Theorem 2vmadivsumlem 24364

Description: Lemma for 2vmadivsum 24365. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
2vmadivsum.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
2vmadivsum.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
2vmadivsumlem	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, m, n, x, y, A   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   ph( y, i)

Proof of Theorem 2vmadivsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vmalogdivsum2 24362	. . 3 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
3		fzfid 12185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
4		elfznn 11828	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
5	4	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
6		vmacl 24031	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
8	7, 5	nndivred 10658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
9		fzfid 12185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
10		elfznn 11828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
11	10	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
12		vmacl 24031	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
14	13, 11	nndivred 10658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) / m ) e. RR )
15	9, 14	fsumrecl 13787	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) e. RR )
16	8, 15	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. RR )
17	3, 16	fsumrecl 13787	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. RR )
18		elioore 11666	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
19	18	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
20		eliooord 11694	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
21	20	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
22	21	simpld 460	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
23	19, 22	rplogcld 23564	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
24	17, 23	rerpdivcld 11369	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
25		1rp 11306	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
27		1red 9658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
28	27, 19, 22	ltled 9783	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
29	19, 26, 28	rpgecld 11377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
30	29	relogcld 23558	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
31	30	rehalfcld 10859	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. RR )
32	24, 31	resubcld 10047	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. RR )
33	32	recnd 9669	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
34	29	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
35	5	nnrpd 11339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
36	34, 35	rpdivcld 11358	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
37	36	relogcld 23558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
38	8, 37	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
39	3, 38	fsumrecl 13787	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
40	39, 23	rerpdivcld 11369	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
41	40, 31	resubcld 10047	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. RR )
42	41	recnd 9669	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
43	17	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. CC )
44	39	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
45	30	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
46	23	rpne0d 11346	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
47	43, 44, 45, 46	divsubdird 10422	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
48	8	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
49	15	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) e. CC )
50	37	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
51	48, 49, 50	subdid 10074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
52	51	sumeq2dv 13756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
53	16	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. CC )
54	38	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
55	3, 53, 54	fsumsub 13836	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
56	52, 55	eqtrd 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
57	56	oveq1d 6316	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
58	24	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
59	40	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
60	31	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
61	58, 59, 60	nnncan2d 10021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) )
63	62	mpteq2dva 4507	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) )
64		1red 9658	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
65	3, 8	fsumrecl 13787	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
66	65, 23	rerpdivcld 11369	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. RR )
67		2vmadivsum.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
68	67	rpred 11341	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
69	68	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
70		ioossre 11696	. . . . . . . 8 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
71		1cnd 9659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
72		o1const 13670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
73	70, 71, 72	sylancr 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
74	66	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. CC )
75		1cnd 9659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
76	65	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
77	76, 45, 45, 46	divsubdird 10422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) )
78	76, 45	subcld 9986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
79	78, 45, 46	divrecd 10386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
80	45, 46	dividd 10381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
81	80	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
82	77, 79, 81	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
83	82	mpteq2dva 4507	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) )
84	65, 30	resubcld 10047	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
85	27, 23	rerpdivcld 11369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
86	29	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
87	86	ssrdv 3470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
88		vmadivsum 24306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
90	87, 89	o1res2 13614	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
91		divlogrlim 23566	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
92		rlimo1 13667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
93	91, 92	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
94	84, 85, 90, 93	o1mul2 13675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
95	83, 94	eqeltrrd 2511	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) e. O(1) )
96	74, 75, 95	o1dif 13680	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) ) )
97	73, 96	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
98	68	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
99		o1const 13670	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
100	70, 98, 99	sylancr 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
101	66, 69, 97, 100	o1mul2 13675	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) e. O(1) )
102	66, 69	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) e. RR )
103	15, 37	resubcld 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
104	8, 103	remulcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
105	3, 104	fsumrecl 13787	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
106	105	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
107	106, 45, 46	divcld 10383	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
108	106	abscld 13485	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
109	65, 69	remulcld 9671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) e. RR )
110	104	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
111	110	abscld 13485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
112	3, 111	fsumrecl 13787	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
113	3, 110	fsumabs 13848	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
114	69	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
115	8, 114	remulcld 9671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) e. RR )
116	103	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
117	48, 116	absmuld 13503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( (Λ ` n ) / n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
118		vmage0 24034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
119	5, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
120	7, 35, 119	divge0d 11378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
121	8, 120	absidd 13472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( (Λ ` n ) / n ) )
122	121	oveq1d 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( (Λ ` n ) / n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
123	117, 122	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
124	116	abscld 13485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
125	36	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
126	5	nncnd 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
127	126	mulid2d 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
128		fznnfl 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
129	19, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
130	129	simplbda 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
131	127, 130	eqbrtrd 4441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
132		1red 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
133	19	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
134	132, 133, 35	lemuldivd 11387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
135	131, 134	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
136		1re 9642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
137		elicopnf 11730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) ) )
138	136, 137	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) )
139	125, 135, 138	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) )
140		2vmadivsum.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A )
141	140	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A )
142		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = m -> (Λ ` i ) = (Λ ` m ) )
143		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = m -> i = m )
144	142, 143	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = m -> ( (Λ ` i ) / i ) = ( (Λ ` m ) / m ) )
145	144	cbvsumv 13749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) / m )
146		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / n ) ) )
147	146	oveq2d 6317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) )
148	147	sumeq1d 13754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) )
149	145, 148	syl5eq 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) )
150		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( x / n ) ) )
151	149, 150	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / n ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) )
152	151	fveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
153	152	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ A ) )
154	153	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ A ) )
155	139, 141, 154	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ A )
156	124, 114, 8, 120, 155	lemul2ad 10547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
157	123, 156	eqbrtrd 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
158	3, 111, 115, 157	fsumle 13846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
159	98	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
160	3, 159, 48	fsummulc1 13833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
161	158, 160	breqtrrd 4447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
162	108, 112, 109, 113, 161	letrd 9792	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
163	108, 109, 23, 162	lediv1dd 11396	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) )
164	106, 45, 46	absdivd 13504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) )
165	23	rpge0d 11345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
166	30, 165	absidd 13472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
167	166	oveq2d 6317	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
168	164, 167	eqtrd 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
169	3, 8, 120	fsumge0 13842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
170	65, 23, 169	divge0d 11378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
171	67	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
172	171	rpge0d 11345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ A )
173	66, 69, 170, 172	mulge0d 10190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) )
174	102, 173	absidd 13472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) )
175	76, 159, 45, 46	div23d 10420	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) )
176	174, 175	eqtr4d 2466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) )
177	163, 168, 176	3brtr4d 4451	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) )
178	177	adantrr 721	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) )
179	64, 101, 102, 107, 178	o1le 13703	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
180	63, 179	eqeltrrd 2511	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) e. O(1) )
181	33, 42, 180	o1dif 13680	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) ) )
182	2, 181	mpbird 235	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   C_ wss 3436   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   +oocpnf 9672   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ...cfz 11784   |_cfl 12025   abscabs 13285   ~~> r crli 13536   O(1)co1 13537   sum_csu 13739   logclog 23490  Λcvma 24004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-o1 13541  df-lo1 13542  df-sum 13740  df-ef 14108  df-e 14109  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-prm 14610  df-pc 14774  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-log 23492  df-cxp 23493  df-em 23904  df-cht 24009  df-vma 24010  df-chp 24011  df-ppi 24012

This theorem is referenced by:  2vmadivsum  24365