MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trllemA Structured version   Unicode version

Theorem 2trllemA 24343
Description: Lemma 1 for constr2trl 24392. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
2trlX.i  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
2trlX.f  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
2trllemA  |-  ( # `  F )  =  2

Proof of Theorem 2trllemA
StepHypRef Expression
1 2trlX.f . 2  |-  F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }
2 fveq2 5871 . . 3  |-  ( F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } ) )
3 ax-1ne0 9571 . . . . . 6  |-  1  =/=  0
43nesymi 2740 . . . . 5  |-  -.  0  =  1
5 c0ex 9600 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
6 2trlX.i . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  U  /\  J  e.  W )
7 elex 3127 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  U  ->  I  e.  _V )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  U  /\  J  e.  W )  ->  I  e.  _V )
96, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  I  e. 
_V
105, 9opth1 4725 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  I >.  = 
<. 1 ,  J >.  ->  0  =  1 )
1110necon3bi 2696 . . . . 5  |-  ( -.  0  =  1  ->  <. 0 ,  I >.  =/= 
<. 1 ,  J >. )
124, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  <. 0 ,  I >.  =/=  <. 1 ,  J >.
13 opex 4716 . . . . 5  |-  <. 0 ,  I >.  e.  _V
14 opex 4716 . . . . 5  |-  <. 1 ,  J >.  e.  _V
15 hashprg 12438 . . . . 5  |-  ( (
<. 0 ,  I >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  J >.  e. 
_V )  ->  ( <. 0 ,  I >.  =/= 
<. 1 ,  J >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } )  =  2 ) )
1613, 14, 15mp2an 672 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  I >.  =/= 
<. 1 ,  J >.  <-> 
( # `  { <. 0 ,  I >. , 
<. 1 ,  J >. } )  =  2 )
1712, 16mpbi 208 . . 3  |-  ( # `  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. } )  =  2
182, 17syl6eq 2524 . 2  |-  ( F  =  { <. 0 ,  I >. ,  <. 1 ,  J >. }  ->  ( # `
 F )  =  2 )
191, 18ax-mp 5 1  |-  ( # `  F )  =  2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118   {cpr 4034   <.cop 4038   ` cfv 5593   0cc0 9502   1c1 9503   2c2 10595   #chash 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-hash 12384
This theorem is referenced by:  2trllemB  24344  wlkntrllem2  24353  wlkntrl  24355  constr2wlk  24391  constr2trl  24392  constr2pth  24394  usgra2adedgwlk  24405  usgra2adedgwlkon  24406
  Copyright terms: Public domain W3C validator