MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemD Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemD 24705
Description: Lemma 4 for constr2trl 24747. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
2trlX.p  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemD  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )

Proof of Theorem 2trllemD
StepHypRef Expression
1 0z 10814 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 1z 10833 . . 3  |-  1  e.  ZZ
3 2z 10835 . . 3  |-  2  e.  ZZ
41, 2, 33pm3.2i 1172 . 2  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
5 0ne1 10542 . . 3  |-  0  =/=  1
6 0ne2 10686 . . 3  |-  0  =/=  2
7 1ne2 10687 . . 3  |-  1  =/=  2
85, 6, 73pm3.2i 1172 . 2  |-  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 )
9 fntpg 5568 . . 3  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
10 2trlX.p . . . 4  |-  P  =  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }
1110fneq1i 5600 . . 3  |-  ( P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 }  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
129, 11sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V
)  /\  ( 0  =/=  1  /\  0  =/=  2  /\  1  =/=  2 ) )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
134, 8, 12mp3an13 1313 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  P  Fn  { 0 ,  1 ,  2 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   {ctp 3965   <.cop 3967    Fn wfn 5508   0cc0 9425   1c1 9426   2c2 10524   ZZcz 10803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-z 10804
This theorem is referenced by:  2pthlem1  24743  2pthlem2  24744
  Copyright terms: Public domain W3C validator