dummy variables  a 
b  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3  |-  E  =  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }
2 ssrab2 3516 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x ) }  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3464 . 2  |-  E  C_  ZZ
410even 40035 . . 3  |-  0  e.  E
54ne0ii 3740 . 2  |-  E  =/=  (/)
6 eqeq1 2457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  j  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  j  =  ( 2  x.  x
) ) )
76rexbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( z  =  j  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) ) )
87, 1elrab2 3200 . . . . . 6  |-  ( j  e.  E  <->  ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) ) )
9 eqeq1 2457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  k  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  k  =  ( 2  x.  x
) ) )
109rexbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( z  =  k  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )
1110, 1elrab2 3200 . . . . . 6  |-  ( k  e.  E  <->  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )
128, 11anbi12i 704 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  E  /\  k  e.  E )  <->  ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
13 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
14 simprll 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
1513, 14zmulcld 11053 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( i  x.  j )  e.  ZZ )
16 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
k  e.  ZZ )
1716adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1817adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1915, 18zaddcld 11051 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  ZZ )
20 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  a ) )
2120eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
j  =  ( 2  x.  x )  <->  j  =  ( 2  x.  a
) ) )
2221cbvrexv 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x )  <->  E. a  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  a ) )
23 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  b ) )
2423eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
k  =  ( 2  x.  x )  <->  k  =  ( 2  x.  b
) ) )
2524cbvrexv 3022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x )  <->  E. b  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  b ) )
26 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  e.  ZZ )
27 simprll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
2926, 28zmulcld 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  a
)  e.  ZZ )
30 simp-4l 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  b  e.  ZZ )
3129, 30zaddcld 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  a )  +  b )  e.  ZZ )
32 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  j  =  ( 2  x.  a ) )
3332ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  j  =  ( 2  x.  a ) )
3433oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  (
i  x.  j )  =  ( i  x.  ( 2  x.  a
) ) )
35 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  k  =  ( 2  x.  b ) )
3634, 35oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( ( i  x.  ( 2  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b
) ) )
3736adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( ( i  x.  ( 2  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
38 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( i  x.  a )  +  b )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) )
3937, 38eqeqan12d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )
)  /\  i  e.  ZZ )  /\  x  =  ( ( i  x.  a )  +  b ) )  -> 
( ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x )  <-> 
( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) ) )
40 zcn 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  CC )
4140adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  i  e.  CC )
42 2cnd 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
43 zcn 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
4443adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  a  e.  CC )
4544ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
4741, 42, 46mul12d 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  (
2  x.  a ) )  =  ( 2  x.  ( i  x.  a ) ) )
4847oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
4941, 46mulcld 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  x.  a
)  e.  CC )
50 zcn 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
5150ad4antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
5242, 49, 51adddid 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  (
( i  x.  a
)  +  b ) )  =  ( ( 2  x.  ( i  x.  a ) )  +  ( 2  x.  b ) ) )
5348, 52eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( ( i  x.  ( 2  x.  a
) )  +  ( 2  x.  b ) )  =  ( 2  x.  ( ( i  x.  a )  +  b ) ) )
5431, 39, 53rspcedvd 3157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ ) )  /\  i  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) )
5554exp41 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  k  =  ( 2  x.  b ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5655rexlimiva 2877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  b )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5725, 56sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a
) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
5857impcom 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
5958expdcom 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  j  =  ( 2  x.  a ) )  ->  ( j  e.  ZZ  ->  ( (
k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6059rexlimiva 2877 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  a )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6122, 60sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) ) )
6261impcom 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  -> 
( ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) )  ->  ( i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) ) )
6362imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) )  ->  (
i  e.  ZZ  ->  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6463impcom 432 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) )
65 eqeq1 2457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( i  x.  j )  +  k )  ->  (
z  =  ( 2  x.  x )  <->  ( (
i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x
) ) )
6665rexbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( i  x.  j )  +  k )  ->  ( E. x  e.  ZZ  z  =  ( 2  x.  x )  <->  E. x  e.  ZZ  ( ( i  x.  j )  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6766, 1elrab2 3200 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  x.  j
)  +  k )  e.  E  <->  ( (
( i  x.  j
)  +  k )  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  (
( i  x.  j
)  +  k )  =  ( 2  x.  x ) ) )
6819, 64, 67sylanbrc 671 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( ( j  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  j  =  ( 2  x.  x ) )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  k  =  ( 2  x.  x ) ) ) )  ->  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  E )
6912, 68sylan2b 478 . . . 4  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  ( j  e.  E  /\  k  e.  E
) )  ->  (
( i  x.  j
)  +  k )  e.  E )
7069ralrimivva 2811 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( (
i  x.  j )  +  k )  e.  E )
7170rgen 2749 . 2  |-  A. i  e.  ZZ  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( ( i  x.  j )  +  k )  e.  E
72 2zlidl.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal ` ring )
73 zringbas 19057 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
74 zringplusg 19058 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` ring )
75 zringmulr 19060 . . 3  |-  x.  =  ( .r ` ring )
7672, 73, 74, 75islidl 18446 . 2  |-  ( E  e.  U  <->  ( E  C_  ZZ  /\  E  =/=  (/)  /\  A. i  e.  ZZ  A. j  e.  E  A. k  e.  E  ( ( i  x.  j )  +  k )  e.  E
) )
773, 5, 71, 76mpbir3an 1191 1  |-  E  e.  U
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544    + caddc 9547    x. cmul 9549   2c2 10666   ZZcz 10944  LIdealclidl 18405  ℤringzring 19051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-lss 18168  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-lidl 18409  df-cnfld 18983  df-zring 19052
This theorem is referenced by:  2zrng  40039
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