MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2z Structured version   Unicode version

Theorem 2z 10813
Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
2z  |-  2  e.  ZZ

Proof of Theorem 2z
StepHypRef Expression
1 2nn 10610 . 2  |-  2  e.  NN
21nnzi 10805 1  |-  2  e.  ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1826   2c2 10502   ZZcz 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-z 10782
This theorem is referenced by:  nn0lt2  10844  zadd2cl  10892  uzuzle23  11041  2eluzge0OLD  11046  2eluzge1  11047  eluz2b1  11072  nn01to3  11094  nn0ge2m1nnALT  11095  ige2m1fz  11690  fzctr  11709  fzo0to2pr  11798  fzo0to42pr  11800  flhalf  11862  2txmodxeq0  11950  f13idfv  12009  sq1  12165  expnass  12176  sqrecd  12216  bcn2m1  12304  bcn2p1  12305  hashtpg  12427  ccat2s1p2  12542  swrdtrcfv0  12578  swrdtrcfvl  12586  iseraltlem2  13507  iseraltlem3  13508  climcndslem1  13663  climcnds  13665  efgt0  13840  tanval3  13871  cos01bnd  13923  cos01gt0  13928  n2dvds1  14037  odd2np1  14048  oddm1even  14049  oddp1even  14050  oexpneg  14051  bits0e  14081  bits0o  14082  bitsp1e  14084  bitsp1o  14085  bitsfzo  14087  bitsmod  14088  bitscmp  14090  bitsinv1lem  14093  bitsinv1  14094  isprm3  14228  2prm  14235  3prm  14236  prmn2uzge3  14239  divgcdodd  14262  opoe  14337  omoe  14338  opeo  14339  omeo  14340  oddprm  14341  pythagtriplem4  14345  pythagtriplem11  14351  pythagtriplem13  14353  iserodd  14361  dec2dvds  14551  prmlem0  14593  4001lem1  14625  psgnunilem4  16639  efgredleme  16878  lt6abl  17014  znidomb  18691  chfacfscmulfsupp  19445  chfacfpmmulfsupp  19449  minveclem2  21926  minveclem3  21929  pjthlem1  21937  dyaddisjlem  22089  mbfi1fseqlem5  22211  iblcnlem1  22279  dvexp3  22464  aaliou3lem6  22829  tanregt0  23011  efif1olem4  23017  tanarg  23091  cubic2  23295  asinlem3  23318  atantayl2  23385  cxp2limlem  23422  basellem2  23472  basellem3  23473  basellem4  23474  basellem5  23475  basellem8  23478  basellem9  23479  ppisval  23494  ppiprm  23542  ppinprm  23543  chtprm  23544  chtnprm  23545  chtdif  23549  ppidif  23554  ppi1  23555  cht1  23556  cht3  23564  ppieq0  23567  ppiublem1  23594  ppiublem2  23595  chpeq0  23600  chtub  23604  chpval2  23610  chpub  23612  mersenne  23619  perfect1  23620  perfectlem1  23621  perfectlem2  23622  bposlem1  23676  bposlem2  23677  bposlem3  23678  bposlem5  23680  bposlem6  23681  lgslem1  23688  lgsdir2lem2  23716  lgsdir2lem3  23717  lgsdir2  23720  lgsqr  23738  lgseisenlem1  23741  lgseisenlem2  23742  lgseisenlem3  23743  lgseisenlem4  23744  lgsquadlem1  23746  lgsquadlem2  23747  lgsquad2lem1  23750  lgsquad2lem2  23751  lgsquad2  23752  lgsquad3  23753  m1lgs  23754  2sqblem  23769  chebbnd1lem1  23771  chebbnd1lem3  23773  chebbnd1  23774  dchrisum0lem1a  23788  dchrvmasumiflem1  23803  dchrisum0flblem1  23810  dchrisum0flblem2  23811  dchrisum0lem1b  23817  dchrisum0lem1  23818  dchrisum0lem2a  23819  dchrisum0lem2  23820  dchrisum0lem3  23821  mulog2sumlem2  23837  pntlemd  23896  pntlema  23898  pntlemb  23899  