MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemF Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemF 24416
Description: Lemma 5 for constr2trl 24466. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
2trllemF  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { X ,  Y }  /\  Y  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )

Proof of Theorem 2trllemF
StepHypRef Expression
1 prid2g 4118 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
2 eleq2 2514 . . . 4  |-  ( ( E `  I )  =  { X ,  Y }  ->  ( Y  e.  ( E `  I )  <->  Y  e.  { X ,  Y }
) )
31, 2syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ( E `  I )  =  { X ,  Y }  ->  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( E `  I
) ) )
43imp 429 . 2  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { X ,  Y }  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( E `  I
) )
5 elfvdm 5878 . 2  |-  ( Y  e.  ( E `  I )  ->  I  e.  dom  E )
64, 5syl 16 1  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { X ,  Y }  /\  Y  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   {cpr 4012   dom cdm 4985   ` cfv 5574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-nul 4562  ax-pow 4611
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-dm 4995  df-iota 5537  df-fv 5582
This theorem is referenced by:  2trllemH  24419  2trllemE  24420
  Copyright terms: Public domain W3C validator