Theorem 2trllemH 25361

Description: Lemma 3 for constr2trl 25408. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
2trlX.i	|- ( I e. U /\ J e. W )
2trlX.f	|- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemH	|- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Proof of Theorem 2trllemH

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9655	. . . . . 6 |- 0 e. _V
2		1ex 9656	. . . . . 6 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 462	. . . . 5 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4		2trlX.i	. . . . 5 |- ( I e. U /\ J e. W )
5		0ne1 10699	. . . . 5 |- 0 =/= 1
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1208	. . . 4 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 )
7		fprg 6089	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } )
8		2trlX.f	. . . . . . . 8 |- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }
9	4, 8	2trllemB 25360	. . . . . . 7 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 }
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 } )
11	10	feq2d 5725	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } ) )
12	7, 11	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
13	6, 12	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
14		2trllemF 25358	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ B e. V ) -> I e. dom E )
15	14	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> I e. dom E )
16		prcom 4041	. . . . . . . . . . . 12 |- { B , C } = { C , B }
17	16	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` J ) = { B , C } <-> ( E ` J ) = { C , B } )
18	17	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` J ) = { B , C } -> ( E ` J ) = { C , B } )
19	18	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( E ` J ) = { C , B } )
20		2trllemF 25358	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` J ) = { C , B } /\ B e. V ) -> J e. dom E )
21	19, 20	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> J e. dom E )
22	15, 21	jca 541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
23	22	expcom 442	. . . . . 6 |- ( B e. V -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
24	23	3ad2ant3 1053	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
25	24	imp 436	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
26		prssg 4118	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ J e. W ) -> ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E ) )
27	4, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E )
28	25, 27	sylib 201	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { I , J } C_ dom E )
29	13, 28	fssd 5750	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
30	8	feq1i 5730	. 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
31	29, 30	sylibr 217	1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   {cpr 3961   <.cop 3965   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558  ..^cfzo 11942   #chash 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554

This theorem is referenced by:  constr2wlk  25407