Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkonot Structured version   Unicode version

Theorem 2wlkonot 25294
 Description: The set of walks of length 2 between two vertices (in a graph) as ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlkonot 2WalksOnOt WalkOn
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem 2wlkonot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2wlkonot 25292 . . . 4 2WalksOnOt WalkOn
21adantr 465 . . 3 2WalksOnOt WalkOn
32oveqd 6297 . 2 2WalksOnOt WalkOn
4 simprl 758 . . 3
5 simprr 760 . . 3
6 3xpexg 6587 . . . . 5
76ad2antrr 726 . . . 4
8 rabexg 4546 . . . 4 WalkOn
97, 8syl 17 . . 3 WalkOn
10 oveq12 6289 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
1110breqd 4408 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
12 eqeq2 2419 . . . . . . . . 9
1312adantr 465 . . . . . . . 8
14 eqeq2 2419 . . . . . . . . 9
1514adantl 466 . . . . . . . 8
1613, 153anbi13d 1305 . . . . . . 7
1711, 163anbi13d 1305 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
18172exbidv 1739 . . . . 5 WalkOn WalkOn
1918rabbidv 3053 . . . 4 WalkOn WalkOn
20 eqid 2404 . . . 4 WalkOn WalkOn
2119, 20ovmpt2ga 6415 . . 3 WalkOn WalkOn WalkOn
224, 5, 9, 21syl3anc 1232 . 2 WalkOn WalkOn
233, 22eqtrd 2445 1 2WalksOnOt WalkOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   w3a 976   wceq 1407  wex 1635   wcel 1844  crab 2760  cvv 3061   class class class wbr 4397   cxp 4823  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282  c1st 6784  c2nd 6785  c1 9525  c2 10628  chash 12454   WalkOn cwlkon 24931   2WalksOnOt c2wlkonot 25284 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-2wlkonot 25287 This theorem is referenced by:  el2wlkonot  25298  2wlkonot3v  25304  2pthwlkonot  25314
 Copyright terms: Public domain W3C validator