Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2swrd2eqwrdeq Structured version   Unicode version

Theorem 2swrd2eqwrdeq 12848
 Description: Two words of length at least 2 are equal if and only if they have the same prefix and the same two single symbols suffix. (Contributed by AV, 24-Sep-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 23-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
2swrd2eqwrdeq Word Word substr substr lastS lastS

Proof of Theorem 2swrd2eqwrdeq
StepHypRef Expression
1 lencl 12522 . . . . 5 Word
2 1z 10890 . . . . . . . . . 10
3 nn0z 10883 . . . . . . . . . 10
4 zltp1le 10908 . . . . . . . . . 10
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . . 9
6 1p1e2 10645 . . . . . . . . . . . 12
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11
87breq1d 4457 . . . . . . . . . 10
98biimpd 207 . . . . . . . . 9
105, 9sylbid 215 . . . . . . . 8
1110imp 429 . . . . . . 7
12 2nn0 10808 . . . . . . . 8
13 simpl 457 . . . . . . . 8
14 nn0sub 10842 . . . . . . . 8
1512, 13, 14sylancr 663 . . . . . . 7
1611, 15mpbid 210 . . . . . 6
173adantr 465 . . . . . . 7
18 0red 9593 . . . . . . . . . 10
19 1red 9607 . . . . . . . . . 10
20 nn0re 10800 . . . . . . . . . 10
2118, 19, 203jca 1176 . . . . . . . . 9
22 0lt1 10071 . . . . . . . . 9
23 lttr 9657 . . . . . . . . . 10
2423expd 436 . . . . . . . . 9
2521, 22, 24mpisyl 18 . . . . . . . 8
2625imp 429 . . . . . . 7
27 elnnz 10870 . . . . . . 7
2817, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . 6
29 2pos 10623 . . . . . . . 8
30 2re 10601 . . . . . . . . . 10
3130a1i 11 . . . . . . . . 9
3231, 20ltsubposd 10134 . . . . . . . 8
3329, 32mpbii 211 . . . . . . 7
3433adantr 465 . . . . . 6
35 elfzo0 11827 . . . . . 6 ..^
3616, 28, 34, 35syl3anbrc 1180 . . . . 5 ..^
371, 36sylan 471 . . . 4 Word ..^
38373adant2 1015 . . 3 Word Word ..^
39 2swrdeqwrdeq 12635 . . 3 Word Word ..^ substr substr substr substr
4038, 39syld3an3 1273 . 2 Word Word substr substr substr substr
41 swrd2lsw 12847 . . . . . . . . 9 Word substr lastS
42413adant2 1015 . . . . . . . 8 Word Word substr lastS
4342adantr 465 . . . . . . 7 Word Word substr lastS
44 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11
45443anbi3d 1305 . . . . . . . . . 10 Word Word Word Word
46 swrd2lsw 12847 . . . . . . . . . . 11 Word substr lastS
47463adant1 1014 . . . . . . . . . 10 Word Word substr lastS
4845, 47syl6bi 228 . . . . . . . . 9 Word Word substr lastS
4948impcom 430 . . . . . . . 8 Word Word substr lastS
50 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12
51 id 22 . . . . . . . . . . . 12
5250, 51opeq12d 4221 . . . . . . . . . . 11
5352oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10 substr substr
5453eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9 substr lastS substr lastS
5554adantl 466 . . . . . . . 8 Word Word substr lastS substr lastS
5649, 55mpbird 232 . . . . . . 7 Word Word substr lastS
5743, 56eqeq12d 2489 . . . . . 6 Word Word substr substr lastS lastS
58 fvex 5874 . . . . . . . 8
5958a1i 11 . . . . . . 7 Word Word
60 fvex 5874 . . . . . . . 8 lastS
6160a1i 11 . . . . . . 7 Word Word lastS
62 fvex 5874 . . . . . . . 8
6362a1i 11 . . . . . . 7 Word Word
64 fvex 5874 . . . . . . . 8 lastS
6564a1i 11 . . . . . . 7 Word Word lastS
66 s2eq2s1eq 12838 . . . . . . 7 lastS lastS lastS lastS lastS lastS
6759, 61, 63, 65, 66syl22anc 1229 . . . . . 6 Word Word lastS lastS lastS lastS
68 s111 12580 . . . . . . . . 9
6958, 63, 68sylancr 663 . . . . . . . 8 Word Word
70 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12
7170fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11
7271eqcoms 2479 . . . . . . . . . 10
7372adantl 466 . . . . . . . . 9 Word Word
7473eqeq2d 2481 . . . . . . . 8 Word Word
7569, 74bitrd 253 . . . . . . 7 Word Word
76 s111 12580 . . . . . . . 8 lastS lastS lastS lastS lastS lastS
7760, 65, 76sylancr 663 . . . . . . 7 Word Word lastS lastS lastS lastS
7875, 77anbi12d 710 . . . . . 6 Word Word lastS lastS lastS lastS
7957, 67, 783bitrd 279 . . . . 5 Word Word substr substr lastS lastS
8079anbi2d 703 . . . 4 Word Word substr substr substr substr substr substr lastS lastS
81 3anass 977 . . . 4 substr substr lastS lastS substr substr lastS lastS
8280, 81syl6bbr 263 . . 3 Word Word substr substr substr substr substr substr lastS lastS
8382pm5.32da 641 . 2 Word Word substr substr substr substr substr substr lastS lastS
8440, 83bitrd 253 1 Word Word substr substr lastS lastS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113  cop 4033   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   clt 9624   cle 9625   cmin 9801  cn 10532  c2 10581  cn0 10791  cz 10860  ..^cfzo 11788  chash 12367  Word cword 12494   lastS clsw 12495  cs1 12497   substr csubstr 12498  cs2 12763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-lsw 12503  df-concat 12504  df-s1 12505  df-substr 12506  df-s2 12770 This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1  24768
 Copyright terms: Public domain W3C validator