pntlemh  23901  pntlemr  23904  pntlemf  23907  pntlemo  23909  istrkg2ld  23975  axlowdimlem3  24368  axlowdimlem6  24371  axlowdimlem16  24381  axlowdimlem17  24382  axlowdim  24385  usgraexvlem  24516  usgraexmpldifpr  24521  usgraexmpl  24522  cusgrasizeindb1  24592  2wlklemC  24679  2trllemD  24680  2trllemG  24681  wlkntrllem2  24683  constr2spthlem1  24717  2pthon  24725  usgra2adedgwlkonALT  24737  usgra2wlkspthlem2  24741  3v3e3cycl1  24765  constr3lem4  24768  constr3trllem2  24772  constr3trllem3  24773  constr3trllem5  24775  constr3pthlem1  24776  constr3pthlem2  24777  4cycl4v4e  24787  4cycl4dv4e  24789  clwlkisclwwlklem2a1  24900  clwlkisclwwlklem2fv1  24903  clwlkisclwwlklem2fv2  24904  clwlkisclwwlklem2a4  24905  clwlkisclwwlklem2a  24906  clwwisshclwwlem  24927  eupath2lem3  25100  eupath2  25101  frgrawopreglem2  25166  extwwlkfablem2  25199  numclwwlkovf2ex  25207  numclwwlk2lem1  25223  numclwlk2lem2f  25224  frgrareggt1  25237  ex-fl  25289  ex-dvds  25290  ex-ind-dvds  25291  minvecolem3  25909  pjhthlem1  26426  znsqcld  27711  2sqmod  27789  archirngz  27886  archiabllem2c  27892  dya2ub  28397  dya2icoseg  28404  oddpwdc  28476  eulerpartlemd  28488  eulerpartlemt  28493  ballotlem2  28610  signslema  28702  lgamgulmlem3  28762  lgamgulmlem4  28763  4bc2eq6  29278  bpolydiflem  29969  nn0prpwlem  30306  acongrep  31083  acongeq  31086  jm2.18  31096  jm2.22  31103  jm2.23  31104  jm2.20nn  31105  jm2.26a  31108  jm2.26  31110  jm2.15nn0  31111  jm2.27a  31113  jm2.27c  31115  rmydioph  31122  jm3.1lem1  31125  jm3.1lem3  31127  expdiophlem1  31129  expdiophlem2  31130  isprm7  31360  3lcm2e6  31387  hashnzfz2  31394  sumnnodd  31802  coskpi2  31832  cosknegpi  31835  dvrecg  31873  dvdivbd  31886  stoweidlem26  31974  wallispilem4  32016  wallispi2lem1  32019  wallispi2lem2  32020  wallispi2  32021  stirlinglem1  32022  stirlinglem3  32024  stirlinglem7  32028  stirlinglem8  32029  stirlinglem10  32031  stirlinglem11  32032  stirlinglem15  32036  dirkertrigeqlem1  32046  dirkercncflem2  32052  fourierdlem54  32109  fourierdlem56  32111  fourierdlem57  32112  fourierdlem102  32157  fourierdlem114  32169  fourierswlem  32179  fouriersw  32180  mod2eq1n2dvds  32462  m1expevenALTV  32490  dfeven2  32492  oexpnegALTV  32519  oexpnegnz  32520  2evenALTV  32534  2noddALTV  32535  nn0o1gt2ALTV  32536  nnpw2evenALTV  32542  perfectALTVlem1  32543  perfectALTVlem2  32544  proththdlem  32547  proththd  32548  3exp4mod41  32550  41prothprmlem2  32552  pfxtrcfv0  32577  pfxtrcfvl  32580  2even  32939  nn0le2is012  33156  zlmodzxzequa  33297  zlmodzxznm  33298  zlmodzxzequap  33300  zlmodzxzldeplem1  33301  zlmodzxzldeplem3  33303  zlmodzxzldep  33305  ldepsnlinclem1  33306  ldepsnlinc  33309  pw2m1lepw2m1  33327  nn0o  33339  fldivexpfllog2  33386  nnlog2ge0lt1  33387  logbpw2m1  33388  fllog2  33389  blennnelnn  33397  blenpw2  33399  nnpw2blenfzo  33402  blennnt2  33410  nnolog2flm1  33411  dig2nn0ld  33425  dig2nn1st  33426  0dig2pr01  33431  0dig2nn0o  33434
  Copyright terms: Public domain W3C validator