Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2wlkonot Structured version   Unicode version

Theorem 2wlkonot 30522
 Description: The set of walks of length 2 between two vertices (in a graph) as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlkonot 2WalksOnOt WalkOn
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem 2wlkonot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2wlkonot 30520 . . . 4 2WalksOnOt WalkOn
21adantr 465 . . 3 2WalksOnOt WalkOn
32oveqd 6207 . 2 2WalksOnOt WalkOn
4 simprl 755 . . 3
5 simprr 756 . . 3
6 xpexg 6607 . . . . . . 7
76anidms 645 . . . . . 6
8 xpexg 6607 . . . . . 6
97, 8mpancom 669 . . . . 5
109ad2antrr 725 . . . 4
11 rabexg 4540 . . . 4 WalkOn
1210, 11syl 16 . . 3 WalkOn
13 oveq12 6199 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
1413breqd 4401 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
15 eqeq2 2466 . . . . . . . . 9
1615adantr 465 . . . . . . . 8
17 eqeq2 2466 . . . . . . . . 9
1817adantl 466 . . . . . . . 8
1916, 183anbi13d 1292 . . . . . . 7
2014, 193anbi13d 1292 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
21202exbidv 1683 . . . . 5 WalkOn WalkOn
2221rabbidv 3060 . . . 4 WalkOn WalkOn
23 eqid 2451 . . . 4 WalkOn WalkOn
2422, 23ovmpt2ga 6320 . . 3 WalkOn WalkOn WalkOn
254, 5, 12, 24syl3anc 1219 . 2 WalkOn WalkOn
263, 25eqtrd 2492 1 2WalksOnOt WalkOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370  wex 1587   wcel 1758  crab 2799  cvv 3068   class class class wbr 4390   cxp 4936  cfv 5516  (class class class)co 6190   cmpt2 6192  c1st 6675  c2nd 6676  c1 9384  c2 10472  chash 12204   WalkOn cwlkon 23544   2WalksOnOt c2wlkonot 30512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-2wlkonot 30515 This theorem is referenced by:  el2wlkonot  30526  2wlkonot3v  30532  2pthwlkonot  30542
 Copyright terms: Public domain W3C validator