Theorem 2z 10666

Description: Two is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2z	|- 2 e. ZZ

Proof of Theorem 2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 10467	. 2 |- 2 e. NN
2	1	nnzi 10658	1 |- 2 e. ZZ

Syntax hints:   e. wcel 1755   2c2 10359   ZZcz 10634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-z 10635

This theorem is referenced by:  2eluzge0  10888  2eluzge1  10889  eluz2b1  10914  fzctr  11513  4fvwrd4  11517  fzo0to2pr  11598  fzo0to42pr  11600  flhalf  11658  2txmodxeq0  11743  sq1  11944  expnass  11955  sqrecd  11996  bcn2m1  12084  bcn2p1  12085  hashtpg  12170  swrdtrcfv0  12322  swrdtrcfvl  12328  iseraltlem2  13144  iseraltlem3  13145  climcndslem1  13295  climcnds  13297  efgt0  13370  tanval3  13401  cos01bnd  13453  cos01gt0  13458  n2dvds1  13565  odd2np1  13575  oddm1even  13576  oddp1even  13577  oexpneg  13578  bits0e  13608  bits0o  13609  bitsp1e  13611  bitsp1o  13612  bitsfzo  13614  bitsmod  13615  bitscmp  13617  bitsinv1lem  13620  bitsinv1  13621  isprm3  13755  2prm  13762  3prm  13763  divgcdodd  13788  opoe  13861  omoe  13862  opeo  13863  omeo  13864  oddprm  13865  pythagtriplem4  13869  pythagtriplem11  13875  pythagtriplem13  13877  iserodd  13885  dec2dvds  14075  prmlem0  14116  4001lem1  14148  psgnunilem4  15983  efgredleme  16220  lt6abl  16351  znidomb  17836  minveclem2  20755  minveclem3  20758  pjthlem1  20766  dyaddisjlem  20917  mbfi1fseqlem5  21039  iblcnlem1  21107  dvexp3  21292  aaliou3lem6  21699  tanregt0  21880  efif1olem4  21886  tanarg  21953  cubic2  22128  asinlem3  22151  atantayl2  22218  cxp2limlem  22254  basellem2  22304  basellem3  22305  basellem4  22306  basellem5  22307  basellem8  22310  basellem9  22311  ppisval  22326  ppiprm  22374  ppinprm  22375  chtprm  22376  chtnprm  22377  chtdif  22381  ppidif  22386  ppi1  22387  cht1  22388  cht3  22396  ppieq0  22399  ppiublem1  22426  ppiublem2  22427  chpeq0  22432  chtub  22436  chpval2  22442  chpub  22444  mersenne  22451  perfect1  22452  perfectlem1  22453  perfectlem2  22454  bposlem1  22508  bposlem2  22509  bposlem3  22510  bposlem5  22512  bposlem6  22513  lgslem1  22520  lgsdir2lem2  22548  lgsdir2lem3  22549  lgsdir2  22552  lgsqr  22570  lgseisenlem1  22573  lgseisenlem2  22574  lgseisenlem3  22575  lgseisenlem4  22576  lgsquadlem1  22578  lgsquadlem2  22579  lgsquad2lem1  22582  lgsquad2lem2  22583  lgsquad2  22584  lgsquad3  22585  m1lgs  22586  2sqblem  22601  chebbnd1lem1  22603  chebbnd1lem3  22605  chebbnd1  22606  dchrisum0lem1a  22620  dchrvmasumiflem1  22635  dchrisum0flblem1  22642  dchrisum0flblem2  22643  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem1  22650  dchrisum0lem2a  22651  dchrisum0lem2  22652  dchrisum0lem3  22653  mulog2sumlem2  22669  pntlemd  22728  pntlema  22730  pntlemb  22731  pntlemh  22733  pntlemr  22736  pntlemf  22739  pntlemo  22741  axlowdimlem3  23013  axlowdimlem6  23016  axlowdimlem16  23026  axlowdimlem17  23027  axlowdim  23030  usgraexvlem  23136  usgraexmpldifpr  23141  usgraexmpl  23142  cusgrasizeindb1  23202  2wlklemC  23278  2trllemD  23279  2trllemG  23280  wlkntrllem2  23282  constr2spthlem1  23316  2pthon  23324  3v3e3cycl1  23353  constr3lem4  23356  constr3trllem2  23360  constr3trllem3  23361  constr3trllem5  23363  constr3pthlem1  23364  constr3pthlem2  23365  4cycl4v4e  23375  4cycl4dv4e  23377  eupath2lem3  23423  eupath2  23424  ex-fl  23477  ex-dvds  23478  minvecolem3  24100  pjhthlem1  24617  archirngz  26030  archiabllem2c  26036  rnlogblem  26312  dya2ub  26539  dya2icoseg  26546  oddpwdc  26585  eulerpartlemd  26597  eulerpartlemt  26602  ballotlem2  26719  ballotlemfc0  26723  ballotlemfcc  26724  signslema  26811  lgamgulmlem3  26865  lgamgulmlem4  26866  4bc2eq6  27238  bpolydiflem  28044  nn0prpwlem  28361  acongrep  29168  acongeq  29171  jm2.18  29182  jm2.22  29189  jm2.23  29190  jm2.20nn  29191  jm2.26a  29194  jm2.26  29196  jm2.15nn0  29197  jm2.27a  29199  jm2.27c  29201  rmydioph  29208  jm3.1lem1  29211  jm3.1lem3  29213  expdiophlem1  29215  expdiophlem2  29216  stoweidlem26  29667  wallispilem4  29709  wallispi2lem1  29712  wallispi2lem2  29713  wallispi2  29714  stirlinglem1  29715  stirlinglem3  29717  stirlinglem7  29721  stirlinglem8  29722  stirlinglem10  29724  stirlinglem11  29725  stirlinglem15  29729  f13idfv  29994  nn0ge2m1nn  30030  nn0lt2  30032  nn01to3  30033  zadd2cl  30034  uzuzle23  30039  ige2m1fz  30052  prmn2uzge3  30095  ccat2s1p2  30112  ccatw2s1p1  30115  usgra2wlkspthlem2  30143  clwlkisclwwlklem2a1  30287  clwlkisclwwlklem2fv1  30290  clwlkisclwwlklem2fv2  30291  clwlkisclwwlklem2a4  30292  clwlkisclwwlklem2a  30293  clwwisshclwwlem  30316  frgrawopreglem2  30484  extwwlkfablem2  30517  numclwwlkovf2ex  30525  numclwwlk2lem1  30541  numclwlk2lem2f  30542  frgrareggt1  30555  nn0le2is012  30598  zlmodzxzequa  30768  zlmodzxznm  30769  zlmodzxzequap  30771  zlmodzxzldeplem1  30772  zlmodzxzldeplem3  30774  zlmodzxzldep  30776  ldepsnlinclem1  30777  ldepsnlinc  30780