MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemH Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemH 24345
Description: Lemma 3 for constr2trl 24392. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlX.i  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
2trlX.f  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemH  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )

Proof of Theorem 2trllemH
StepHypRef Expression
1 c0ex 9600 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2 1ex 9601 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
4 2trlX.i . . . . 5  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
5 0ne1 10613 . . . . 5  |-  0  =/=  1
63, 4, 53pm3.2i 1174 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )
7 fprg 6080 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } --> { I ,  J } )
8 2trlX.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
94, 82trllemB 24344 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 }
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
1110feq2d 5723 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J }  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : {
0 ,  1 } --> { I ,  J } ) )
127, 11mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
136, 12mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
14 2trllemF 24342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )
1514adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E
)
16 prcom 4110 . . . . . . . . . . . 12  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
1716eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  <->  ( E `  J )  =  { C ,  B }
)
1817biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  ->  ( E `
 J )  =  { C ,  B } )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } )  ->  ( E `  J )  =  { C ,  B } )
20 2trllemF 24342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  J
)  =  { C ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E )
2119, 20sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E
)
2215, 21jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
2322expcom 435 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  -> 
( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
24233ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  ->  ( ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
)  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
2524imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  (
I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
26 prssg 4187 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  U  /\  J  e.  W )  ->  ( ( I  e. 
dom  E  /\  J  e. 
dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E ) )
274, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E )
2825, 27sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { I ,  J }  C_  dom  E )
29 fss 5744 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J }  /\  {
I ,  J }  C_ 
dom  E )  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
3013, 28, 29syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
318feq1i 5728 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
3230, 31sylibr 212 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {cpr 4034   <.cop 4038   dom cdm 5004   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   0cc0 9502   1c1 9503  ..^cfzo 11802   #chash 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384
This theorem is referenced by:  constr2wlk  24391
  Copyright terms: Public domain W3C validator