Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkonot3v Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2wlkonot3v 25682
 Description: If an ordered triple represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlkonot3v 2WalksOnOt

Proof of Theorem 2wlkonot3v
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3728 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
2 df-ov 6311 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3 ndmfv 5903 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt
42, 3syl5eq 2517 . . . 4 2WalksOnOt 2WalksOnOt
54necon1ai 2670 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6 simpl 464 . . . . . . . . 9
7 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
87, 7xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . . 12
98, 7xpeq12d 4864 . . . . . . . . . . 11
109adantr 472 . . . . . . . . . 10
11 oveq12 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 WalkOn WalkOn
1211oveqd 6325 . . . . . . . . . . . . 13 WalkOn WalkOn
1312breqd 4406 . . . . . . . . . . . 12 WalkOn WalkOn
14133anbi1d 1369 . . . . . . . . . . 11 WalkOn WalkOn
15142exbidv 1778 . . . . . . . . . 10 WalkOn WalkOn
1610, 15rabeqbidv 3026 . . . . . . . . 9 WalkOn WalkOn
176, 6, 16mpt2eq123dv 6372 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
18 df-2wlkonot 25665 . . . . . . . 8 2WalksOnOt WalkOn
1917, 18ovmpt2ga 6445 . . . . . . 7 WalkOn 2WalksOnOt WalkOn
2019dmeqd 5042 . . . . . 6 WalkOn 2WalksOnOt WalkOn
2120eleq2d 2534 . . . . 5 WalkOn 2WalksOnOt WalkOn
22 dmoprabss 6397 . . . . . . . . 9 WalkOn
2322sseli 3414 . . . . . . . 8 WalkOn
24 opelxp 4869 . . . . . . . . . . . 12
25 2wlkonot 25672 . . . . . . . . . . . . . . 15 2WalksOnOt WalkOn
2625eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14 2WalksOnOt WalkOn
27 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15 WalkOn
28 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3329, 31, 323jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
3527, 34syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14 WalkOn
3626, 35sylbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 2WalksOnOt
3736expcom 442 . . . . . . . . . . . 12 2WalksOnOt
3824, 37sylbi 200 . . . . . . . . . . 11 2WalksOnOt
3938com12 31 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt
40393adant3 1050 . . . . . . . . 9 WalkOn 2WalksOnOt
4140com12 31 . . . . . . . 8 WalkOn 2WalksOnOt
4223, 41syl 17 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn 2WalksOnOt
43 df-mpt2 6313 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
4443dmeqi 5041 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
4542, 44eleq2s 2567 . . . . . 6 WalkOn WalkOn 2WalksOnOt
4645com12 31 . . . . 5 WalkOn WalkOn 2WalksOnOt
4721, 46sylbid 223 . . . 4 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
48 3ianor 1024 . . . . 5 WalkOn WalkOn
49 df-3or 1008 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
50 ianor 496 . . . . . . . 8
5118mpt2ndm0 6529 . . . . . . . . . . . 12 2WalksOnOt
5251dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11 2WalksOnOt
5352eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt
54 dm0 5054 . . . . . . . . . . 11
5554eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10
5653, 55syl6bb 269 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt
57 noel 3726 . . . . . . . . . 10
5857pm2.21i 136 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt
5956, 58syl6bi 236 . . . . . . . 8 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6050, 59sylbir 218 . . . . . . 7 2WalksOnOt 2WalksOnOt
61 anor 497 . . . . . . . . 9
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
6362ancri 561 . . . . . . . . . . . 12
6463adantr 472 . . . . . . . . . . 11
65 mpt2exga 6888 . . . . . . . . . . 11 WalkOn
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 WalkOn
6766pm2.24d 139 . . . . . . . . 9 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6861, 67sylbir 218 . . . . . . . 8 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6968imp 436 . . . . . . 7 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7060, 69jaoi3 980 . . . . . 6 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7149, 70sylbi 200 . . . . 5 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7248, 71sylbi 200 . . . 4 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7347, 72pm2.61i 169 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
741, 5, 733syl 18 . 2 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7574pm2.43i 48 1 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   w3o 1006   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  crab 2760  cvv 3031  c0 3722  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837   cdm 4839  cfv 5589  (class class class)co 6308  coprab 6309   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  c1 9558  c2 10681  chash 12553   WalkOn cwlkon 25309   2WalksOnOt c2wlkonot 25662 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-2wlkonot 25665 This theorem is referenced by:  2wlkonotv  25684  el2wlksoton  25685  frg2woteq  25867
 Copyright terms: Public domain W3C validator