MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemE Unicode version

Theorem 2trllemE 21506
Description: Lemma 4 for constr2trl 21552. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlX.i  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
2trlX.f  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemE  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )

Proof of Theorem 2trllemE
StepHypRef Expression
1 c0ex 9041 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2 2trlX.i . . . . . . 7  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
32simpli 445 . . . . . 6  |-  I  e.  U
41, 3pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  I  e.  U )
5 1ex 9042 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
62simpri 449 . . . . . 6  |-  J  e.  W
75, 6pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( 1  e.  _V  /\  J  e.  W )
84, 7pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  I  e.  U )  /\  ( 1  e.  _V  /\  J  e.  W ) )
9 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  I  =/=  J )
10 ax-1ne0 9015 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
1110necomi 2649 . . . . 5  |-  0  =/=  1
129, 11jctil 524 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  (
0  =/=  1  /\  I  =/=  J ) )
13 f1oprg 5677 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  I  e.  U )  /\  ( 1  e. 
_V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( ( 0  =/=  1  /\  I  =/= 
J )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-onto-> { I ,  J } ) )
148, 12, 13mpsyl 61 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-onto-> { I ,  J } )
15 f1of1 5632 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-onto-> { I ,  J }  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : {
0 ,  1 }
-1-1-> { I ,  J } )
16 2trlX.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
172, 162trllemB 21504 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 }
1817eqcomi 2408 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ ( # `  F
) )
19 f1eq2 5594 . . . . . . . . 9  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  <->  {
<. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { I ,  J } ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  <->  {
<. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { I ,  J } )
2120biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { I ,  J } )
2221adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } ) ) )  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { I ,  J } )
23 2trllemF 21502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E )
2423adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  I  e.  dom  E
)
25 prcom 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { B ,  C }  =  { C ,  B }
2625eqeq2i 2414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  <->  ( E `  J )  =  { C ,  B }
)
2726biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  J )  =  { B ,  C }  ->  ( E `
 J )  =  { C ,  B } )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  I
)  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } )  ->  ( E `  J )  =  { C ,  B } )
29 2trllemF 21502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  J
)  =  { C ,  B }  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E )
3028, 29sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  J  e.  dom  E
)
3124, 30jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  /\  B  e.  V )  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
3231expcom 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  V  ->  (
( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } )  -> 
( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
33323ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  ->  ( ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
)  ->  ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) ) )
3433imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  (
I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
35343adant2 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  (
I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E ) )
3635adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } ) ) )  ->  ( I  e. 
dom  E  /\  J  e. 
dom  E ) )
37 prssg 3913 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  U  /\  J  e.  W )  ->  ( ( I  e. 
dom  E  /\  J  e. 
dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E ) )
382, 37ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  dom  E  /\  J  e.  dom  E )  <->  { I ,  J }  C_  dom  E )
3936, 38sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } ) ) )  ->  { I ,  J }  C_  dom  E )
40 f1ss 5603 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> { I ,  J }  /\  {
I ,  J }  C_ 
dom  E )  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
4122, 39, 40syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  /\  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } ) ) )  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
4241ex 424 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-> {
I ,  J }  ->  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
4315, 42syl 16 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : { 0 ,  1 } -1-1-onto-> { I ,  J }  ->  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V )  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `  I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J
)  =  { B ,  C } ) )  ->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
4414, 43mpcom 34 . 2  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
45 f1eq1 5593 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
4616, 45ax-mp 8 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
)
4744, 46sylibr 204 1  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  B  e.  V
)  /\  I  =/=  J  /\  ( ( E `
 I )  =  { A ,  B }  /\  ( E `  J )  =  { B ,  C }
) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {cpr 3775   <.cop 3777   dom cdm 4837   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947  ..^cfzo 11090   #chash 11573
This theorem is referenced by:  constr2trl  21552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574
  Copyright terms: Public domain W3C validator