Theorem 2trllemH 24345

Description: Lemma 3 for constr2trl 24392. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
2trlX.i	|- ( I e. U /\ J e. W )
2trlX.f	|- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemH	|- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Proof of Theorem 2trllemH

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9600	. . . . . 6 |- 0 e. _V
2		1ex 9601	. . . . . 6 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4		2trlX.i	. . . . 5 |- ( I e. U /\ J e. W )
5		0ne1 10613	. . . . 5 |- 0 =/= 1
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1174	. . . 4 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 )
7		fprg 6080	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } )
8		2trlX.f	. . . . . . . 8 |- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }
9	4, 8	2trllemB 24344	. . . . . . 7 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 }
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 } )
11	10	feq2d 5723	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } ) )
12	7, 11	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
13	6, 12	mp1i 12	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
14		2trllemF 24342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ B e. V ) -> I e. dom E )
15	14	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> I e. dom E )
16		prcom 4110	. . . . . . . . . . . 12 |- { B , C } = { C , B }
17	16	eqeq2i 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` J ) = { B , C } <-> ( E ` J ) = { C , B } )
18	17	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` J ) = { B , C } -> ( E ` J ) = { C , B } )
19	18	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( E ` J ) = { C , B } )
20		2trllemF 24342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` J ) = { C , B } /\ B e. V ) -> J e. dom E )
21	19, 20	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> J e. dom E )
22	15, 21	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
23	22	expcom 435	. . . . . 6 |- ( B e. V -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
24	23	3ad2ant3 1019	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
25	24	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
26		prssg 4187	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ J e. W ) -> ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E ) )
27	4, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E )
28	25, 27	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { I , J } C_ dom E )
29		fss 5744	. . 3 |- ( ( { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } /\ { I , J } C_ dom E ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
30	13, 28, 29	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
31	8	feq1i 5728	. 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
32	30, 31	sylibr 212	1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   {cpr 4034   <.cop 4038   dom cdm 5004   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502   1c1 9503  ..^cfzo 11802   #chash 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384

This theorem is referenced by:  constr2wlk  24391