MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemF Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemF 23601
Description: Lemma 5 for constr2trl 23651. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
2trllemF  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { X ,  Y }  /\  Y  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )

Proof of Theorem 2trllemF
StepHypRef Expression
1 prid2g 4091 . . . 4  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  { X ,  Y } )
2 eleq2 2527 . . . 4  |-  ( ( E `  I )  =  { X ,  Y }  ->  ( Y  e.  ( E `  I )  <->  Y  e.  { X ,  Y }
) )
31, 2syl5ibr 221 . . 3  |-  ( ( E `  I )  =  { X ,  Y }  ->  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( E `  I
) ) )
43imp 429 . 2  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { X ,  Y }  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( E `  I
) )
5 elfvdm 5826 . 2  |-  ( Y  e.  ( E `  I )  ->  I  e.  dom  E )
64, 5syl 16 1  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { X ,  Y }  /\  Y  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cpr 3988   dom cdm 4949   ` cfv 5527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4530  ax-pow 4579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-dm 4959  df-iota 5490  df-fv 5535
This theorem is referenced by:  2trllemH  23604  2trllemE  23605
  Copyright terms: Public domain W3C validator