MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2z Structured version   Unicode version

Theorem 2z 10903
Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
2z  |-  2  e.  ZZ

Proof of Theorem 2z
StepHypRef Expression
1 2nn 10700 . 2  |-  2  e.  NN
21nnzi 10895 1  |-  2  e.  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804   2c2 10592   ZZcz 10871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-z 10872
This theorem is referenced by:  nn0lt2  10934  zadd2cl  10983  uzuzle23  11132  2eluzge0OLD  11137  2eluzge1  11138  eluz2b1  11164  nn01to3  11186  nn0ge2m1nnALT  11187  ige2m1fz  11779  fzctr  11798  fzo0to2pr  11881  fzo0to42pr  11883  flhalf  11944  2txmodxeq0  12029  f13idfv  12088  sq1  12244  expnass  12255  sqrecd  12296  bcn2m1  12384  bcn2p1  12385  hashtpg  12505  ccat2s1p2  12615  ccatw2s1p1  12622  swrdtrcfv0  12651  swrdtrcfvl  12657  iseraltlem2  13487  iseraltlem3  13488  climcndslem1  13643  climcnds  13645  efgt0  13820  tanval3  13851  cos01bnd  13903  cos01gt0  13908  n2dvds1  14017  odd2np1  14028  oddm1even  14029  oddp1even  14030  oexpneg  14031  bits0e  14061  bits0o  14062  bitsp1e  14064  bitsp1o  14065  bitsfzo  14067  bitsmod  14068  bitscmp  14070  bitsinv1lem  14073  bitsinv1  14074  isprm3  14208  2prm  14215  3prm  14216  prmn2uzge3  14219  divgcdodd  14242  opoe  14317  omoe  14318  opeo  14319  omeo  14320  oddprm  14321  pythagtriplem4  14325  pythagtriplem11  14331  pythagtriplem13  14333  iserodd  14341  dec2dvds  14531  prmlem0  14573  4001lem1  14605  psgnunilem4  16501  efgredleme  16740  lt6abl  16876  znidomb  18578  chfacfscmulfsupp  19338  chfacfpmmulfsupp  19342  minveclem2  21819  minveclem3  21822  pjthlem1  21830  dyaddisjlem  21982  mbfi1fseqlem5  22104  iblcnlem1  22172  dvexp3  22357  aaliou3lem6  22722  tanregt0  22904  efif1olem4  22910  tanarg  22982  cubic2  23157  asinlem3  23180  atantayl2  23247  cxp2limlem  23283  basellem2  23333  basellem3  23334  basellem4  23335  basellem5  23336  basellem8  23339  basellem9  23340  ppisval  23355  ppiprm  23403  ppinprm  23404  chtprm  23405  chtnprm  23406  chtdif  23410  ppidif  23415  ppi1  23416  cht1  23417  cht3  23425  ppieq0  23428  ppiublem1  23455  ppiublem2  23456  chpeq0  23461  chtub  23465  chpval2  23471  chpub  23473  mersenne  23480  perfect1  23481  perfectlem1  23482  perfectlem2  23483  bposlem1  23537  bposlem2  23538  bposlem3  23539  bposlem5  23541  bposlem6  23542  lgslem1  23549  lgsdir2lem2  23577  lgsdir2lem3  23578  lgsdir2  23581  lgsqr  23599  lgseisenlem1  23602  lgseisenlem2  23603  lgseisenlem3  23604  lgseisenlem4  23605  lgsquadlem1  23607  lgsquadlem2  23608  lgsquad2lem1  23611  lgsquad2lem2  23612  lgsquad2  23613  lgsquad3  23614  m1lgs  23615  2sqblem  23630  chebbnd1lem1  23632  chebbnd1lem3  23634  chebbnd1  23635  dchrisum0lem1a  23649  dchrvmasumiflem1  23664  dchrisum0flblem1  23671  dchrisum0flblem2  23672  dchrisum0lem1b  23678  dchrisum0lem1  23679  dchrisum0lem2a  23680  dchrisum0lem2  23681  dchrisum0lem3  23682  mulog2sumlem2  23698  pntlemd  23757  pntlema  23759  pntlemb  23760  pntlemh  23762  pntlemr  23765  pntlemf  23768  pntlemo  23770  istrkg2ld  23836  axlowdimlem3  24225  axlowdimlem6  24228  axlowdimlem16  24238  axlowdimlem17  24239  axlowdim  24242  usgraexvlem  24373  usgraexmpldifpr  24378  usgraexmpl  24379  cusgrasizeindb1  24449  2wlklemC  24536  2trllemD  24537  2trllemG  24538  wlkntrllem2  24540  constr2spthlem1  24574  2pthon  24582  usgra2adedgwlkonALT  24594  usgra2wlkspthlem2  24598  3v3e3cycl1  24622  constr3lem4  24625  constr3trllem2  24629  constr3trllem3  24630  constr3trllem5  24632  constr3pthlem1  24633  constr3pthlem2  24634  4cycl4v4e  24644  4cycl4dv4e  24646  clwlkisclwwlklem2a1  24757  clwlkisclwwlklem2fv1  24760  clwlkisclwwlklem2fv2  24761  clwlkisclwwlklem2a4  24762  clwlkisclwwlklem2a  24763  clwwisshclwwlem  24784  eupath2lem3  24957  eupath2  24958  frgrawopreglem2  25023  extwwlkfablem2  25056  numclwwlkovf2ex  25064  numclwwlk2lem1  25080  numclwlk2lem2f  25081  frgrareggt1  25094  ex-fl  25146  ex-dvds  25147  ex-ind-dvds  25148  minvecolem3  25770  pjhthlem1  26287  znsqcld  27539  2sqmod  27614  archirngz  27711  archiabllem2c  27717  dya2ub  28219  dya2icoseg  28226  oddpwdc  28271  eulerpartlemd  28283  eulerpartlemt  28288  ballotlem2  28405  signslema  28497  lgamgulmlem3  28551  lgamgulmlem4  28552  4bc2eq6  29090  bpolydiflem  29792  nn0prpwlem  30116  acongrep  30894  acongeq  30897  jm2.18  30906  jm2.22  30913  jm2.23  30914  jm2.20nn  30915  jm2.26a  30918  jm2.26  30920  jm2.15nn0  30921  jm2.27a  30923  jm2.27c  30925  rmydioph  30932  jm3.1lem1  30935  jm3.1lem3  30937  expdiophlem1  30939  expdiophlem2  30940  isprm7  31168  3lcm2e6  31195  hashnzfz2  31202  sumnnodd  31590  coskpi2  31620  cosknegpi  31623  dvrecg  31661  dvdivbd  31674  stoweidlem26  31762  wallispilem4  31804  wallispi2lem1  31807  wallispi2lem2  31808  wallispi2  31809  stirlinglem1  31810  stirlinglem3  31812  stirlinglem7  31816  stirlinglem8  31817  stirlinglem10  31819  stirlinglem11  31820  stirlinglem15  31824  dirkertrigeqlem1  31834  dirkercncflem2  31840  fourierdlem54  31897  fourierdlem56  31899  fourierdlem57  31900  fourierdlem102  31945  fourierdlem114  31957  fourierswlem  31967  fouriersw  31968  2even  32566  nn0le2is012  32824  zlmodzxzequa  32967  zlmodzxznm  32968  zlmodzxzequap  32970  zlmodzxzldeplem1  32971  zlmodzxzldeplem3  32973  zlmodzxzldep  32975  ldepsnlinclem1  32976  ldepsnlinc  32979
  Copyright terms: Public domain W3C validator