MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemH Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2trllemH 25275
Description: Lemma 3 for constr2trl 25322. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlX.i  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
2trlX.f  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemH  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )

Proof of Theorem 2trllemH
StepHypRef Expression
1 c0ex 9634 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2 1ex 9635 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 457 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
4 2trlX.i . . . . 5  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
5 0ne1 10674 . . . . 5  |-  0  =/=  1
63, 4, 53pm3.2i 1185 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )
7 fprg 6071 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } --> { I ,  J } )
8 2trlX.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
94, 82trllemB 25274 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 }
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
1110feq2d 5713 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J }  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : {
0 ,  1 } --> { I ,  J } ) )
127, 11mpbird 236 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
136, 12mp1i 13 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
14 2trllemF 25272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )
1514adantlr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E
)
16 prcom 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
1716eqeq2i 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  <->  ( E `  J )  =  { C ,  B }
)
1817biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  ->  ( E `
 J )  =  { C ,  B } )
1918adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } )  ->  ( E `  J )  =  { C ,  B } )
20 2trllemF 25272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  J
)  =  { C ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E )
2119, 20sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E
)
2215, 21jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
2322expcom 437 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  -> 
( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
24233ad2ant3 1030 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  ->  ( ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
)  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
2524imp 431 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  (
I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
26 prssg 4126 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  U  /\  J  e.  W )  ->  ( ( I  e. 
dom  E  /\  J  e. 
dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E ) )
274, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E )
2825, 27sylib 200 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { I ,  J }  C_  dom  E )
2913, 28fssd 5736 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
308feq1i 5718 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
3129, 30sylibr 216 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   {cpr 3969   <.cop 3973   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   1c1 9537  ..^cfzo 11912   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  constr2wlk  25321
  Copyright terms: Public domain W3C validator