Theorem 2trllemH 25275

Description: Lemma 3 for constr2trl 25322. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
2trlX.i	|- ( I e. U /\ J e. W )
2trlX.f	|- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemH	|- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Proof of Theorem 2trllemH

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9634	. . . . . 6 |- 0 e. _V
2		1ex 9635	. . . . . 6 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 457	. . . . 5 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4		2trlX.i	. . . . 5 |- ( I e. U /\ J e. W )
5		0ne1 10674	. . . . 5 |- 0 =/= 1
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1185	. . . 4 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 )
7		fprg 6071	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } )
8		2trlX.f	. . . . . . . 8 |- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }
9	4, 8	2trllemB 25274	. . . . . . 7 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 }
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 } )
11	10	feq2d 5713	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } ) )
12	7, 11	mpbird 236	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
13	6, 12	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
14		2trllemF 25272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ B e. V ) -> I e. dom E )
15	14	adantlr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> I e. dom E )
16		prcom 4049	. . . . . . . . . . . 12 |- { B , C } = { C , B }
17	16	eqeq2i 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` J ) = { B , C } <-> ( E ` J ) = { C , B } )
18	17	biimpi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` J ) = { B , C } -> ( E ` J ) = { C , B } )
19	18	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( E ` J ) = { C , B } )
20		2trllemF 25272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` J ) = { C , B } /\ B e. V ) -> J e. dom E )
21	19, 20	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> J e. dom E )
22	15, 21	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
23	22	expcom 437	. . . . . 6 |- ( B e. V -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
24	23	3ad2ant3 1030	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
25	24	imp 431	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
26		prssg 4126	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ J e. W ) -> ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E ) )
27	4, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E )
28	25, 27	sylib 200	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { I , J } C_ dom E )
29	13, 28	fssd 5736	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
30	8	feq1i 5718	. 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
31	29, 30	sylibr 216	1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   {cpr 3969   <.cop 3973   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   1c1 9537  ..^cfzo 11912   #chash 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513

This theorem is referenced by:  constr2wlk  25321