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Theorem 2vmadivsumlem 21187
Description: Lemma for 2vmadivsum 21188. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
2vmadivsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2vmadivsum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
Assertion
Ref Expression
2vmadivsumlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    i, m, n, x, y, A    ph, m, n, x
Allowed substitution hints:    ph( y, i)

Proof of Theorem 2vmadivsumlem
StepHypRef Expression
1 vmalogdivsum2 21185 . . 3  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) )
3 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 11036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
54adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
6 vmacl 20854 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
87, 5nndivred 10004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
9 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
10 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
12 vmacl 20854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
1413, 11nndivred 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  m )  /  m
)  e.  RR )
159, 14fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  RR )
168, 15remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  RR )
173, 16fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  RR )
18 elioore 10902 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
1918adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
20 eliooord 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2120adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
2221simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
2319, 22rplogcld 20477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2417, 23rerpdivcld 10631 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
25 1rp 10572 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
2726rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
2827, 19, 22ltled 9177 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
2919, 26, 28rpgecld 10639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
3029relogcld 20471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
3130rehalfcld 10170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  RR )
3224, 31resubcld 9421 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  RR )
3332recnd 9070 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
3429adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
355nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3634, 35rpdivcld 10621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3736relogcld 20471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
388, 37remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
393, 38fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
4039, 23rerpdivcld 10631 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
4140, 31resubcld 9421 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  RR )
4241recnd 9070 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
4317recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
4439recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
4530recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
4623rpne0d 10609 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
4743, 44, 45, 46divsubdird 9785 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
488recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
4915recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  e.  CC )
5037recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
5148, 49, 50subdid 9445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5251sumeq2dv 12452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5316recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  e.  CC )
5438recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
553, 53, 54fsumsub 12526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
5652, 55eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
5756oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )
5824recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
5940recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6031recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
6158, 59, 60nnncan2d 9402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
6247, 57, 613eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )
6362mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) ) )
64 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
663, 8fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
6766, 23rerpdivcld 10631 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
68 2vmadivsum.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6968rpred 10604 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7069adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR )
71 ioossre 10928 . . . . . . . 8  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
7265recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
73 o1const 12368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
7471, 72, 73sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
7567recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7627recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
7766recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
7877, 45, 45, 46divsubdird 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) ) )
7977, 45subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
8079, 45, 46divrecd 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
8145, 46dividd 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) )  =  1 )
8281oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8378, 80, 823eqtr3d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
8483mpteq2dva 4255 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  -  1 ) ) )
8566, 30resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
8627, 23rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8729ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
8887ssrdv 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR+ )
89 vmadivsum 21129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9188, 90o1res2 12312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
92 divlogrlim 20479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
93 rlimo1 12365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9492, 93mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9585, 86, 91, 94o1mul2 12373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
9684, 95eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  e.  O
( 1 ) )
9775, 76, 96o1dif 12378 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  1 )  e.  O
( 1 ) ) )
9874, 97mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
9969recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
100 o1const 12368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 (,)  +oo )  C_  RR  /\  A  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O ( 1 ) )
10171, 99, 100sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  A )  e.  O
( 1 ) )
10267, 70, 98, 101o1mul2 12373 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )  e.  O
( 1 ) )
10367, 70remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
)  e.  RR )
10415, 37resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  RR )
1058, 104remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
1063, 105fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
107106recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
108107, 45, 46divcld 9746 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  e.  CC )
109107abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
11066, 70remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
111105recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
112111abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1133, 112fsumrecl 12483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  RR )
1143, 111fsumabs 12535 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) ) )
11570adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A  e.  RR )
1168, 115remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  e.  RR )
117104recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
11848, 117absmuld 12211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
119 vmage0 20857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
1205, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
1217, 35, 120divge0d 10640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  /  n ) )
1228, 121absidd 12180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  =  ( (Λ `  n )  /  n
) )
123122oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
124118, 123eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) ) )
125117abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
12636rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1275nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
128127mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
129 fznnfl 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
13019, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
131130simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
132128, 131eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
13364a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
13419adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
135133, 134, 35lemuldivd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
136132, 135mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
137 elicopnf 10956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) ) )
13864, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( (
x  /  n )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n
) ) )
139126, 136, 138sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  ( 1 [,)  +oo )
)
140 2vmadivsum.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
141140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A
)
142 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  (Λ `  i )  =  (Λ `  m ) )
143 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
144142, 143oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  m  ->  (
(Λ `  i )  / 
i )  =  ( (Λ `  m )  /  m ) )
145144cbvsumv 12445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )
146 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )
147146oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )
148147sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
149145, 148syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )
150 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
x  /  n ) ) )
151149, 150oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )
152151fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i
)  /  i )  -  ( log `  y
) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
153152breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  <->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  <_  A ) )
154153rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  n )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( (Λ `  i )  /  i )  -  ( log `  y ) ) )  <_  A  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  <_  A )
)
155139, 141, 154sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_  A )
156125, 115, 8, 121, 155lemul2ad 9907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
157124, 156eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A ) )
1583, 112, 116, 157fsumle 12533 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
15999adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  CC )
1603, 159, 48fsummulc1 12523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
161158, 160breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  x.  A
) )
162109, 113, 110, 114, 161letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A ) )
163109, 110, 23, 162lediv1dd 10658 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  A )  /  ( log `  x
) ) )
164107, 45, 46absdivd 12212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
16523rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
16630, 165absidd 12180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
167166oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
168164, 167eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  m )  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
1693, 8, 121fsumge0 12529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )
17066, 23, 169divge0d 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )
17168adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
172171rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  A )
17367, 70, 170, 172mulge0d 9559 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
174103, 173absidd 12180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
17577, 159, 45, 46div23d 9783 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) )
176174, 175eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  x.  A ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  A )  / 
( log `  x
) ) )
177163, 168, 1763brtr4d 4202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
178177adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  <_ 
( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  x.  A
) ) )
17965, 102, 103, 108, 178o1le 12401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
18063, 179eqeltrrd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  -  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
18133, 42, 180o1dif 12378 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m )  /  m
) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
1822, 181mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  m
)  /  m ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ...cfz 10999   |_cfl 11156   abscabs 11994    ~~> r crli 12234   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434   logclog 20405  Λcvma 20827
This theorem is referenced by:  2vmadivsum  21188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-lo1 12240  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-em 20784  df-cht 20832  df-vma 20833  df-chp 20834  df-ppi 20835
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