Theorem 2vmadivsumlem 22674

Description: Lemma for 2vmadivsum 22675. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
2vmadivsum.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
2vmadivsum.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
2vmadivsumlem	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, m, n, x, y, A   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   ph( y, i)

Proof of Theorem 2vmadivsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vmalogdivsum2 22672	. . 3 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
3		fzfid 11779	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
4		elfznn 11465	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
5	4	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
6		vmacl 22341	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
8	7, 5	nndivred 10358	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
9		fzfid 11779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
10		elfznn 11465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
11	10	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
12		vmacl 22341	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
14	13, 11	nndivred 10358	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) / m ) e. RR )
15	9, 14	fsumrecl 13195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) e. RR )
16	8, 15	remulcld 9402	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. RR )
17	3, 16	fsumrecl 13195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. RR )
18		elioore 11318	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
19	18	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
20		eliooord 11343	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
21	20	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
22	21	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
23	19, 22	rplogcld 21963	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
24	17, 23	rerpdivcld 11042	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
25		1rp 10983	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
27		1red 9389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
28	27, 19, 22	ltled 9510	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
29	19, 26, 28	rpgecld 11050	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
30	29	relogcld 21957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
31	30	rehalfcld 10559	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. RR )
32	24, 31	resubcld 9764	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. RR )
33	32	recnd 9400	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
34	29	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
35	5	nnrpd 11014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
36	34, 35	rpdivcld 11032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
37	36	relogcld 21957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
38	8, 37	remulcld 9402	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
39	3, 38	fsumrecl 13195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
40	39, 23	rerpdivcld 11042	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
41	40, 31	resubcld 9764	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. RR )
42	41	recnd 9400	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
43	17	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. CC )
44	39	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
45	30	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
46	23	rpne0d 11020	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
47	43, 44, 45, 46	divsubdird 10134	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
48	8	recnd 9400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
49	15	recnd 9400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) e. CC )
50	37	recnd 9400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
51	48, 49, 50	subdid 9788	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
52	51	sumeq2dv 13164	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
53	16	recnd 9400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) e. CC )
54	38	recnd 9400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
55	3, 53, 54	fsumsub 13238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
56	52, 55	eqtrd 2465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
57	56	oveq1d 6095	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
58	24	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
59	40	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
60	31	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
61	58, 59, 60	nnncan2d 9742	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2475	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) )
63	62	mpteq2dva 4366	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) )
64		1red 9389	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
65	3, 8	fsumrecl 13195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
66	65, 23	rerpdivcld 11042	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. RR )
67		2vmadivsum.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
68	67	rpred 11015	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
69	68	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
70		ioossre 11345	. . . . . . . 8 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
71		1cnd 9390	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
72		o1const 13081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
73	70, 71, 72	sylancr 656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
74	66	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. CC )
75		1cnd 9390	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
76	65	recnd 9400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
77	76, 45, 45, 46	divsubdird 10134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) )
78	76, 45	subcld 9707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
79	78, 45, 46	divrecd 10098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
80	45, 46	dividd 10093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
81	80	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
82	77, 79, 81	3eqtr3d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
83	82	mpteq2dva 4366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) )
84	65, 30	resubcld 9764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
85	27, 23	rerpdivcld 11042	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
86	29	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
87	86	ssrdv 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
88		vmadivsum 22616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
90	87, 89	o1res2 13025	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
91		divlogrlim 21965	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
92		rlimo1 13078	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
93	91, 92	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
94	84, 85, 90, 93	o1mul2 13086	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
95	83, 94	eqeltrrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) e. O(1) )
96	74, 75, 95	o1dif 13091	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) ) )
97	73, 96	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
98	68	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
99		o1const 13081	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
100	70, 98, 99	sylancr 656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
