MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemH Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem 2trllemH 25361
Description: Lemma 3 for constr2trl 25408. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlX.i  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
2trlX.f  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemH  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )

Proof of Theorem 2trllemH
StepHypRef Expression
1 c0ex 9655 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2 1ex 9656 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 462 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
4 2trlX.i . . . . 5  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
5 0ne1 10699 . . . . 5  |-  0  =/=  1
63, 4, 53pm3.2i 1208 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )
7 fprg 6089 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } --> { I ,  J } )
8 2trlX.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
94, 82trllemB 25360 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 }
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
1110feq2d 5725 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J }  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : {
0 ,  1 } --> { I ,  J } ) )
127, 11mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( I  e.  U  /\  J  e.  W
)  /\  0  =/=  1 )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
136, 12mp1i 13 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> { I ,  J } )
14 2trllemF 25358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )
1514adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E
)
16 prcom 4041 . . . . . . . . . . . 12  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
1716eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  <->  ( E `  J )  =  { C ,  B }
)
1817biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  ->  ( E `
 J )  =  { C ,  B } )
1918adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } )  ->  ( E `  J )  =  { C ,  B } )
20 2trllemF 25358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E `  J
)  =  { C ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E )
2119, 20sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E
)
2215, 21jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
2322expcom 442 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  (
( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  -> 
( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
24233ad2ant3 1053 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  ->  ( ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
)  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
2524imp 436 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  (
I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
26 prssg 4118 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  U  /\  J  e.  W )  ->  ( ( I  e. 
dom  E  /\  J  e. 
dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E ) )
274, 26ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E )
2825, 27sylib 201 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { I ,  J }  C_  dom  E )
2913, 28fssd 5750 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
308feq1i 5730 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> dom  E
)
3129, 30sylibr 217 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {cpr 3961   <.cop 3965   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558  ..^cfzo 11942   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554
This theorem is referenced by:  constr2wlk  25407
  Copyright terms: Public domain W3C validator