MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2z Structured version   Unicode version

Theorem 2z 10670
Description: Two is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
2z  |-  2  e.  ZZ

Proof of Theorem 2z
StepHypRef Expression
1 2nn 10471 . 2  |-  2  e.  NN
21nnzi 10662 1  |-  2  e.  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   2c2 10363   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-z 10639
This theorem is referenced by:  2eluzge0  10892  2eluzge1  10893  eluz2b1  10918  fzctr  11521  4fvwrd4  11525  fzo0to2pr  11606  fzo0to42pr  11608  flhalf  11666  2txmodxeq0  11751  sq1  11952  expnass  11963  sqrecd  12004  bcn2m1  12092  bcn2p1  12093  hashtpg  12178  swrdtrcfv0  12330  swrdtrcfvl  12336  iseraltlem2  13152  iseraltlem3  13153  climcndslem1  13304  climcnds  13306  efgt0  13379  tanval3  13410  cos01bnd  13462  cos01gt0  13467  n2dvds1  13574  odd2np1  13584  oddm1even  13585  oddp1even  13586  oexpneg  13587  bits0e  13617  bits0o  13618  bitsp1e  13620  bitsp1o  13621  bitsfzo  13623  bitsmod  13624  bitscmp  13626  bitsinv1lem  13629  bitsinv1  13630  isprm3  13764  2prm  13771  3prm  13772  divgcdodd  13797  opoe  13870  omoe  13871  opeo  13872  omeo  13873  oddprm  13874  pythagtriplem4  13878  pythagtriplem11  13884  pythagtriplem13  13886  iserodd  13894  dec2dvds  14084  prmlem0  14125  4001lem1  14157  psgnunilem4  15994  efgredleme  16231  lt6abl  16362  znidomb  17969  minveclem2  20888  minveclem3  20891  pjthlem1  20899  dyaddisjlem  21050  mbfi1fseqlem5  21172  iblcnlem1  21240  dvexp3  21425  aaliou3lem6  21789  tanregt0  21970  efif1olem4  21976  tanarg  22043  cubic2  22218  asinlem3  22241  atantayl2  22308  cxp2limlem  22344  basellem2  22394  basellem3  22395  basellem4  22396  basellem5  22397  basellem8  22400  basellem9  22401  ppisval  22416  ppiprm  22464  ppinprm  22465  chtprm  22466  chtnprm  22467  chtdif  22471  ppidif  22476  ppi1  22477  cht1  22478  cht3  22486  ppieq0  22489  ppiublem1  22516  ppiublem2  22517  chpeq0  22522  chtub  22526  chpval2  22532  chpub  22534  mersenne  22541  perfect1  22542  perfectlem1  22543  perfectlem2  22544  bposlem1  22598  bposlem2  22599  bposlem3  22600  bposlem5  22602  bposlem6  22603  lgslem1  22610  lgsdir2lem2  22638  lgsdir2lem3  22639  lgsdir2  22642  lgsqr  22660  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgseisenlem4  22666  lgsquadlem1  22668  lgsquadlem2  22669  lgsquad2lem1  22672  lgsquad2lem2  22673  lgsquad2  22674  lgsquad3  22675  m1lgs  22676  2sqblem  22691  chebbnd1lem1  22693  chebbnd1lem3  22695  chebbnd1  22696  dchrisum0lem1a  22710  dchrvmasumiflem1  22725  dchrisum0flblem1  22732  dchrisum0flblem2  22733  dchrisum0lem1b  22739  dchrisum0lem1  22740  dchrisum0lem2a  22741  dchrisum0lem2  22742  dchrisum0lem3  22743  mulog2sumlem2  22759  pntlemd  22818  pntlema  22820  pntlemb  22821  pntlemh  22823  pntlemr  22826  pntlemf  22829  pntlemo  22831  axlowdimlem3  23141  axlowdimlem6  23144  axlowdimlem16  23154  axlowdimlem17  23155  axlowdim  23158  usgraexvlem  23264  usgraexmpldifpr  23269  usgraexmpl  23270  cusgrasizeindb1  23330  2wlklemC  23406  2trllemD  23407  2trllemG  23408  wlkntrllem2  23410  constr2spthlem1  23444  2pthon  23452  3v3e3cycl1  23481  constr3lem4  23484  constr3trllem2  23488  constr3trllem3  23489  constr3trllem5  23491  constr3pthlem1  23492  constr3pthlem2  23493  4cycl4v4e  23503  4cycl4dv4e  23505  eupath2lem3  23551  eupath2  23552  ex-fl  23605  ex-dvds  23606  minvecolem3  24228  pjhthlem1  24745  archirngz  26157  archiabllem2c  26163  rnlogblem  26410  dya2ub  26637  dya2icoseg  26644  oddpwdc  26689  eulerpartlemd  26701  eulerpartlemt  26706  ballotlem2  26823  ballotlemfc0  26827  ballotlemfcc  26828  signslema  26915  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem4  26970  4bc2eq6  27342  bpolydiflem  28148  nn0prpwlem  28470  acongrep  29276  acongeq  29279  jm2.18  29290  jm2.22  29297  jm2.23  29298  jm2.20nn  29299  jm2.26a  29302  jm2.26  29304  jm2.15nn0  29305  jm2.27a  29307  jm2.27c  29309  rmydioph  29316  jm3.1lem1  29319  jm3.1lem3  29321  expdiophlem1  29323  expdiophlem2  29324  stoweidlem26  29774  wallispilem4  29816  wallispi2lem1  29819  wallispi2lem2  29820  wallispi2  29821  stirlinglem1  29822  stirlinglem3  29824  stirlinglem7  29828  stirlinglem8  29829  stirlinglem10  29831  stirlinglem11  29832  stirlinglem15  29836  f13idfv  30101  nn0ge2m1nn  30137  nn0lt2  30139  nn01to3  30140  zadd2cl  30141  uzuzle23  30146  ige2m1fz  30159  prmn2uzge3  30202  ccat2s1p2  30219  ccatw2s1p1  30222  usgra2wlkspthlem2  30250  clwlkisclwwlklem2a1  30394  clwlkisclwwlklem2fv1  30397  clwlkisclwwlklem2fv2  30398  clwlkisclwwlklem2a4  30399  clwlkisclwwlklem2a  30400  clwwisshclwwlem  30423  frgrawopreglem2  30591  extwwlkfablem2  30624  numclwwlkovf2ex  30632  numclwwlk2lem1  30648  numclwlk2lem2f  30649  frgrareggt1  30662  nn0le2is012  30717  zlmodzxzequa  30927  zlmodzxznm  30928  zlmodzxzequap  30930  zlmodzxzldeplem1  30931  zlmodzxzldeplem3  30933  zlmodzxzldep  30935  ldepsnlinclem1  30936  ldepsnlinc  30939
  Copyright terms: Public domain W3C validator