101	66, 69, 97, 100	o1mul2 13086	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) e. O(1) )
102	66, 69	remulcld 9402	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) e. RR )
103	15, 37	resubcld 9764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
104	8, 103	remulcld 9402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
105	3, 104	fsumrecl 13195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
106	105	recnd 9400	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
107	106, 45, 46	divcld 10095	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
108	106	abscld 12906	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
109	65, 69	remulcld 9402	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) e. RR )
110	104	recnd 9400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
111	110	abscld 12906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
112	3, 111	fsumrecl 13195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
113	3, 110	fsumabs 13247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
114	69	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
115	8, 114	remulcld 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) e. RR )
116	103	recnd 9400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
117	48, 116	absmuld 12924	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( (Λ ` n ) / n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
118		vmage0 22344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
119	5, 118	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
120	7, 35, 119	divge0d 11051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
121	8, 120	absidd 12893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( (Λ ` n ) / n ) )
122	121	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( (Λ ` n ) / n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
123	117, 122	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
124	116	abscld 12906	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
125	36	rpred 11015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
126	5	nncnd 10326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
127	126	mulid2d 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
128		fznnfl 11685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
129	19, 128	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
130	129	simplbda 619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
131	127, 130	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
132		1red 9389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
133	19	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
134	132, 133, 35	lemuldivd 11060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
135	131, 134	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
136		1re 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
137		elicopnf 11373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) ) )
138	136, 137	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) )
139	125, 135, 138	sylanbrc 657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) )
140		2vmadivsum.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A )
141	140	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A )
142		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = m -> (Λ ` i ) = (Λ ` m ) )
143		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = m -> i = m )
144	142, 143	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = m -> ( (Λ ` i ) / i ) = ( (Λ ` m ) / m ) )
145	144	cbvsumv 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) / m )
146		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / n ) ) )
147	146	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) )
148	147	sumeq1d 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) / m ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) )
149	145, 148	syl5eq 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) )
150		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( x / n ) ) )
151	149, 150	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( x / n ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) )
152	151	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
153	152	breq1d 4290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ A ) )
154	153	rspcv 3058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) / i ) - ( log ` y ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ A ) )
155	139, 141, 154	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ A )
156	124, 114, 8, 120, 155	lemul2ad 10261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
157	123, 156	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
158	3, 111, 115, 157	fsumle 13245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
159	98	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
160	3, 159, 48	fsummulc1 13235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
161	158, 160	breqtrrd 4306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
162	108, 112, 109, 113, 161	letrd 9516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
163	108, 109, 23, 162	lediv1dd 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) )
164	106, 45, 46	absdivd 12925	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) )
165	23	rpge0d 11019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
166	30, 165	absidd 12893	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
167	166	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
168	164, 167	eqtrd 2465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
169	3, 8, 120	fsumge0 13241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
170	65, 23, 169	divge0d 11051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
171	67	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
172	171	rpge0d 11019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ A )
173	66, 69, 170, 172	mulge0d 9904	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) )
174	102, 173	absidd 12893	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) )
175	76, 159, 45, 46	div23d 10132	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) )
176	174, 175	eqtr4d 2468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) )
177	163, 168, 176	3brtr4d 4310	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) )
178	177	adantrr 709	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) x. A ) ) )
179	64, 101, 102, 107, 178	o1le 13114	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
180	63, 179	eqeltrrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) e. O(1) )
181	33, 42, 180	o1dif 13091	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) ) )
182	2, 181	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) / m ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   C_ wss 3316   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   x. cmul 9275   +oocpnf 9403   < clt 9406   <_ cle 9407   - cmin 9583   / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   RR+crp 10979   (,)cioo 11288   [,)cico 11290   ...cfz 11424   |_cfl 11624   abscabs 12707   ~~> r crli 12947   O(1)co1 12948   sum_csu 13147   logclog 21891  Λcvma 22314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-o1 12952  df-lo1 12953  df-sum 13148  df-ef 13336  df-e 13337  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-pc 13887  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894  df-em 22271  df-cht 22319  df-vma 22320  df-chp 22321  df-ppi 22322

This theorem is referenced by:  2vmadivsum  22675