Theorem 2trllemH 24681

Description: Lemma 3 for constr2trl 24728. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
2trlX.i	|- ( I e. U /\ J e. W )
2trlX.f	|- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemH	|- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Proof of Theorem 2trllemH

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9607	. . . . . 6 |- 0 e. _V
2		1ex 9608	. . . . . 6 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4		2trlX.i	. . . . 5 |- ( I e. U /\ J e. W )
5		0ne1 10624	. . . . 5 |- 0 =/= 1
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1174	. . . 4 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 )
7		fprg 6081	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } )
8		2trlX.f	. . . . . . . 8 |- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }
9	4, 8	2trllemB 24680	. . . . . . 7 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 }
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 } )
11	10	feq2d 5724	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } ) )
12	7, 11	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
13	6, 12	mp1i 12	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
14		2trllemF 24678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ B e. V ) -> I e. dom E )
15	14	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> I e. dom E )
16		prcom 4110	. . . . . . . . . . . 12 |- { B , C } = { C , B }
17	16	eqeq2i 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` J ) = { B , C } <-> ( E ` J ) = { C , B } )
18	17	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` J ) = { B , C } -> ( E ` J ) = { C , B } )
19	18	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( E ` J ) = { C , B } )
20		2trllemF 24678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` J ) = { C , B } /\ B e. V ) -> J e. dom E )
21	19, 20	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> J e. dom E )
22	15, 21	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
23	22	expcom 435	. . . . . 6 |- ( B e. V -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
24	23	3ad2ant3 1019	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
25	24	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
26		prssg 4187	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ J e. W ) -> ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E ) )
27	4, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E )
28	25, 27	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { I , J } C_ dom E )
29	13, 28	fssd 5746	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
30	8	feq1i 5729	. 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
31	29, 30	sylibr 212	1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   {cpr 4034   <.cop 4038   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510  ..^cfzo 11821   #chash 12408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409

This theorem is referenced by:  constr2wlk  24727