Theorem 2trllemH 23450

Description: Lemma 3 for constr2trl 23497. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
2trlX.i	|- ( I e. U /\ J e. W )
2trlX.f	|- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }

Assertion

Ref	Expression
2trllemH	|- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Proof of Theorem 2trllemH

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9379	. . . . . 6 |- 0 e. _V
2		1ex 9380	. . . . . 6 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4		2trlX.i	. . . . 5 |- ( I e. U /\ J e. W )
5		0ne1 10388	. . . . 5 |- 0 =/= 1
6	3, 4, 5	3pm3.2i 1166	. . . 4 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 )
7		fprg 5890	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } )
8		2trlX.f	. . . . . . . 8 |- F = { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. }
9	4, 8	2trllemB 23449	. . . . . . 7 |- ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 }
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 } )
11	10	feq2d 5546	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : { 0 , 1 } --> { I , J } ) )
12	7, 11	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( I e. U /\ J e. W ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
13	6, 12	mp1i 12	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } )
14		2trllemF 23447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ B e. V ) -> I e. dom E )
15	14	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> I e. dom E )
16		prcom 3952	. . . . . . . . . . . 12 |- { B , C } = { C , B }
17	16	eqeq2i 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E ` J ) = { B , C } <-> ( E ` J ) = { C , B } )
18	17	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E ` J ) = { B , C } -> ( E ` J ) = { C , B } )
19	18	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( E ` J ) = { C , B } )
20		2trllemF 23447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E ` J ) = { C , B } /\ B e. V ) -> J e. dom E )
21	19, 20	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> J e. dom E )
22	15, 21	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) /\ B e. V ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
23	22	expcom 435	. . . . . 6 |- ( B e. V -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
24	23	3ad2ant3 1011	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) -> ( ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) ) )
25	24	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> ( I e. dom E /\ J e. dom E ) )
26		prssg 4027	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ J e. W ) -> ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E ) )
27	4, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( I e. dom E /\ J e. dom E ) <-> { I , J } C_ dom E )
28	25, 27	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { I , J } C_ dom E )
29		fss 5566	. . 3 |- ( ( { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> { I , J } /\ { I , J } C_ dom E ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
30	13, 28, 29	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
31	8	feq1i 5550	. 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E <-> { <. 0 , I >. , <. 1 , J >. } : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )
32	30, 31	sylibr 212	1 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ B e. V ) /\ ( ( E ` I ) = { A , B } /\ ( E ` J ) = { B , C } ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2605   _Vcvv 2971   C_ wss 3327   {cpr 3878   <.cop 3882   dom cdm 4839   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   0cc0 9281   1c1 9282  ..^cfzo 11547   #chash 12102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103

This theorem is referenced by:  constr2wlk  23496