MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemH Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemH 23450
Description: Lemma 3 for constr2trl 23497. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlX.i  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
2trlX.f  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemH  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )

Proof of Theorem 2trllemH
StepHypRef Expression
1 c0ex 9379 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2 1ex 9380 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
4 2trlX.i . . . . 5  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
5 0ne1 10388 . . . . 5  |-  0  =/=  1
63, 4, 53pm3.2i 1166 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )
7 fprg 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } --> { I ,  J } )
8 2trlX.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
94, 82trllemB 23449 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 }
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
1110feq2d 5546 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J }  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : {
0 ,  1 } --> { I ,  J } ) )
127, 11mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
136, 12mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
14 2trllemF 23447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )
1514adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E
)
16 prcom 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
1716eqeq2i 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  <->  ( E `  J )  =  { C ,  B }
)
1817biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  ->  ( E `
 J )  =  { C ,  B } )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } )  ->  ( E `  J )  =  { C ,  B } )
20 2trllemF 23447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  J
)  =  { C ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E )
2119, 20sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E
)
2215, 21jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
2322expcom 435 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  -> 
( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
24233ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  ->  ( ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
)  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
2524imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  (
I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
26 prssg 4027 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  U  /\  J  e.  W )  ->  ( ( I  e. 
dom  E  /\  J  e. 
dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E ) )
274, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E )
2825, 27sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { I ,  J }  C_  dom  E )
29 fss 5566 . . 3  |-  ( ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J }  /\  {
I ,  J }  C_ 
dom  E )  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
3013, 28, 29syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
318feq1i 5550 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
3230, 31sylibr 212 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   {cpr 3878   <.cop 3882   dom cdm 4839   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   0cc0 9281   1c1 9282  ..^cfzo 11547   #chash 12102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103
This theorem is referenced by:  constr2wlk  23496
  Copyright terms: Public domain W3C validator