Theorem 2times 6065

Description: Two times a number.

Assertion

Ref	Expression
2times	|- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (2 x. A) = (2 x. if(A e. CC, A, 0)))
2		id 59	. . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> A = if(A e. CC, A, 0))
3	2, 2	opreq12d 4036	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A + A) = (if(A e. CC, A, 0) + if(A e. CC, A, 0)))
4	1, 3	eqeq12d 1536	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((2 x. A) = (A + A) <-> (2 x. if(A e. CC, A, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) + if(A e. CC, A, 0))))
5		0cn 5393	. . . 4 |- 0 e. CC
6	5	elimel 2446	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
7	6	2timesi 6064	. 2 |- (2 x. if(A e. CC, A, 0)) = (if(A e. CC, A, 0) + if(A e. CC, A, 0))
8	4, 7	dedth 2435	1 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 997   e. wcel 999  ifcif 2413  (class class class)co 4021  CCcc 5297  0cc0 5299   + caddc 5302   x. cmul 5304  2c2 6022

This theorem is referenced by:  times2 6066  2halves 6100  halfaddsub 6102  avgle 6105  expubnd 6697  subsq2 6732  imcj 6909  absmax 6987  climaddlem3 7206  efival 7538  addsin 7548  subsin 7549  addcos 7550  subcos 7551  sin2t 7553  cos2t 7554  sin01bndlem3 7561  metge0 7904  bl2in 7928  ioo2bl 7997  nvge0 8386  cnph 8562  ubthlem11 8623  hmopidmchi 10162  cdj3lem1 10445  mslb1 10711  2wsms 10712  msra3 10713

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-2 6031

Copyright terms: Public domain