MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2z Structured version   Unicode version

Theorem 2z 10788
Description: Two is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
2z  |-  2  e.  ZZ

Proof of Theorem 2z
StepHypRef Expression
1 2nn 10589 . 2  |-  2  e.  NN
21nnzi 10780 1  |-  2  e.  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   2c2 10481   ZZcz 10756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-z 10757
This theorem is referenced by:  2eluzge0  11010  2eluzge1  11011  eluz2b1  11036  fzctr  11645  4fvwrd4  11649  fzo0to2pr  11730  fzo0to42pr  11732  flhalf  11790  2txmodxeq0  11875  sq1  12076  expnass  12087  sqrecd  12128  bcn2m1  12216  bcn2p1  12217  hashtpg  12303  swrdtrcfv0  12455  swrdtrcfvl  12461  iseraltlem2  13277  iseraltlem3  13278  climcndslem1  13429  climcnds  13431  efgt0  13504  tanval3  13535  cos01bnd  13587  cos01gt0  13592  n2dvds1  13699  odd2np1  13709  oddm1even  13710  oddp1even  13711  oexpneg  13712  bits0e  13742  bits0o  13743  bitsp1e  13745  bitsp1o  13746  bitsfzo  13748  bitsmod  13749  bitscmp  13751  bitsinv1lem  13754  bitsinv1  13755  isprm3  13889  2prm  13896  3prm  13897  divgcdodd  13922  opoe  13995  omoe  13996  opeo  13997  omeo  13998  oddprm  13999  pythagtriplem4  14003  pythagtriplem11  14009  pythagtriplem13  14011  iserodd  14019  dec2dvds  14209  prmlem0  14250  4001lem1  14282  psgnunilem4  16121  efgredleme  16360  lt6abl  16491  znidomb  18118  minveclem2  21044  minveclem3  21047  pjthlem1  21055  dyaddisjlem  21207  mbfi1fseqlem5  21329  iblcnlem1  21397  dvexp3  21582  aaliou3lem6  21946  tanregt0  22127  efif1olem4  22133  tanarg  22200  cubic2  22375  asinlem3  22398  atantayl2  22465  cxp2limlem  22501  basellem2  22551  basellem3  22552  basellem4  22553  basellem5  22554  basellem8  22557  basellem9  22558  ppisval  22573  ppiprm  22621  ppinprm  22622  chtprm  22623  chtnprm  22624  chtdif  22628  ppidif  22633  ppi1  22634  cht1  22635  cht3  22643  ppieq0  22646  ppiublem1  22673  ppiublem2  22674  chpeq0  22679  chtub  22683  chpval2  22689  chpub  22691  mersenne  22698  perfect1  22699  perfectlem1  22700  perfectlem2  22701  bposlem1  22755  bposlem2  22756  bposlem3  22757  bposlem5  22759  bposlem6  22760  lgslem1  22767  lgsdir2lem2  22795  lgsdir2lem3  22796  lgsdir2  22799  lgsqr  22817  lgseisenlem1  22820  lgseisenlem2  22821  lgseisenlem3  22822  lgseisenlem4  22823  lgsquadlem1  22825  lgsquadlem2  22826  lgsquad2lem1  22829  lgsquad2lem2  22830  lgsquad2  22831  lgsquad3  22832  m1lgs  22833  2sqblem  22848  chebbnd1lem1  22850  chebbnd1lem3  22852  chebbnd1  22853  dchrisum0lem1a  22867  dchrvmasumiflem1  22882  dchrisum0flblem1  22889  dchrisum0flblem2  22890  dchrisum0lem1b  22896  dchrisum0lem1  22897  dchrisum0lem2a  22898  dchrisum0lem2  22899  dchrisum0lem3  22900  mulog2sumlem2  22916  pntlemd  22975  pntlema  22977  pntlemb  22978  pntlemh  22980  pntlemr  22983  pntlemf  22986  pntlemo  22988  istrkg2ld  23054  axlowdimlem3  23341  axlowdimlem6  23344  axlowdimlem16  23354  axlowdimlem17  23355  axlowdim  23358  usgraexvlem  23464  usgraexmpldifpr  23469  usgraexmpl  23470  cusgrasizeindb1  23530  2wlklemC  23606  2trllemD  23607  2trllemG  23608  wlkntrllem2  23610  constr2spthlem1  23644  2pthon  23652  3v3e3cycl1  23681  constr3lem4  23684  constr3trllem2  23688  constr3trllem3  23689  constr3trllem5  23691  constr3pthlem1  23692  constr3pthlem2  23693  4cycl4v4e  23703  4cycl4dv4e  23705  eupath2lem3  23751  eupath2  23752  ex-fl  23805  ex-dvds  23806  minvecolem3  24428  pjhthlem1  24945  archirngz  26350  archiabllem2c  26356  rnlogblem  26602  dya2ub  26828  dya2icoseg  26835  oddpwdc  26880  eulerpartlemd  26892  eulerpartlemt  26897  ballotlem2  27014  ballotlemfc0  27018  ballotlemfcc  27019  signslema  27106  lgamgulmlem3  27160  lgamgulmlem4  27161  4bc2eq6  27534  bpolydiflem  28340  nn0prpwlem  28664  acongrep  29470  acongeq  29473  jm2.18  29484  jm2.22  29491  jm2.23  29492  jm2.20nn  29493  jm2.26a  29496  jm2.26  29498  jm2.15nn0  29499  jm2.27a  29501  jm2.27c  29503  rmydioph  29510  jm3.1lem1  29513  jm3.1lem3  29515  expdiophlem1  29517  expdiophlem2  29518  stoweidlem26  29968  wallispilem4  30010  wallispi2lem1  30013  wallispi2lem2  30014  wallispi2  30015  stirlinglem1  30016  stirlinglem3  30018  stirlinglem7  30022  stirlinglem8  30023  stirlinglem10  30025  stirlinglem11  30026  stirlinglem15  30030  f13idfv  30295  nn0ge2m1nn  30331  nn0lt2  30333  nn01to3  30334  zadd2cl  30335  uzuzle23  30340  ige2m1fz  30353  prmn2uzge3  30396  ccat2s1p2  30413  ccatw2s1p1  30416  usgra2wlkspthlem2  30444  clwlkisclwwlklem2a1  30588  clwlkisclwwlklem2fv1  30591  clwlkisclwwlklem2fv2  30592  clwlkisclwwlklem2a4  30593  clwlkisclwwlklem2a  30594  clwwisshclwwlem  30617  frgrawopreglem2  30785  extwwlkfablem2  30818  numclwwlkovf2ex  30826  numclwwlk2lem1  30842  numclwlk2lem2f  30843  frgrareggt1  30856  nn0le2is012  30915  zlmodzxzequa  31156  zlmodzxznm  31157  zlmodzxzequap  31159  zlmodzxzldeplem1  31160  zlmodzxzldeplem3  31162  zlmodzxzldep  31164  ldepsnlinclem1  31165  ldepsnlinc  31168  chfacfscmulfsupp  31330  chfacfpmmulfsupp  31334
  Copyright terms: Public domain W3C validator